(共25张PPT)
7.1.1 角的推广
课标阐释
1.掌握用“旋转”定义角,理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的定义.
2.掌握所有与角α终边相同的角(包括角α)的表示方法.
3.体会运动变化的观点,深刻理解推广后的角的概念.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在跳水、体操、花样滑冰比赛中,常常听到“转体三周”的说法,那么转体三周运动员要转体多少度呢?显然转过的角是大于360°的角,我们如何认识这样的角呢?
这样的角不再局限于0°~360°的范围内,可以是任意的大小,还可以有正负,这就是本节要学习的角的概念的推广.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:任意角
1.角的概念:一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形.
2.角的分类:按旋转方向可将角分为三类
激趣诱思
知识点拨
微思考
始边与终边重合的角一定是零角吗?
提示不一定.只有始边没有旋转时才是零角.
微练习
经过1个小时,时针转过的角度是 .?
答案-30°
激趣诱思
知识点拨
知识点二:象限角
1.象限角
将角放在平面直角坐标系中,约定:角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.
如果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.
2.终边相同的角
一般地,角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同,这只需把k·360°看成逆时针或者顺时针方向旋转若干周即可.任意两个终边相同的角,它们的差一定是360°的整数倍.因此,所有与α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对于集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的理解应注意三点
(1)α是任意角.
(2)“k∈Z”有三层含义:
①特殊性:每取一个整数值就对应一个具体的角.
②一般性:表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).
③从几何意义上看,k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数,当k取正整数时,逆时针旋转;当k取负整数时,顺时针旋转;当k=0时,没有旋转.
(3)集合中“k·360°”与“α”之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),表示与-30°角终边相同的角.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)钝角是第二象限角.( )
(2)第二象限角是钝角.( )
(3)第二象限角大于第一象限角.( )
答案(1)√ (2)× (3)×
微练习
与-40°角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°-40°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+40°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°±40°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°+80°,k∈Z}
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
有关角的概念问题
例1下列说法正确的是( )
A.终边相同的角一定相等
B.第一象限的角一定是锐角
C.终边相同的角之间相差360°的整数倍
D.大于90°的角都是钝角
分析根据角的概念、终边相同角的集合等概念解题,特别注意锐角、直角、钝角等特殊的角.
解析终边相同的角不一定相等,可能相差k·360°(k∈Z),故A错;因为锐角的集合是{α|0°<α<90°},而第一象限的角的集合是{α|k·360°<α180°时,均大于90°,所以大于90°的角不一定都是钝角,故D错.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
反思感悟
判断角的概念问题的关键与技巧
(1)解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90°的角、0°~90°的角等概念.
(2)本题也可采用排除法,这时需掌握判断说法是否正确的技巧.判断说法正确需要证明,而判断说法错误只需举一反例即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1判断下列说法是否正确:
(1)第一象限的角小于第二象限的角;
(2)若90°≤α≤180°,则α为第二象限的角.
解(1)不正确.如390°角是第一象限的角,120°角是第二象限的角,显然390°>120°,所以该说法是错误的.
(2)不正确.其中90°,180°角都不是象限角,显然该说法是错误的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
终边相同的角的问题
例2在角的集合S={α|α=k·90°+45°,k∈Z}中:
(1)有几种终边不相同的角?
(2)在集合S中有几个在-360°~360°内的角?
分析从代数角度看,取k=…,-2,-1,0,1,2,
…,可以得α为…,-135°,-45°,45°,
135°,225°,…;从图形角度看,是以45°角为基础,依次加上(或减去)90°的整数倍,即依次按逆时针(或顺时针)方向旋转90°所得的各角,如图所示,结合图形求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角共有4种,分别是与45°,135°,225°,315°角终边相同的角.
(2)令-360°≤k·90°+45°<360°,
又因为k∈Z,所以k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.
所以在-360°~360°内的角共有8个.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
运用终边相同的角的注意事项
所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α(k∈Z)表示,在运用时需注意以下四点:
(1)k是整数,这个条件不能漏掉.
(2)α是任意角.
(3)k·360°与α之间用“+”连接.
