(共32张PPT)
7.2.3 同角三角函数的基本关系式
课标阐释
1.理解同角三角函数的基本关系式:
2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
美国气象学家爱德华·罗伦兹1963年提出一个观点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶,偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世的“蝴蝶效应”.此效应的本义是事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.
从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙热带雨林中的一只蝴蝶与美国得克萨斯州的一场龙卷风看起来是毫不相干的两种事物,却有这样的联系,这也验证了哲学理论中事物之间是普遍联系的这一观点.
看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数间会存在什么样的关系呢?本节课我们就来探索这个问题.
激趣诱思
知识点拨
知识点:同角三角函数的基本关系
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变量,可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角.
(3)sin2α是(sin
α)2的简写,读作“sin
α的平方”,不能将sin2α写成sin
α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦,两者是不同的.
激趣诱思
知识点拨
微拓展
同角三角函数基本关系式的变形
1.sin2α+cos2α=1的变形
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin
α+cos
α)2=1+2sin
αcos
α;(5)(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)sin22
021°+cos22
021°=( )
A.0
B.1
C.2
021
D.2
021°
(2)若sin
θ+cos
θ=0,则tan
θ= .?
解析(1)由平方关系知sin22
021°+cos22
021°=1.
(2)由sin
θ+cos
θ=0得sin
θ=-cos
θ,
答案(1)B (2)-1
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用同角三角函数基本关系式求值
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方法
(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系.
(2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知角α的正切值,求由sin
α和cos
α构成的代数式的值
(1)对分式齐次式,因为cos
α≠0,一般可在分子和分母中同时除以cosnα,使所求代数式化成关于tan
α的代数式,从而得解;
(2)对整式(一般是指关于sin2α,cos2α)齐次式,把分母看为“1”,用sin2α+cos2α替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母中同时除以cos2α,即可得关于tan
α的代数式,从而得解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用同角三角函数关系式化简
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
=|sin
40°-cos
40°|,
因为sin
40°
40°,
所以|sin
40°-cos
40°|=cos
40°-sin
40°.
(2)sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β
=sin2α(1-sin2β)+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=(sin2α+cos2α)cos2β+sin2β
=cos2β+sin2β=1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数式化简的常用方法
(1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用同角三角函数关系式证明
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.证明恒等式的常用思路:
(1)从一边证到另一边,一般由繁到简;
(2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者;
(3)比较法(作差法,作比法).
2.常用的技巧:
(1)巧用“1”的代换;
(2)化切为弦;
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练3已知tan2α=2tan2β+1,求证sin2β=2sin2α-1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平方关系的应用技巧
在sin
α+cos
α,sin
α-cos
α和sin
αcos
α三个式子中,已知其中一个可以求另外两个的值,即“知一求二”.它们的关系是(sin
α+cos
α)2=
1+2sin
αcos
α,(sin
α-cos
α)2=1-2sin
αcos
α.另外,在化简、证明时,经常利用“1”的代换,将1±2sin
αcos
α化为完全平方式
(sin
α±cos
α)2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
可以通过平方、切化弦、分解因式或配方等手段将所求代数式变形,从而找到所求代数式与已知代数式的关系,达到求值的目的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案sin
α
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在原点O,以x轴正半轴为始边,终边经过点P(1,m)(m<0),则下列各式的值恒大于0的是( )
A.
B.cos
α-sin
α
C.sin
αcos
α
D.sin
α+cos
α
解析由题意知sinα<0,cosα>0,tanα<0.
选项A,>0;
选项B,cosα-sinα>0;
选项C,sinαcosα<0;
选项D,sinα+cosα符号不确定.
答案AB
2.已知cos
α=m,0<|m|<1,且tan
α=,则角α的终边在( )
A.第一或第二象限
B.第三或第四象限
C.第一或第四象限
D.第二或第三象限
解析因为cosα=m,0<|m|<1,所以角α的终边不会落在坐标轴上.又因为>0,所以cosα与tanα同号,所以角α的终边在第一或第二象限.
答案A
3.(多选)角α的终边上有一点P(a,a),a∈R,且a≠0,则sin
α的值可以是( )
A.
B.-
C.
D.-
解析当a>0时,|OP|=a,由三角函数的定义得sinα=;当a<0时,|OP|=-a,由三角函数的定义得sinα==-,故A,B正确.
