北师大版九年级数学下册课件：2.4 二次函数的应用(共39张PPT)

第二讲：二次函数的应用
教学内容：
１.确定二次函数的表达方式
２. 二次函数的应用
一、确定二次函数的表达式：
1
知识点
用一般式(三点式)确定二次函数表达式
例１ 已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2, 7)三点，
求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和
顶点坐标.
解：设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将三点(-1,10),(1,4),(2, 7)的坐标分别代人表达式，得

所以，所求二次函数表达式为 y=2x2-3x+5 .
因为y=2x2-3x+5=2
所以，二次函数图象的对称轴为直线 ，
顶点坐标为
用一般式求待定系数基本步骤是什么？
总 结
已知抛物线过三点，求其对应的函数表达式，可采
用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下三步：
第一步：设一般式 y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一
个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值．
知2－讲
二次函数的表达式的求法的综合运用
一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.
解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
二次函数的表达式的求法的综合运用
一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.
解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,
将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,
得a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.
解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,
得
∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.
2
知识点
用顶点式确定二次函数表达式
知3－讲
例3 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，
3)求这条抛物线的解析式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ， ∴这条抛物线的解析
式为：y= (x-4)2-1.
总 结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通
常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).二次函数 y＝ax2＋bx＋c可化成：y＝a(x-h)2＋k ，顶点是(h, k).如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.
知3－讲
3
知识点
用交点式确定二次函数的表达式
例5〈宁波〉如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点
A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3)．
(1)求抛物线对应的函数表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物
线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物
线对应的函数表达式．
导引：(1)利用交点式得出y＝a(x－1)(x－3)，进而求出a的值，
再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据“左加右减，上
加下减”得出抛物线对应的函数表达式，进而得出答案.
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，
∴可设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
把点(0，－3)的坐标代入得：3a＝－3，解得a＝－1，
故抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x－3)，
即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴顶点坐标为(2，1)．
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个
单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平移
后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
知4－讲
1．用待定系数法求二次函数的表达式：
(1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
＋bx＋c(a≠0)．
(2)若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可
设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
(3)若给出抛物线与x轴的交点或与x轴的交点距离，通
常可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
要点精析：(1)求二次函数表达式的几种方法之间是相
互联系的，而不是孤立的，不同的设法是根据不同
的已知条件来确定的．
总 结
知1－导
形式
含有的字母
需用条件
y＝ax2
a
y＝ax2＋c
a，c
y＝a(x－h)2
a，h
y＝a(x－h)2＋k
a，h，k
y＝ax2＋bx＋c
a，b，c
y＝a(x－x1)(x－x2)
a，x1，x2
1.
一个
两个
三个
总 结
知1－导
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有
几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条
件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫
待定系数法．
待定系数法
顶点式
y＝a(x－h)2＋k
交点式
y＝a(x－x1)(x－x2)
一般式
y＝ax2＋bx＋c
1 ． 二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函
数y的对应值如表：
下列说法正确的是(　　)
A．抛物线的开口向下
B．当x＞－3时，y随x的增大而增大
C．二次函数的最小值是－2
D．抛物线的对称轴是直线x＝－
随堂练习
x
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
…
y
…
4
0
－2
－2
0
4
…
2 ． 已知二次函数的图象经过点 A(1,0),B(3,0),
C(2,3), 求这个二次函数的表达式。
知4－练
３.在平面直角坐标系中，将抛物线　　　　　　　　绕着原点旋转　　，所得抛物线的解析式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
４．以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（ 　　　 ）
∵二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，a＝1>0，
∴Δ≤0或抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0.
当Δ≤0时，[－2(b－2)]2－4(b2－1)≤0，
当抛物线与x轴的交点的横坐标均大于等于0时，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
则x1＋x2＝2(b－2)>0，Δ＝[－2(b－2)]2－4(b2－1)>0，无解，
∴此种情况不存在．
５．二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．
一、二次函数的应用：
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
想一想
A
B
C
D
┐
M
N
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
做一做2
x
x
y
例1：一单杠高2.2米，两立柱
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地
面的距离。

