(共30张PPT)
章末整合
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一 扇形的弧长、面积公式的应用?
例1已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r.
(1)若α=120°,r=6,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S最大?并求出最大面积.
专题一
专题二
专题三
专题四
方法规律弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练1用一根长为10
m的绳索围成一个圆心角小于π,且半径不超过3
m的扇形场地,设扇形的半径为x
m,面积为S
m2.
(1)写出S关于x的函数表达式,并求出该函数的定义域;
(2)当半径x和圆心角α为多大时,所围扇形的面积S最大,并求出最大值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 利用单位圆解三角不等式?
例2利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
方法技巧
利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法
(1)首先作出单位圆,然后根据各问题的约束条件,利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.
(2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值,与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.
(3)写角的范围时,先抓住边界值,再注意角的范围的写法要求.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练2利用三角函数线,写出满足|cos
α|>|sin
α|的角α的集合.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题三 同角三角函数的基本关系式的应用?
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
名师点析
1.sin
α+cos
α,sin
α-cos
α,sin
αcos
α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin
α±cos
α)2=1±2sin
αcos
α.
2.已知tan
α=m,求关于sin
α,cos
α的齐次式的值
解决这类问题需注意以下两点:(1)一定是关于sin
α,cos
α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos
α≠0,所以可除以cos
α,这样可将被求式化为关于tan
α的表示式,然后代入tan
α=m的值,从而完成被求式的求值.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 利用三角函数的图像与性质解题?
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
方法技巧
1.确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的关键是φ的确定,常用方法有:
(1)代入法:把图像上的一个已知点代入(此时A,ω已知)或代入图像与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
专题一
专题二
专题三
专题四
2.求形如y=Asin(ωx+φ)+b或形如y=Acos(ωx+φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得.
3.具体求解时注意两点:①要把ωx+φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x的系数化为正;②在A>0,ω>0时,将“ωx+φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当A<0,ω>0时用同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
专题一
专题二
专题三
专题四
规律方法三角函数最值问题的常见类型及求解方法
(1)y=asin2x+bsin
x+c(a≠0),可以利用换元思想设t=sin
x,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值,t的范围需要根据定义域来确定.
(2)y=Asin(ωx+φ)+b,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)的范围,最后得最值.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练5函数y=sin
2x+cos
x的最大值为 .?第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知角α的终边与单位圆交于点-,-,则sin
α的值为( )
A.-
B.-
C.
D.
解析由正弦函数的定义,知sinα=y=-.
答案B
2.(2020山东济南高一检测)下列各角中,与角终边相同的角是( )
A.-
B.-
C.
D.
解析与角终边相同的角的集合为αα=+2kπ,k∈Z,取k=-1,可得α=-.所以与角终边相同的角是-.
答案B
3.(2020福建莆田高一检测)某广告公司制作一块形状为扇环形的广告牌(如图),测得该扇环的长为6米,的长为2米,AD与BC的长均为2米.若每平方米的制作费用为200元,则此广告牌的制作费用是( )
A.800元
B.1
600元
C.2
400元
D.3
200元
解析设扇环的圆心角为θ,小扇形的半径为r,则大扇形的半径为r+2,则解得所以扇环的面积S=×32×2-×12×2=8(平方米).所以此广告牌的制作费用是8×200=1600(元).
答案B
4.要得到函数y=sin2x+的图像,只需将函数y=sin
2x的图像( )
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析∵y=sin2x+=sin,
∴只需将函数y=sin2x的图像向左平移个单位即可得到函数y=sin2x+的图像.
答案A
5.(2020山东潍坊高一检测)已知a=sin
50°,b=cos(-20°),c=tan
60°,则( )
A.c>b>a
B.c>a>b
C.b>a>c
D.b>c>a
解析利用公式得c=tan60°=>1,b=cos(-20°)=cos20°=sin70°,因为0答案A
6.若函数f(x)=sin
2x+2cos
x在区间上的最大值为1,则θ的值是( )
A.0
B.
C.
D.-
解析由f(x)=sin2x+2cosx=1-cos2x+2cosx取到最大值1,可知cosx=0,结合三角函数的图像易知θ=-,故选D.