(4)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图所示,写出终边落在直线y=
x上的角的集合.
解终边落在y=
x(x≥0)上的角的集合为
S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},
终边落在y=
x(x≤0)上的角的集合为
S2={α|α=240°+k·360°,k∈Z}.
于是,终边落在直线y=
x上的角的集合为
S=S1∪S2={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z}.因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=60°+n·180°,n∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
终边相同的角的集合之间的关系
例3已知集合A={α|30°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
解因为30°+k·180°<α<80°+k·180°,k∈Z,
所以当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<80°+n·360°,n∈Z;
当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<260°+n·360°,n∈Z,
所以集合A中角的终边在如图阴影(Ⅰ)区域内,
集合B中角的终边在如图阴影(Ⅱ)区域内.
所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.
所以A∩B={α|30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
区域角表示的步骤
(1)借助图形,在直角坐标平面内找出角的范围所对应的区域.
(2)确定-360°<α<360°范围内的基本角,即区域起始及终止边界所对应的角.
(3)写出终边相同的角的集合.解决终边相同的角的集合问题,一般都是利用数形结合解题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若本例中集合A={α|30°+k·120°<α<80°+k·120°,k∈Z},求A∩B.
解对于集合A,当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<α<80°+n·360°.
当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<α<200°+n·360°.
当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<α<320°+n·360°.
故A∩B={α|-45°+n·360°<α<-40°+n·360°或30°+n·360°<α<45°+n·360°,n∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列叙述正确的是( )
A.三角形的内角必是第一或第二象限角
B.始边相同而终边不同的角一定不相等
C.第四象限角一定是负角
D.钝角比第三象限角小
解析90°的角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280°的角是第四象限角,它是正角,故C错;-100°角是第三象限角,它比钝角小,故D错.
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.把-1
485°化成α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是( )
A.315°-5×360°
B.45°-4×360°
C.-315°-4×360°
D.-45°-10×180°
解析∵0°≤α<360°,∴排除C,D选项,经计算可知选项A正确.
答案A
3.已知α是第四象限的角,则
是 象限的角.?
答案第二或第四
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.终边在120°角终边所在直线上的所有角的集合是 ,上述集合在[-180°,180°)内的角是 .?
解析所求角的集合依次为S1={α|α=120°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+2k·180°,k∈Z},
S2={α|α=300°+k·360°,k∈Z}={α|α=120°+(2k+1)·180°,k∈Z},因为{n|n=2k,k∈Z}∪{n|n=2k+1,k∈Z}=Z,所以S=S1∪S2={α|α=120°+n·180°,n∈Z}.当n=-1或n=0时,取得在
[-180°,180°)内的角为-60°,120°.
答案{α|α=120°+n·180°,n∈Z} -60°,120°
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.
解以OA为终边的角为75°+k·360°(k∈Z),以OB为终边的角为
-30°+k·360°(k∈Z),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α|-30°+k·360°<α<75°+k·360°,k∈Z}.第七章三角函数
7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)下列说法正确的是( )
A.0°~90°的角是第一象限的角
B.钝角一定是第二象限角
C.平角跟周角不是象限内的角
D.钝角是大于第一象限的角
答案BC
2.若α为第一象限的角,则α+k·180°(k∈Z)的终边所在象限为( )
A.第一象限
B.第一或第二象限
C.第一或第三象限
D.第一或第四象限
解析若k为偶数,则α+k·180°的终边在第一象限;若k为奇数,则α+k·180°的终边在第三象限.
答案C
3.(多选)给出下列四个选项,其中正确的选项是( )
A.-75°角是第四象限的角
B.225°角是第三象限的角
C.475°角是第三象限的角
D.-315°角是第一象限的角
解析因为-90°<-75°<0°,是第四象限角,A正确;180°<225°<270°,是第三象限角,B正确;360°+90°<475°<360°+180°,是第二象限角,C错误;-360°<-315°<-270°,是第一象限角,D正确.
答案ABD
4.与-420°角终边相同的角是( )
A.-120°
B.420°
C.660°
D.280°
解析与-420°角终边相同的角为-420°+k·360°,k∈Z.则当k=3时,-420°+3×360°=660°.
