北师大版九年级数学下册3.3：垂径定理 课件(共20张PPT)

第三章 圆
第3节 垂径定理
学习目标
一、 了解垂径定理的内涵
二、 熟悉垂径定理的推论
基础回顾
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
知识点1
垂径定理
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是 什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
感知新知
是，对称轴是直径CD所在直线
AM=BM, …AC=BC,AD=BD
定理推导
已知：如图3-11，AB是○O的一条弦，CD是○O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M.
求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD
定理总结
定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
几何语言：
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为(　　)
A．8　　　 B．10
C．16 D．20
例1
导引：
连接OC.根据垂径定理，知CE＝ CD＝6.在Rt△OEC
中，设OC＝x，由BE＝2，得OE＝x－2.所以(x－2)2＋62
＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.
D
　
1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
1
解：
如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝ ×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
2
知识点
垂径定理的推论
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD)， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
是，对称轴是CD所在直线
已知：如图3-12，AB是○O的一条弦(不是直径），CD是○O的一条直径，AB与CD相交于点M,并且AM=BM，.
求证：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧.
定理小结
思考:为什么有括号内的限制？
下列说法正确的是(　　)
A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线一定经过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经
过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
1.
C
2.如图，⊙O的直径CD＝20 cm，AB是⊙O的弦，AM
＝BM，OM∶MC＝3∶2，则AB的长为(　　)
A．18 cm　　
cm　　
C．16cm　　
D．22 cm
C
3.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为(　　)
A.
B．3
C．2
D．4
C
4.【中考】如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(　　)
A．2 m
B．2.5 m
C．2.4 m
D．2.1
B
5.如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内.
垂径定理：
(1)垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的弧.
本节课我们学了什么？
（2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的弧.
关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具
备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．如果把其中的任意两条作为
条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
以上说法正确吗，课后自己去试试？