人教版七年级数学上册导学案：4.3.2 角的比较与运算（含答案）

4.3
角
4.3.2
角的比较与运算
学习目标：1.
掌握角的大小的比较方法.
理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言
进行相关表述，并能解答相关问题.
会进行涉及度、分、秒的角度的计算.
重点：掌握角的大小的比较方法，理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量
关系，能够用几何语言进行相关表述.
难点：能够解答角平分线和角的和、差、倍、分有关的问题，会进行涉及度、分、秒的
角度的计算.
要点探究
探究点1：角的比较与计算
合作探究：
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
观察与思考：
图中有几个角？它们之间有什么关系？
针对训练
如图所示：
(1)
∠AOC是哪两个角的和？
(2)
∠AOB是哪两个角的差？
(3)
如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
例1
填空：
(1)
如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝
度．
(2)
如图②，若∠AOB=
60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝
度．
(3)
若∠AOB
＝60°，∠AOC
＝30°，则∠BOC＝
度．
易错提醒：在计算角的度数时，若无图，一定要注意分类讨论.
试一试：
如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
例2
计算
（1）
120°－38°41′；
（2）67°31′+48°49′.
要点归纳：
涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
针对训练
用一副三角板不能画出（　　）
A．15°角
B．135°角
C．145°角
D．105°角
2.已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（　　）A．28°
B．112°
C．28°或112°
D．68°
3.计算：
（1）20°30′×8；
（2）106°6′÷5.
探究点2：角的平分线
互动探究
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
要点归纳：
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个_________的角的射线，叫做这个角的平分线.
例3
如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
(1)
如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？
(2)
如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
(3)
如果∠AOE=140°，
∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
例4
已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
针对训练
如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是
(
)
A.
∠COD=∠AOC
B.
∠AOD=∠AOB
C.
∠BOD=∠AOB
D.
∠BOC=∠AOB
2.
如图，OC是平角∠AOB的平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.
二、课堂小结
1.
如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，则∠BOC=____.
第1题图
第3题图
2.
已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC的度数是
.
3.
如图，∠AOB=170°，∠AOC
=∠BOD=90°，则∠COD的度数为_________.
4.
计算：
(1)
12°36′56″+45°24′35″；
(2)
79°45′+61°48′49″；
(3)
62°24′17″×4；
(4)
102°43′÷3.
5.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
6.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)
求∠EOD的度数；
(2)
若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
参考答案
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
合作探究
1.度量法比较；2.叠合法比较.
观察与思考
解：图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
它们的关系：∠AOC
是∠AOB
与∠BOC的和，记作∠AOC
=
∠AOB
+∠BOC；∠AOB
是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB
=
∠AOC－∠BOC；类似地，∠AOC－∠AOB=∠BOC.
【针对训练】
解：（1）∠AOC
=∠AOB
+∠BOC.
（2）∠AOB
=∠AOC
－∠BOC
=∠AOD－∠BOD.
（3）∠AOC
=∠BOD.
例1
（1）75
（2）20
（3）90或30
试一试：
还能画出150°，105°，135°.如图所示.
例2
解：（1）原式=81°19′.
（2）原式=116°20°.
【针对训练】
1.C
2.C
3.
解：（1）原式=164°.
（2）原式=21°13′12″.
探究点2：
互动探究
=
2
要点归纳
相等
2
2
例3
解：（1）因为
OB
平分∠AOC，∠AOC=80°，所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°.
（2）因为
OB
平分∠AOC，所以
∠BOC=∠AOB
=
40°.因为
OD
平分∠COE，所以∠COD=∠DOE
=
30°，所以∠BOD
=∠BOC+∠COD
=
40°+30°=
70°.
（3）因为
∠COD=30°，
OD
平分∠COE，所以
∠COE=2∠COD=60°，所以
∠AOC=∠AOE－∠COE
=140°－60°=
80°.又因为
OB
平分∠AOC，所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°.
例4
解：若OC在∠AOB内部，如图，∵∠AOC：∠COB=2：3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°，∠COB=3x=3×8°=24°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°．??????
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若OC在∠AOB外部，如图，∵∠AOC：∠COB=2：3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∠COB=3x=3×40°=120°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
【针对训练】
1.A
2.解：∠AOD=122°.
当堂检测
1.
34°
2.13°或63°
3.10°
4.
解：(1)原式=58°1′31″；(2)
原式=141°33′49″；
(3)
原式=249°37′8″；
(4)
原式=34°14′20″.
5.解：设∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°-x，∴∠AOB=90°+60°-x=150°-x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°-x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
6.解:
（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC＝
(∠BOC＋∠AOC
)＝∠AOB＝×120°＝60°.
（2）解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，∴∠AOC＝120°－90°＝30°.
∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝∠AOC＝×30°＝15°.