答案C
5.终边与坐标轴重合的角的集合是( )
A.{α|α=k·360°,k∈Z}
B.{α|α=k·180°,k∈Z}
C.{α|α=k·90°,k∈Z}
D.{α|α=90°+k·180°,k∈Z}
答案C
6.若角α和β的终边关于直线y=-x对称,且α=30°,则β= .?
解析如图,OA为角α的终边,OB为角β的终边,由α=30°,得∠AOC=75°.根据对称性,知∠BOC=75°,因此∠BOx=120°,所以β=-120°+k·360°,k∈Z.
答案-120°+k·360°,k∈Z
7.已知α=-1
910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求角θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解(1)∵-1910°=250°+(-6)×360°,
∴β=250°,即α=250°-6×360°.
又250°是第三象限角,∴α是第三象限角.
(2)θ=250°+k·360°(k∈Z).
∵-720°≤θ<0°,∴-720°≤250°+k·360°<0°,
解得-≤k<-.又k∈Z,∴k=-1或k=-2.
∴θ=250°-360°=-110°或θ=250°-2×360°=-470°.
8.现在是8点5分,经过2小时15分钟后,钟表上的时针和分针转过的角度分别是多少?
解时针每小时转-30°,则每分钟转-0.5°,而分针每分钟转-6°.故2小时15分钟后,时针转过(2×60+15)×(-0.5°)=-67.5°,分针转过(2×60+15)×(-6°)=-810°.
能力提升练
1.若角α与45°角的终边相同,角β与-135°角的终边相同,则α与β之间的关系是( )
A.α+β=-50°
B.α-β=180°
C.α+β=180°+k·360°(k∈Z)
D.α-β=180°+k·360°(k∈Z)
解析α=45°+k1·360°(k1∈Z),β=-135°+k2·360°(k2∈Z),α-β=180°+k·360°,k∈Z.
答案D
2.
如图所示,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|-45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α<315°}
C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}
D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}
解析在-360°~360°范围内,终边落在阴影部分的角可表示为-45°~120°,再写出终边相同的角的集合,即{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
答案C
3.已知集合M=x=±45°,k∈Z,P=,则M,P之间的关系为
( )
A.M=P
B.M?P
C.M?P
D.M∩P=?
解析对于集合M,x=±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,对于集合P,x=±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴M?P.
答案B
4.若α=45°+k·360°,k∈Z,则是 象限角.?
解析∵α=45°+k·360°,k∈Z,
∴=22.5°+k·180°,k∈Z.
当k为偶数,即k=2n,n∈Z时,=22.5°+n·360°,n∈Z,
此时为第一象限角;
当k为奇数,则k=2n+1,n∈Z时,=202.5°+n·360°,n∈Z,
此时为第三象限角.
综上,是第一或第三象限角.
答案第一或第三
5.若角α与288°角的终边相同,则在0°~360°内终边与角终边相同的角是 .?
解析由题意,得α=288°+k·360°(k∈Z),=72°+k·90°(k∈Z).又0°≤≤360°,所以k=0,1,2,3,相应地有=72°,162°,252°,342°.
答案72°,162°,252°,342°
6.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= .?
解析先求出β的一个角,β=α+180°=60°,再由终边相同的角的概念知,β=60°+k·360°,k∈Z.
答案60°+k·360°,k∈Z
7.若角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,求β.
解在-360°~0°范围内,与-60°角关于直线x+y=0对称的角为-30°角,所以β=-30°+k·360°(k∈Z).
8.若角β的终边落在150°角终边所在的直线上,写出角β的集合;当-360°<β<360°时,求β.
解因为角β的终边落在150°角终边所在的直线上,所以在0°~360°内的角为150°和330°.
所以β的集合A=A1∪A2={β|β=150°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}={β|β=-30°+(2k+1)180°,k∈Z}∪{β|β=-30°+(2k+2)180°,k∈Z}.因为{n|n=2k+1,k∈Z}∪{n|n=2k+2,k∈Z}=Z,所以A=A1∪A2={β|β=-30°+n·180°,n∈Z},即满足要求的角β的集合A={β|β=-30°+n·180°,n∈Z}.