A
B
C
D
0.7
1.6
2.2
0.4
E
F
O
x
y
例题2：一单杠高2.2米，两立柱
之间的距离为1.6米，将一根绳子的
两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子
自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米
的小孩站在离立柱0.4米处，其头部
刚好触上绳子，求绳子最低点到地
面的距离。

A
B
C
D
0.7
1.6
2.2
0.4
E
F
O
x
y
例3. 如图，一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？
球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为2.25m时，才能投中。
x
y
2.5m
4m
3.05
A
B
C
O
3.5
解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05).
3.5=c
3.05=1.52a+c
设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c.
将点B和点C的坐标代入，得
解得
a= -02
c= 3.5
∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5
例4.启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，
年销售量是10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的
资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产
品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=﹣ x2+ x+ ,如果把
利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
试写出年利润s(万元)与广告费x(万元)的函数关系式，并计算广
告费是多少万元时，公司获得的年利润最大及最大年利润是多少
万元。

解：S=10×( ）×（4-3）-x=-x2+6x+7
当x= =3时，
S最大= = = =16
∴当广告费是3万元时，公司获得的最大年利益是16万元。
把上题中的最大利润留出3万元做广告，其余资金投资新项目，现有六个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
项目
A
B
C
D
E
F
每股（万元）
5
2
6
4
6
8
收益（万元）
0.55
0.4
0.6
0.5
0.9
1
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式。写出每种投资方式所选的项目。
解：（2）用于再投资的资金是16-3=13（万元），经分析，有两种投资方式符合要求。一种是取A,B,E各一股，投入资金为5+2+6=13（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；另一种是取B,D,E各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13(万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>（万元）。
例５.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为
了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买
回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的
方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花
圃各放一个1米宽的门（木质）。
花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
解：设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x
从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x
∵AB≤10 ∴6.25≤x
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下
∴当x≥4.25时S随x的增大而减小
故当x=6.25时，S取最大值56.25

B
D
A
H
E
G
F
C
例６. 市植物园人工湖上有抛物线型拱桥，正常水位时桥下水面宽20米，拱高4 米，根据此条件建立如图所示坐标系，得知此时抛物线的解析式为 y= － x2+4
①在正常水位基础上水位上升 h 米时，桥下水面宽为d 米，求d与h 函数关系式。
②正常水位时，桥下水深2米，为了保证游船顺利通过，桥下水面宽不得小于18
求水深超过多少会影响过往游船在桥下顺利航行？
y
x
( 0,4 )
(10,0)
(-10,0)
O
A
( ,h)
例７.公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿
形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为美观，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度为2.25米, 如果不计其他因素, 那么水池
的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
A
O
水 面
C
B
y
x
A
O
水 面
C
B
y
x
解：以水面OC所的直线为 x 轴，柱子OA所在的直线为y轴，O为
原点建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y = a(x – h) + k, 则有
1.25 = a(0 – 1) + 2.25
2
2
解得：a = - 1
所以，y = - (x – 1) + 2.25
2
则A、B两点的坐标分别为A(o, 1.25)
B(1, 2.25)，
令 y = 0, 则
- (x – 1) + 2.25 = 0
2
解得：x = 2.5
或 x = - 0.5 (舍去)
所以，水池半径至少需要2.5米。
例８.在ΔABC中，∠B＝90°，点P
从点A开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速
度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以
2厘米／秒的速度移动，如果P,Q分别
从A,B同时出发，几秒后ΔABC的面
积最大？最大面积是多少？
A
B
C
P
Q
例９某人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货是的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚利润最大？并求最大利润。
例１０．等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
当P在线段AB上时
S△PCQ＝
CQ?PB
=
AP?PB
=
∴AP=CQ=x
即S＝ 　 (0动画演示
当P在线段AB的延长线上时
S△PCQ＝
即S＝　 (x>2）
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
＝２
②　 ＝２
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴ x1=1+ , x2=1－ (舍去)
∴当AP长为1+ 时，S△PCQ＝S△ABC
此方程无解
谢谢观看