答案AB
4.若sin
α=-,且tan
α>0,则cos
α= .?
解析∵sinα<0,tanα>0,∴α是第三象限角.
设P(x,y)为α终边上一点,则x<0,y<0,r=,∴sinα==-,r=-y,x=y,
因此cosα==-.
答案-
5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos
α≤0,sin
α>0,则a的取值范围是 .?
解析因为≤0,>0,所以x≤0,y>0,
即故-2答案(-2,3]
6.已知角θ的终边上有一点P(-,m),且sin
θ=m,求cos
θ与tan
θ的值.
解由已知,得m=,解得m=0或m=±.
(1)当m=0时,r=,cosθ=-1,tanθ=0;
(2)当m=时,r=2,cosθ=-,tanθ=-;
(3)当m=-时,r=2,cosθ=-,tanθ=.
能力提升练
1.已知α=,则点P(sin
α,cos
α)所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析因为α=,则其终边在第二象限,所以sinα>0,cosα<0,故点P在第四象限.
答案D
2.设α是第二象限角,且=-cos,则是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析∵α是第二象限角,∴为第一或第三象限角.
又=-cos,∴cos<0.
∴是第三象限角.
答案C
3.已知点P(3,y)在α的终边上,且满足y<0,cos
α=,则tan
α的值为 ,sin
α的值为 .?
解析因为,y<0,
所以y=-4.
所以tanα=-,sinα==-.
答案- -
4.若角α的终边与直线y=3x重合,且sin
α<0,又P(m,n)是其终边上一点,且|OP|=,则m-n等于 .?
解析因为sinα<0,则角α的终边位于第三象限,故m<0,n<0,且n=3m,又,可得m=-1,n=-3,因此m-n=2.
答案2
5.已知sin
α<0,且tan
α>0.
(1)求角α的集合;
(2)求角的终边所在的象限;
(3)试判断sin,cos的符号.
解(1)∵sinα<0,且tanα>0,∴角α是第三象限角,即.
(2)∵π+2kπ<α<+2kπ(k∈Z),
∴+kπ<+kπ(k∈Z).当k为偶数时,角的终边在第二象限;当k为奇数时,角的终边在第四象限.∴角的终边在第二或第四象限.
(3)当角的终边在第二象限时,sin>0,cos<0;当角的终边在第四象限时,sin<0,cos>0.
素养培优练
已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin
α+的值.
解设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),
则x=k,y=-3k,r=|k|.
当k>0时,r=k,α是第四象限角,
sinα==-,
,
所以10sinα+=10×+3
=-3+3=0;
当k<0时,r=-k,α为第二象限角,
sinα=,
=-,
所以10sinα+=10×+3×(-)
=3-3=0.综上,10sinα+=0.7.2.2 单位圆与三角函数线
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是( )
A.第一象限的角
B.第一、第二象限的角
C.第三象限的角
D.第一、第三象限的角
解析由正切线的定义知,当角α是第一、第三象限的角时,正切线都在第一象限.
答案D
2.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sin
α+2cos
α的值等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为点P在单位圆上,则|OP|=1.
即=1,解得a=±.
因为a<0,所以a=-.
所以点P的坐标为.
所以sinα=-,cosα=.
所以sinα+2cosα=-+2×.
答案A
3.已知sin
α>sin
β,则下列命题成立的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cos
α>cos
β
B.若α,β是第二象限的角,则tan
α>tan
β
C.若α,β是第三象限的角,则cos
α>cos
β
D.若α,β是第四象限的角,则tan
α>tan
β
答案D
4.有三个命题:①的正弦线相等;②的正切线相等;③的余弦线相等.
其中真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
解析根据三角函数线的定义可知,的正弦线相等,的正切线相等,的余弦线相反.
答案B
5.比较大小:tan
1 tan.(填“>”或“<”)?
解析因为1<,且都在第一象限,由它们的正切线知tan1答案<
6.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线.
(1)70°;(2)-.
解(1)如图,作70°的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M;延长线段PO,交直线x=1于T,则向量为70°角的正弦线,向量为70°角的余弦线,向量为70°角的正切线.