令-360°<-30°+n·180°<360°,n∈Z,
得-1-所以当-360°<β<360°时,β=-210°,-30°,150°,330°.
素养培优练
已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.
解由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°.
①
α-β=670°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°.
②
由①②,得α=15°,β=65°.(共30张PPT)
7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
课标阐释
1.理解弧度制的定义.
2.掌握角度制与弧度制的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.
3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会运用其解决问题.
4.会用信息技术进行弧度制与角度制的换算.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在日常生活中,一个量常常需要用不同的方法来度量,以此来满足我们不同的需要.如右图,日晷是我国古代利用日影角度的变化来度量时间的一种仪器.现在,我们普遍使用的时钟,是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪种方法,度量一个确定的量所得到的数量必须是唯一确定的.在初中,我们学习过利用角度来度量角的大小,那么对于角,除了角度制,还可以用其他的方法来度量吗?答案是肯定的,下面我们就来学习角的另一种度量办法.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:弧度制
1.弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1
rad,这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制.
2.弧度数
弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列叙述中,正确的是( )
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度等于半径长的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位
答案D
激趣诱思
知识点拨
知识点二:角度制与弧度制的换算
激趣诱思
知识点拨
2.特殊角的弧度数.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)1弧度的角比1°的角要大.( )
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( )
(3)160°化为弧度数是
π
rad.( )
答案(1)× (2)√ (3)√
激趣诱思
知识点拨
微练习
下列换算结果错误的是( )
答案C
激趣诱思
知识点拨
知识点三:扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为r,弧长为l,α为其圆心角,则
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)在应用公式l=αr和
时,要注意α的单位是弧度.
(2)在运用公式时,根据已知的是角度数还是弧度数,选择合适的公式代入.
(3)由α,r,l,S中的两个量可以求出另外的两个量.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,则
的长为 ;弓形ACB的面积为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
弧度制的概念
例1下面各命题中,是假命题的为 .(填序号)?
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;②1度的角是周角的
,1弧度的角是周角的
;③根据弧度的定义,180°一定等于π弧度;④无论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与所在圆的半径的长短有关.
解析根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小均与所在圆的半径的长短无关,而是与圆心角的大小有关,所以④是假命题.
答案④
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1下列说法正确的是( )
A.1弧度的角与1度的角大小是相等的
B.用弧度制表示角时,都是正角
C.在大小不等的圆中,1弧度的圆心角所对的弧的长度是不同的
D.用角度制和弧度制表示角时,单位都可以省略不写
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
角度制与弧度制的互化
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π
rad=180°是关键;
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2将下列角度与弧度进行互化:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
扇形面积公式、弧长公式的应用
例3已知扇形的周长为10
cm,则当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的面积最大?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=αr,
(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量,灵活选择公式.
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究本例变为:扇形面积为10,当半径r为多少时,扇形的周长最短?
探究一
探究二
探究三
素养形成
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一题多解与弧度有关的实际应用问题
典例
在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.方法一是根据时针与分针所走的时间相等列出方程求解;而方法二则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α比时针所转过的弧度数多2π,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.终边在第四象限的对角线上的角的集合是( )
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.若2弧度的圆心角所对的弧长是4
cm,则这个圆的半径r= ,圆心角所在的扇形面积是 .
?
答案2
cm 4
cm2
探究一
探究二
探究三
素养形成
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5.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.7.1.2 弧度制及其与角度制的换算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)下列结论正确的是( )
A.=60°
B.10°=
C.36°=
D.=115°
答案ABC
2.将2
025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是
( )
A.-+10π
B.+10π
C.-+12π
D.+10π
解析2025°=5×360°+225°,又225°=,故2025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为+10π.
答案B
3.若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析因为-π<-3<-,所以α=-3的终边在第三象限.
答案C
4.(多选)下列转化结果正确的是( )
A.67°30'化成弧度是
B.-化成角度是-600°
C.-150°化成弧度是-
D.化成角度是15°
解析67°30'=67.5×,A正确;
-=-×°=-600°,B正确;
-150°=-150×=-≠-,C错误;
×°=15°,D正确.
