北师大版九下数学3.9 弧长及扇形的面积教学课件（30张PPT）

第三章 圆
第9节 弧长及扇形的面积
弧、半圆、优弧、劣弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条
弧，每一条弧都叫做半圆．小于半圆的弧叫做劣弧(如图
中的 )，大于半圆的弧叫做优弧(如图中的 )．劣弧
用“⌒”和弧两端的字母表示；优弧用“⌒ ”和三个字母(弧
两端的字母和弧中间的任一字母)表示．弧分为优弧、半
圆、劣弧．
注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆．
1
知识点
弧长公式
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A
被传送多少 厘米？
(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被
传送多少 厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
知1－导
归 纳
知1－导
在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长（arc length)
的计算公式为：
l=________________________.
知1－讲
1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的
弧长l的计算公式为l＝ .
要点精析：
(1)应用公式时“n”和“180”不应写单位．
(2)题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长．
(3)在弧长公式中，已知l，n，R中任意两个量，都可求出
第三个量．
知1－讲
2．弧、弧长、弧的度数间的关系：
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
3．易错警示：在弧长公式l＝ 中，n表示1°的n
倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
知1－讲
制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长
度”再下料.试计算如图所示的管道 的展直长度，
即 的长（结果精确到0.1 mm).
例1
解：
R= 40mm，n = 110,所以
的长= 76.8 (mm).
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
知1－讲
〈衡阳〉如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的
切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣
弧BC的长为________．
例2
导引：
由切线性质可知∠OBA＝90°.因为∠A＝30°，所以
∠BOA＝60°，因为BC∥AO，所以∠CBO＝60°.又因
为OB＝OC，所以△OBC为等边三角形，所以∠BOC＝
60°，代入公式l＝ ＝2π(cm)．
2π cm
总 结
知1－讲
求弧长需要两个条件：(1)弧所在圆的半径；(2)弧所对
的圆心角．当题中没有直接给出这两个条件时，则需利
用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等求出圆
的半径或弧所对的圆心角．
知1－练
(2016·包头)120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是(　　)
A．3 B．4 C．9 D．18
(2016·成都)AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则 的长为(　　)
A. π B. π C. π D. π
1
2
知1－练
(2015·绍兴)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则 的长为(　　)
A．2π
B．π
C.
D.
3
2
知识点
扇形面积公式
知2－导
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长
3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
归 纳
知2－导
1.如果扇形的半径为R，圆心角为n° ，那么扇形面积的计
算公式为
S扇形=____________________.
2. 比较扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形
的面积吗？
S扇形=____________________l.
知2－讲
1．扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对
的弧所围成的图形叫做扇形．
2．扇形面积公式：
(1)S扇形＝ ；
(2)S扇形＝ lR(l是扇形的弧长)．
应用方法：①当已知半径 R 和圆心角的度数求扇形的面
积时，选用公式S扇形＝ ；
知2－讲
②当已知半径 R 和弧长求扇形的面积时，
选用公式S扇形＝ lR.
特别注意：
(1)已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个量，可以求出另外
两个量．
(2)在扇形面积公式S扇形＝ 中，n表示1°的n倍，360表
示1°的360倍，n，360不带单位．
知2－讲
拓展：
(1)弓形定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
(2)弓形的面积：①当弓形的弧小于半圆时，它的面积等于扇
形面积与三角形面积的差，即S弓形＝S扇形－S三角形；
②当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形
面积的和，即S弓形＝S扇形＋S三角形；
③当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，
即S弓形＝ S圆．
知2－讲
扇形AOB的半径为12 cm， ∠ AOB=120°，求
的长(结果精确到 0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精
确到0.1 cm2).
例3
解：
的长= 25.1 ( cm).
S扇形= 150.7 (cm2 ).
因此， 的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约
为150.7 cm2.
知2－讲
〈广东〉如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为(　　)
A．6　　　　
B．7　　　　
C．8　　　　
D．9
例4
D
知2－讲
导引：
由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用
扇形的面积公式：S扇形DAB＝ lR，计算即可．
由条件可知：扇形的弧DCB的长就是正方形的边BC与
CD长的和，为6，半径为3，则S扇形＝ ×6×3＝9.
总 结
知2－讲
扇形的面积计算有两个公式：
1.当已知扇形的圆心角时，用公式S扇形＝ 较为简便；
2.当知道扇形的弧长时，用公式S扇形＝ lR较为简便．
知2－讲
如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为点E，D是优弧BC上的一点，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC的度数；
(2)若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．
例5
知2－讲
导引：
(1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同圆或等圆中，
弧、圆心角、圆周角之间的关系求得∠AOC的度数；
(2)先求出⊙O的半径，再求出圆心角∠BOC的度数，
利用面积差求出阴影部分的面积．
知2－讲
解：
(1)∵弦BC垂直于半径OA，∴BE＝CE， .
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝ BC＝3.
在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，
设OE＝x，则OC＝2x，CE＝ x＝3，解得x＝ .
∴OE＝ ，OC＝2 .∵ ，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC
＝ ×π×(2 )2－ ×6× ＝4π－3 .
总 结
知2－讲
本例中求弓形面积可转化为两个规则的基本图形(扇形、
三角形)面积的差来解决．将所求面积转化为其他几个规
则图形面积的和或差，是求阴影面积最常用的方法．
知2－练
(2016·内江)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．π－4
π－1
C． π－2
D. －2
1
知2－练
(2015·咸宁)如图，在△ABC中，CA＝CB，
∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，
作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在
上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)．
当α由小到大变化时，图中阴影部分 的面积(　　)
A．由小变大 　　　B．由大变小
C．不变 　　　 D．先由小变大，后由大变小
2
知2－练
(2016·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝ ，则阴影部分的面积为(　　)
A．2π B．π C. D.
3
知2－练
(2015·泰安)如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD，DC相切，与AB，CB的延长线分别相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为(　　)
A. 　 B. 　 C. 　 D．
4
1
课堂讲解
弧长公式
扇形面积公式
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
今天你掌握了吗？
1．弧长公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对
的弧长l的 计算公式为l＝ .
2．扇形公式：
(1)S扇形＝ ；
(2)S扇形＝ lR(l是扇形的弧长)．