(共17张PPT)
第一章
整式的乘除
5
平方差公式
课时2
平方差公式的应用
1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算；
2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的
思想方法.
学习目标
新课导入
思
考
1.问：平方差公式是怎样的？
(a+b)(a?b)=a2?b2
2.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)；
（2）(－m+3n)(m+3n).
3.你能快速的计算201×199吗？
4x2－49b2
9n2－m2
新课讲解
知识点1
平方差公式的几何验证
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
(a+b)(a?b)
=
a2?b2
合作探究
新课讲解
a
a
b
b
a+b
a-b
b
b
几何验证平方差公式
新课讲解
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
新课讲解
知识点2
平方差公式的运用
自主探究
想一想：
（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48
14×16=224
69×71=4899
7×7=49
15×15=225
70×70=4900
新课讲解
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
(a+b)(a?b)=a2?b2
新课讲解
典例精析
例1
计算:
(1)
103×97;
(2)
118×122.
解:
103×97
=(100+3)(100－3)
=
1002－32
=10000
–
9
=9991；
解:
118×122
=(120－2)(120＋2)
=
1202－22
=14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
新课讲解
练一练
计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;
(2)(2x－5)(2x+5)
–2x(2x－3)
.
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
新课讲解
例3
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．
课堂小结
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住
“一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
当堂小练
1.已知a=7202,b=721×719；则（
）
A.a=b
B.a>b
C.aD.a≤b
2.97×103=(
)×(
)=(
).
3.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______.
100－3
100+3
1002－32
x=4
B
当堂小练
解：(1)原式=(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1=2499；
(3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)
=3x2－5x－10.
（1）51×49；
（3）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
（2）13.2×12.8；
4.利用平方差公式计算：
(2)原式=(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
当堂小练
5.计算:
(1)
20162
－2017×2015;
解:20162－2017×2015
=20162－(2016＋1)(2016－1)
=20162－(20162－1)
=20162－20162＋1
=1；
拓展与延伸
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
1.(x－y)(x+y)(x2+y2)；
解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
布置作业
请完成对应习题(共18张PPT)
第一章
整式的乘除
5
平方差公式
课时1
平方差公式的认识
1.了解并掌握平方差公式.（重点）
2.理解平方差公式的推导过程，并会应用平方差公式进行计算.(难点）
学习目标
新课导入
思
考
观察下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)
(x+1)(x-1)=x·x-x+x-1=x2
-12
;
(2)
(m+2)(m-2)=m·m-2m+2m-4=m2
-4=m2
-22
;
(3)
(2x+1)(2x+1)=2x·2x-2x+2x-1=(2x)2
-1=(2x)2
-12
.
新课讲解
知识点1
平方差公式
(1)
用多项式乘法推导平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
新课讲解
知识点1
平方差公式
(2)
借助几何图形推导平方差公式
图中有两个边长分别为a，b的正方形，两个正方形的面积之差可以表示为a2-
b2.
b
a
a-b
b
将图中右下方的长方形移
动位置后，拼得一个长
为(a+b)，宽为(a-b)
的长方形，其面积为
(a+b)(a-b).
(a+b)(a-b)=a2-b2.
新课讲解
知识点1
平方差公式
公式：
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2.
平方差的特点：
(1)
等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)
等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
新课讲解
知识点1
平方差公式
a
b
b2
a2
(4x+3)(4x-3)=(4x)2-32=16x2-9.
平方差公式计算的示例：
新课讲解
平方差公式的变化及应用
变化形式
应用举例
位置变化
符号变化
系数变化
指数变化
增项变化
连用公式变化
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2
(3a+2b)(3a-2b)=(3a)2-(2b)2=9a2-4b2
(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
(a-b+c)(a-b-c)=(a-b)2-c2
(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4
新课讲解
知识点1
平方差公式
(1)
平方差公式的字母a，b可以单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；
(2)
在运用公式时，要分清楚哪个相当于公式中的a，哪个相当于公式中的b，不要混淆.
重
要
新课讲解
练一练
1
计算：(1)
(3x+2)(3x-2)
;
(2)
(-x+2y)(-x-2y)
.
3x相当于a，2相当于b.
-x相当于a，2y相当于b.
解：(1)
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
=9x2-4.
(2)
(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2
.
新课讲解
练一练
2
计算下列式子：
(1)
(5m+3n)(5m-3n)
;
(2)(-3y-4x)(3y-4x)
;
解：(1)
(5m+3n)(5n-3n)
=(5m)2-(3n)2
=25m2-9n2
;
(2)
(-3y-4x)(3y-4x)
=[(-4x)+3y][(-4x)-3y]
=(-4x)2-(3y)2
=16x2-9y2
;
新课讲解
练一练
3
解：(3)
(-2a2+5b)(-2a2-5b)=
(-2a2)2-(5b)2=4a2-25b2
;
计算下列式子：
(3)
(-2a2+5b)(-2a2-5b)
;
(4)(
x+y)(-
x+y)
.
(4)
(
x+y)(-
x+y)=y2-(
x)2=y2-
x2
.
课堂小结
乘法公式
平方差公式
平方差公式的推导过程
当堂小练
计算下列式子：
(1)
10.3×9.7
;
(2)
2018×2020-20192
.
解：(1)
10.3×9.7=(10+0.3)
(10-0.3)=102-0.32
=100-0.09=99.91
;
(2)
2018×2020-20192=(2019-1)
(2019+1)-20192=20192-1-20192=-1.
当堂小练
计算下列式子：
(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
;
(2)102×98.
解：(1)
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=4y+1
;
(2)
102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996.
当堂小练
为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)，以下变形正确的是（
）
解析：x看作是a，(2y-1)看作是b，利用平方差公式即可.
A.
[x-(2y+1)]2
B.[x+(2y-1)][x-2y-1)]
C.
[(x-2y)+1][(x-2y)-1]
D.[x+(2y-1)]2
B
拓展与延伸
计算：(a+1)2-a2
.
解析：把a+1看作是a，a看作是b，利用平方差公式即可.
(a+1)2-a2
=
[(a+1)+a][(a+1)-a]
=(2a+1)×1
=2a+1.
布置作业
请完成对应习题