答案D
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的一部分图像如图所示,若A>0,ω>0,|φ|<,则( )
A.A=4
B.ω=1
C.φ=
D.B=4
解析根据函数的最大值和最小值得
求得A=2,B=2,
函数的周期为×4=π,即π=,ω=2,
当x=时函数取最大值,即sin2×+φ=1,2×+φ=2kπ+(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=.
故选C.
答案C
8.(2020广州高一检测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,A,0为其图像的对称中心,B,C是该图像上相邻的最高点和最低点.若BC=4,则f(x)的单调递增区间是( )
A.2k-,2k+,k∈Z
B.2kπ-π,2kπ+π,k∈Z
C.4k-,4k+,k∈Z
D.4kπ-π,4kπ+π,k∈Z
解析函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,已知B,C是该图像上相邻的最高点和最低点,又BC=4,所以(2)2+2=42,即12+=16,得ω=.A,0为f(x)图像的对称中心,所以+φ=kπ,k∈Z,可得φ=-,所以f(x)=sinx-.令2kπ-x-≤2kπ+,求得4k-≤x≤4k+,故f(x)的单调递增区间为4k-,4k+,k∈Z.
答案C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
9.若sin
α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有
( )
A.tan
α=
B.cos
α=
C.sin
α+cos
α=
D.sin
α-cos
α=-
解析因为sinα=,且α为锐角,所以cosα=,故B正确;tanα=,故A正确;sinα+cosα=,故C错误;sinα-cosα=≠-,故D错误.
答案AB
10.同时满足下列三个条件的函数为( )
①在0,上单调递增;②为R上的奇函数;③最小正周期为T≥π.
A.y=tan
x
B.y=|cos
x|
C.y=tan
2x
D.y=sinx
解析A中y=tanx,在0,上单调递增,且为奇函数,又是以π为最小正周期的函数,三个条件均满足;
B中y=|cosx|为偶函数,在0,上单调递减,最小正周期为π,不满足条件②;
C中y=tan2x,以为最小正周期,不满足条件③;
D中y=sin,在0,上单调递增,且为奇函数,最小正周期为4π,满足三个条件.故选AD.
答案AD
11.已知函数y=sin2x-,则以下说法正确的是
( )
A.周期为
B.非奇非偶函数
C.函数图像的一条对称轴为直线x=
D.函数在上单调递减
解析该函数的周期T=;
因为f(-x)=sin-2x-=sin2x+,所以该函数是非奇非偶函数;函数y=sin2x-在上单调递减,但y=sin2x-在上单调递增,令x=,则y=sin2×=1,x=为函数图像的对称轴,因此BC正确.
答案BC
12.将函数f(x)的图像向右平移个单位,再将所得函数图像上的所有点的横坐标变为原来的,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图像.已知函数g(x)的部分图像如图所示,则函数f(x)( )
A.最小正周期为π,最大值为2
B.最小正周期为π,图像关于点,0中心对称
C.最小正周期为π,图像关于直线x=对称
D.最小正周期为π,在区间上单调递减
解析由题图可知,A=2,T=4=,
ω==3.
又由g=2可得φ=-+2kπ,k∈Z,
∵|φ|<,
∴φ=-.
∴g(x)=2sin3x-,
则f(x)=2sin2x+.
∴f(x)的最小正周期为π,最大值为2,选项A正确;对于B,令2x+=kπ(k∈Z),则x=,可知函数f(x)图像的对称中心为,0(k∈Z),B错误;对于C,令2x+=kπ+(k∈Z),所以x=(k∈Z),函数图像的对称轴方程为x=(k∈Z),C正确;又当x∈时,2x+,所以f(x)在上是减函数,D正确.故选ACD.
答案ACD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数y=b+asin
x(a<0)的最大值为-1,最小值为-5,则y=tan[(3a+b)x]的最小正周期为 .?
解析函数y=b+asinx(a<0)的最大值为-1,最小值为-5,所以解得
所以y=tan(-9x)=-tan9x的最小正周期为.
答案
14.(2020浙江温州高一检测)已知角α的终边过点P(1,-2),则tan
α= ,= .?
解析因为角α的终边过点P(1,-2),所以tanα==-2,可得.
答案-2
15.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的图像中两个相邻的最高点和最低点分别为,1,,-1,则函数f(x)的单调递增区间为 .?
