人教版八年级数学上册教学设计：13.4 最短路径问题（表格式）

八年级数学上册教学设计
课题
13.4最短路径问题
教学
目标
1.会利用公理“两点之间，线段最短”来求线段和的最小值，从而解决最短路径问题。
2.经历实践活动的过程，得出最短路径问题的解决办法，找到关于线段的对称点实现“折”转“直”，再利用两点之间，线段最短这一性质来解决一些简单的实际问题。
教学
重点
确定两点一线和两点两线型的线段和最小值问题
教学
难点
分析问题、确定问题类型并解决问题
教学
过程
教
学
内
容
与
师
生
活
动
设计意图和
关注的学生
复习引入
我们已经学习过“两点的所有连线中，
。”和“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，
”等问题，我们称他们为最短路径问题。
如右图:
由A地到B地有三条路供选择，你会选择
，
理由是：
3.
请画出点A关于直线L的对称点。
A．
_______________________
L
4.已知线段AB，请在平面内找一点P，使PA+PB的值最小。
A___________________B
新授课
一、两点在一条直线异侧
例1.已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。
（1）为什么这样做就能得到最短距离呢？
（2）你如何验证PA+PB最短呢？
A．
____________________________
．B
二、两点在一条直线同侧
例2.如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边L饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？做出图形并写出已知、求作、作法。
L
已知：
求作：
1）如何将点B“移”到L的另一侧B′处，满足直线L上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等。
（2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
（3）试证明你的结论。
作法：1.作点A关于L的对称点_____，
2.连接_______,交直线L与_______,
则点_______就是所要求作的点
三、造桥选址问题中的最短路径问题
例3.如图，A和B两地在一条河的两岸，现在要在小河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）请你根据作法画出图形并给出理由。
A
a
b
B
作法：
（1）将点A沿与河垂直的方向平移
的距离到
（2）连接
，交河岸b于点N，作NM⊥河岸a，垂足为M
（3）连接AM，MN，NB，则MN即为桥的位置，所得路径AMNB就是最短路径
归纳：在解决最短路径问题时，我通常利用__________、___________等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
课堂练习
1.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
2.已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得这个点到点AB的距离和最短，即PA+PB最小。
A．
____________________________
．B
3.如图，要在公路上建一个公共汽车站，A，B
是路边两个新建小区.
①
这个公共汽车站建在公路的什么位置，能使A，B两个小区到车站的路程一样长？请在图1中作出这个点（不写作法，保留作图痕迹）；
②
这个公共汽车站建在公路的什么位置，能使A，B两个小区到车站的路程和最短？请在图2中作出这个点（不写作法，保留作图痕迹）.
板
书
设
计
最短路径
教
学
反
思
1