答案ABD
5.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N等于 .?
解析当k=-1,0,1,2时,M中的角满足N中的条件,故M∩N=.
答案
6.若将时钟拨慢5分钟,则分针转了 弧度,时针转了 度.?
解析将时针拨慢5分钟,分针、时针都是按逆时针方向转动,转过的角都是正角,这时,分针转过的角度是=30°,即30×弧度,时针转过的角度是=2.5°.
答案 2.5
7.把下列各角化为2kπ+α,k∈Z,0≤α<2π的形式,并判断该角是第几象限角.
(1)π;(2)-1
104°.
解(1)由题意得,=6π+.
因为是第二象限的角,所以是第二象限角.
(2)-1104°=-1104×=-=-8π+.
因为是第四象限的角,所以-1104°是第四象限角.
能力提升练
1.已知,则角α的终边所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第一或第二象限
D.第三或第四象限
解析因为,
所以当k=2m(m∈Z)时,α=2mπ+,终边在第一象限;当k=2m+1(m∈Z)时,α=2mπ+,终边在第二象限.所以角α的终边在第一或第二象限.
答案C
2.某扇形的周长为6,面积为2,则其圆心角的弧度数是
( )
A.1或4
B.1或2
C.2或4
D.1或5
解析设此扇形的半径为r,圆心角的弧度数是α(0<α<2π),则有解得α=1或α=4.
答案A
3.集合A=与集合B=α=2kπ±,k∈Z的关系是( )
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.以上都不对
解析∵B=αα=2kπ+或α=2kπ+,k∈Z=αα=kπ+,k∈Z=A,∴A=B.故选A.
答案A
4.已知扇形的周长为6,圆心角为1,则扇形的半径为 ;扇形的面积为 .?
解析设扇形的半径为r,因为扇形的周长为6,圆心角为1,所以有2r+r=6,解得r=2,扇形面积为×1×22=2.
答案2 2
5.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程为 .?
解析因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,正方形在圆周上滚动时,点的位置如图所示,故当点A首次回到点P的位置时,正方形在圆周上滚动了3圈.设第i(i∈N
)次滚动点A的路程为Ai,则A1=×AB=,A2=×AC=,A3=×DA=,A4=0,所以点A所走过的路程为3(A1+A2+A3+A4)=π.
答案π
6.已知扇形的圆心角为α,半径为R.
(1)若α=60°,R=10
cm,求扇形的弧长;
(2)若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形的面积最大?
解(1)弧长l=αR=60××10=(cm).
(2)由已知c=l+2R,得
S扇=l·R=(c-2R)R=-R2
=-,
故当R=时,S扇取最大值,
此时l=,α==2,
所以当α为2rad时,该扇形的面积最大.
素养培优练
单位圆上有两个动点M,N,它们同时从点P(1,0)出发,沿圆周运动,点M按逆时针方向每秒旋转弧度,点N按顺时针方向每秒旋转弧度,试探究:
(1)点M,N首次在点P相遇需要多长时间?
(2)在1分钟内,点M,N在第二象限内相遇的次数为多少?
解(1)设从点P(1,0)出发,t(t>0)秒后点M,N首次在点P相遇,设此时是点M,N的第n(n∈N
)次相遇,则t+t=2nπ,即t=4n,
①
又由点M沿圆周运动到点P处,得t=2k1π(k1∈N
),即t=12k1(k1∈N
).
②
由①②得n=3k1,则当k1=1,n=3时,点M,N首次在点P相遇,所需要的时间t=12(秒).
(2)设第m(m∈N
)次相遇时所需的时间为x(x>0)秒,则x+x=2mπ,即x=4m.由x≤60得,m≤15,
③
又由点M在第二象限,知2k2π+x<2k2π+π(k2∈N),消去x得3k2+④
由③④知,当k2=0,1,2,3,4时,m=1,4,7,10,13,即在1分钟内,点M,N在第二象限内共相遇5次.