解析因为图像中两个相邻的最高点和最低点分别为,1,,-1,
所以,即T=π,则=π,即ω=2.
由五点法作图得2×+φ=kπ,又|φ|<,得φ=-,所以f(x)=cos2x-,由2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
答案,k∈Z
16.《九章算术》是我国古代的数学著作,书中给出了计算弧田面积时所用的经验公式,即弧田面积=×(弦×矢+矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对应的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为3米的弧田,如图2所示,按照上述经验公式可得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数)?
解析由题意可得∠AOB=,OA=3,在Rt△AOD中,可得∠AOD=,∠DAO=,OD=AO=,可得矢=3-,由AD=AOsin=3×,可得弦=2AD=3,所以弧田面积=(弦×矢+矢2)=3+2=(平方米)≈5(平方米).
答案5
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知扇形AOB的周长是80
cm.
(1)若其面积为300
cm2,求扇形圆心角的弧度数;
(2)求扇形AOB面积的最大值及此时圆心角的弧度数.
解设扇形的半径为r,弧长为l.
(1)由解得
所以∠AOB==6或.
(2)因为l+2r=80,所以l=80-2r,
所以S=lr=(80-2r)·r=40r-r2
=-r2+40r=-(r-20)2+400,
所以当r=20时,Smax=400,
此时l=80-2r=40,
所以∠AOB==2.
18.(12分)(2020河南郑州高一检测)如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q,已知点P的坐标为-.
(1)求的值;
(2)若OP⊥OQ,求3sin
β-4cos
β的值.
解(1)由题得cosα=-,sinα=,
所以.
(2)由题得α-β=,
所以α=+β,
所以cosα=-sinβ,sinα=cosβ,
所以sinβ=,cosβ=,
所以3sinβ-4cosβ==-.
19.(12分)(2020湖南娄底高一检测)已知f(θ)=.
(1)化简f(θ);
(2)若sin
θ=,且θ∈,π,求f(θ)的值.
解(1)f(θ)
=
=
=-cosθ.
(2)由sinθ=,且θ∈,π.
得cosθ=-=-=-,
所以f(θ)=-cosθ=.
20.(12分)已知函数f(x)=sin2x++1.
(1)用“五点法”作出f(x)在x∈上的简图;
(2)写出f(x)的对称中心以及单调递增区间;
(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的集合.
解(1)∵-≤x≤,
∴0≤2x+≤2π.
列表如下:
x
-
2x+
0
π
2π
f(x)
1
2
1
0
1
画出图像如下图所示:
(2)由2x+=kπ,k∈Z,
得x=,k∈Z,
可知函数图像的对称中心为,1,k∈Z.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故函数的单调递增区间为,k∈Z.
(3)当2x+=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z时,函数f(x)取得最大值,且最大值为2.
故函数f(x)的最大值为2,
此时x=kπ+,k∈Z.
21.(12分)如图,某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(t以年初以来的月为计量单位);
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
解(1)设种群数量y关于t的解析式为
y=Asin(ωt+φ)+bA>0,ω>0,|φ|≤,
则解得A=100,b=800.
∵周期T=2×(6-0)=12,∴ω=,
∴y=100sint+φ+800.
又当t=6时,y=900,
∴900=100sin×6+φ+800,
∴sin(π+φ)=1,
∴sinφ=-1,
又|φ|≤,
∴取φ=-,
∴y=100sint-+800.
(2)当t=2时,y=100sin×2-+800=750,
即当年3月1日动物种群数量约是750.
22.(12分)(2020山东菏泽高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的周期为π,且图像上的一个最低点为M,-2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)+1在,b上至少含20个零点时,求b的最小值.
解(1)由题意可知,T==π,ω=2,
又f(x)最小值为-2,则A=2.
因为sin2·+φ=-1,
所以φ=+2kπ,k∈Z,
因为|φ|<,所以φ=.
所以函数f(x)=2sin2x+.
(2)f(x)=2sin2x+.列表:
x
-
2x+
0
π
2π
f(x)
0
2
0
-2
0
函数g(x)=f(x)+1在,b上至少含20个零点时,等价于f(x)的图像与直线y=-1在,b上至少含20个交点,所以b的最小值为+9×π=.
