(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
6
完全平方公式
课时1
完全平方公式
1.了解并掌握完全平方公式.（重点）
2.理解完全平方公式的推导过程，并会应用完全平方公式进行计算.(难点）
学习目标
新课导入
思
考
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)
(p+1)2=(p+1)(p+1)
=p2+2p+1
;
(2)
(m+2)2=(m+2)(m+2)
=m2+4m+4
;
(3)
(p-1)2=(p-1)(p-1)
=p2-2p+1
;
(4)
(m-2)2=(m-2)(m-2)
=m2-4m+4
.
新课讲解
知识点1
完全平方公式
(1)
用多项式乘法推导完全平方公式
(a-b)2
=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
(a+b)2
新课讲解
(2)
借助几何图形推导完全公式
知识点1
完全平方公式
如图(1)
，边长为(a+b)
的正方形的面积是(a+b)2
.
b
a
(1)
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
.
所以：(a+b)2=a2+2ab+b2
新课讲解
(2)
借助几何图形推导完全公式
知识点1
完全平方公式
a-b
b
(2)
a
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
.
如图(2)
，边长为(a-b)
的正方形的面积是(a-b)2
.
所以：(a-b)2=a2-2ab+b2
新课讲解
公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
完全平方公式的特点：
(1)
两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
(2)
两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
知识点1
完全平方公式
新课讲解
知识点1
完全平方公式
完全平方公式计算的示例：
a
b
2ab
a2
b2
a2
b2
2ab
b
a
新课讲解
完全平方公式的常见变形
新课讲解
(1)
完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公式的结构特征就可以运用这个公式；
(2)
完全平方公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这两项同号，则2ab的符号为“+”；若这两项异号，则2ab的符号为“-”；
(3)运用完全平方公式的时候要避免出现形如(a±b)2
=
a2±b2
.
重
要
知识点1
完全平方公式
新课讲解
练一练
1
计算下列式子：
(1)
(4m+n)2
;
(2)
(y-
)2
.
解：
(1)
(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2
;
(2)
(y-
)2=y2-2·y·
+(
)2
=y2-y+
.
新课讲解
练一练
2
解：(1)
(-2m-n)2=(2m+n)2=(2m)2+2·2m·n+n2
=4m2+4mn+n2
;
(2)
(2x+3y)(-2x-3y)=-(2x+3y)2=-[(2x)2+2·2x·3y+(3y)2]=-4x2-12xy-9y2
.
计算下列式子：
(1)
(-2m-n)2
;
(2)
(2x+3y)(-2x-3y)
.
新课讲解
练一练
3
(3)
(-4a+5b)2
=(5b-4a)2
=(5b)2-2·5b·4a+(4a)2
=25b2-40ab+16a2
;
(4)
(x+7y)2
=x2+2·x·7y+(7y)2
=x2+14xy+49y2
.
计算下列式子：
(3)
(-4a+5b)2
;
(4)
(x+7y)2
.
课堂小结
乘法公式
完全平方公式
完全平方公式的推导过程
当堂小练
将9.52变形正确的是（
）
解析：
9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52
.
利用完全平方公式即可.
A.
9.52=92+0.52
B.9.52=(10-0.5)(10+0.5)
C.
9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
C
当堂小练
若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（
）.
A.28
B.-28
C.24或-24
D.28或-28
D
解析：因为(3x-a)2=9x2-6ax+a2，所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.
则a2=16，6a=b,
解得a=±4.
当a=4时，b=24；当a=-4时，b=-24.
所以a+b=28或-28.
当堂小练
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(2a
－
1)2=2a2
－2a
＋1
；
(2)(2a
＋
1)2=4a2
＋1
；
(3)(－
a
－
1)2=
－
a2
－2a
－
1
．
(1)第一数被平方时，未添括号；第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2；
应改为：
(2a－1)2=（2a)2－2
×2a
?1＋1
；
(2)少了第一数与第二数乘积的2倍（丢了一项）；
应改为：
(2a
＋
1)2=（2a)2
＋
2
×2a
?1＋1
；
(3)第一数平方未添括号，第一数与第二数乘积的2倍错了符号；第二数的平方这一项错了符号；
应改为：
(－
a－1)2=（－a)2
－
2
?
（－
a）
?1
＋1
2．
拓展与延伸
解析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n、mn表示的式子，然后将已知整体代入求值.
已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2
.
解：因为m+n=8，mn=6，
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52，
m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40.
解决此类题目应先利用乘法公式将待求值的式子进行恒等变形，然后将已知整体代入求值.
布置作业
请完成对应习题(共15张PPT)
第一章
整式的乘除
6
完全平方公式
课时2
乘法公式的运用
1.进一步掌握完全平方公式；
2.灵活运用完全平方公式进行计算．(重点，难点)
学习目标
新课导入
思
考
2.
想一想：
（1）两个公式中的字母都能表示什么?
（2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用?
（3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算
多个数的和或差的平方吗?
(a+b)
2=a2+2ab+b2
(a－b)
2=a2－2ab+b2
1.完全平方公式：
新课讲解
知识点1
完全平方公式的运用
思考：怎样计算1022,992更简便呢？
(1)
1022；
解：原式=
(100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2)
992.
解：原式=
(100
–1)2
=10000
-200+1
=9801.
新课讲解
例1
运用乘法公式计算:
(1)
(x+2y-3)(x-2y+3)
;
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
=
x2-(2y-3)2
=
x2-(4y2-12y+9)
=
x2-4y2+12y-9.
解:
(1)
方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
典例精析
新课讲解
(2)
(a+b+c)2.
解：原式=
[(a+b)+c]2
=
(a+b)2+2(a+b)c+c2
=
a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
新课讲解
例2
化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).
解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
=(x2－4y2)2
=x4－8x2y2＋16y4.
方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式.
新课讲解
例3
已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2
的值．
解：因为a＋b＝7，
所以(a+b)2＝49.
所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29.
(a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9.
要熟记完全平方公式哦！
新课讲解
完全平方公式的常见变形
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2=
a2
±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，可能需要先添括号
变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差
公式不同（从公式结构特点
及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
当堂小练
将9.52变形正确的是（
）
解析：
9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52
.
利用完全平方公式即可.
A.
9.52=92+0.52
B.9.52=(10-0.5)(10+0.5)
C.
9.52=102-2×10×0.5+0.52
D.9.52=92+9×0.5+0.52
C
当堂小练
运用完全平方公式计算：
(1)
962
；
(2)
2032
.
解：原式=（100－4）2
=1002+42－2×100×4
=10000+16－800
=9216；
解：原式=（200+3）2
=2002+32++2×200×3
=40000+9+1200
=41209.
当堂小练
2.若a+b=5,ab=－6,
求a2+b2,a2－ab+b2.
3.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y.
解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37；
a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43.
解：∵x+y=4,
∴(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①;
∵x2+y2=8②;
由①－②得2xy=8?，
②－?得x2+y2－2xy=0.即(x－y)2=0，故x－y=0
解题时常用结论：
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
拓展与延伸
4.有这样一道题，计算：2（x+y）(x－y)+[(x+y)2－xy]+
[(x－y)2
+xy]的值，其中x=2006，y=2007；某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由.
解：原式=2x2－2y2+[x2+y2
+2xy－xy]+[x2+y2
－2xy+xy]=2x2－2y2+x2+y2
+xy+x2+y2
－xy
=2x2－2y2+2x2+2y2=4x2.
答案与y无关.
布置作业
请完成对应习题
