北师大版九年级数学下册3.4.2 ：圆周角和圆心角的关系2 课件(共22张PPT)

3.4 圆周角和圆心角的关系
第二课时
课前复习
1.圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧 所对的圆周角相等.
(等弧)
3.圆周角定理推论:
相等的圆周角所对的弧相等.
4.在同圆或等圆中,
相等的弦所对的弧不一定相等.
5.在同圆或等圆中,
●O
B
A
C
D
E
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半
B
1.求图中角x的度数
A
O
.
60°
x
C
A
O
.
x
110°
C
D
B
X=
X=
30°
110°
课前复习
定理
同弧或等弧所对的圆周角相等
2.求图中角x的度数
60°
x
x=
x=
60°
55°
25°
x
30°
A
B
C
D
E
F
∠ABF=25°，∠FDE=35°
观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？
A
B
C
O
新课学习
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
证明：
∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
想一想
B
C
A
O
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线。
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。在书上画记，背读
A
B
C
O
B
C
A
O
几何语句：
∵BC为直径
∴∠BAC=90°
几何语句：
∵∠BAC=90°
∴BC为直径
随堂练习
小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？应用了那个定理!
是
随堂练习
如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长。应用了那个定理!
A
B
C
O
解∵AB为直径
∴∠BCA=90°
在Rt△ABC中，
∠ABC=30°，AB=10cm
∴
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
A
B
C
O
D
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
议一议
如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
A
B
C
O
D
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD
∴

（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
又∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
1
2
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；
这个圆叫做四边形的外接圆。
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
于是如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。书上画记、读背
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
想一想
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
A
B
C
O
D
E
解：∠A=∠CDE
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠A=∠DCE
圆的内接四边形的一个外角，等于它的内对角
随堂练习
3.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数。
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）
∵∠A:∠C=4:5
∴
即∠C的度数为100°。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数。
A
B
C
O
D
解：∵ ∠BOD =80°
∴
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠DAB+∠BCD=180°
∴∠BCD=180°－40°=140°
（圆内接四边形的对角互补）
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。
A
B
C
O
D
解：连接BC
∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
（直径所对的圆周角为直角）
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°－15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）
方法一：
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。
A
B
C
O
D
解：连接OD
∵∠ACD=15°
∴∠AOD=2∠ACD =30°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
方法二：
知识技能
3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数。
A
B
D
O
C
E
F
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
∠EBF+∠ABE=180°
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
∵∠EDC=∠F+∠A,
∠EBF=∠E+∠A
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∵∠E =40°，∠F =60° ∴∠A=40°
知识技能
１
２
３
４
.
.
O1
O2
A
B
.
C
P
.
C
P
大小不变的角有：
∠ACB ∠APB
∠BCP ∠CBP
知识技能
这节课有何收获？！
1. 直径所对的圆周角是直角；
2. 90°的圆周角所对的弦是直径。
3. 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。
4.圆内接四边形的对角互补。
课堂小结