(2)如图,作-的终边与单位圆的交点P,过点P作x轴的垂线,垂足为M,延长线段PO,交直线x=1于T,则向量为-的正弦线,向量为-的余弦线,向量为-的正切线.
能力提升练
1.若-<α<-,则sin
α,cos
α,tan
α的大小关系是
( )
A.sin
ααα
B.tan
ααα
C.cos
ααα
D.sin
ααα
解析如图,在单位圆中,作出区间内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线.
由图知,||<||<||,又sinα<0,cosα<0,可得sinα答案D
2.(多选)给出以下四个选项,其中正确的选项是( )
A.若0<α<,则sin
α+cos
α>1
B.若<α<π,则-1α+cos
α<1
C.若<α<2π,则-1α+cos
α<1
D.若π<α<,则sin
α+cos
α>-1
解析如图所示,角α的正弦线为,余弦线为,则sinα+cosα=MP+OM,所以0<α<,此时角α在第一象限,则sinα+cosα=OM+MP>OP=1,故A正确;若<α<π,则sinα+cosα=OM+MP,此时角α的终边在第二象限,-1答案ABC
3.点P(sin
3-cos
3,sin
3+cos
3)所在的象限为( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析因为π<3<π,作出单位圆如图所示.
正弦线是,余弦线是,又sin3>0,cos3<0,
所以sin3-cos3>0.
因为||<||,即|sin3|<|cos3|,
所以sin3+cos3<0.
故点P(sin3-cos3,sin3+cos3)在第四象限.
答案D
4.sin,cos,tan从小到大的顺序是 .?
解析由图可知:cos<0,tan>0,sin>0.
因为||<||,所以sin故cos答案cos5.已知α∈,求证:sin
α<αα.
证明在单位圆中,设∠AOP=α,则的长度为α,角α的正弦线为,正切线为,
∵S△OPA∴|·||<|·α<|·||,
即||<α<||,∴sinα<α素养培优练
设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.
解θ是第二象限角,即2kπ+<θ<2kπ+π(k∈Z),故kπ+当k=2n,n∈Z时,2nπ+<2nπ+(n∈Z),cos当k=2n+1,n∈Z时,2nπ+<2nπ+π(n∈Z)时,sin课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知tan
α=m,则sin
α=( )
A.m
B.±m
C.±
D.-
解析∵tanα=m,π<α<π,
∴m>0,sinα<0.
sin2α=.
∴sinα=-.
答案D
2.已知sin
αcos
α=,0<α<,则sin
α+cos
α的值是
( )
A.
B.-
C.
D.
解析由题意,(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,
因为0<α<,所以sinα+cosα>0,
则sinα+cosα=.
答案D
3.化简的结果是( )
A.sin
4+cos
4
B.sin
4-cos
4
C.cos
4-sin
4
D.-cos
4-sin
4
解析因为π<4<,所以sin4<0,cos4<0.
又,所以=|cos4+sin4|=-cos4-sin4.
答案D
4.若sin
θ-cos
θ=,则tan
θ+= .?
解析由已知得(sinθ-cosθ)2=2,
所以sinθcosθ=-.
所以tanθ+=-2.
答案-2
5.化简:·sin2x= .?
解析原式=tanx+sin2x
=sin2x
=·sin2x
==tanx.
答案tan
x
6.已知=2,计算下列各式的值:
(1);
(2)sin2α-2sin
αcos
α+1.
解由=2,化简得sinα=3cosα,
所以tanα=3.
(1)原式=.
(2)原式=+1
=+1
=+1
=.
7.证明:
(1)=sin
α+cos
α;
(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).
证明(1)左边=
=
==sinα+cosα=右边.
故原式成立.
(2)因为左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α
=2+2tan2α+2sin2α-sin2α
=2+2tan2α+sin2α,
右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)
=1+cos2α+2tan2α+2sin2α
=2+2tan2α+sin2α,
所以左边=右边,原式成立.s
能力提升练
1.已知,则等于( )
A.
B.-
C.2
D.-2
解析因为,
所以
==-.
答案B
2.(多选)化简的结果是( )
A.cos
160°
B.|cos
160°|
C.±cos
160°
D.-cos
160°
解析因为160°角为第二象限角,所以=|cos160°|=-cos160°,选项B,D正确.
答案BD
3.已知sin
α,cos
α是关于x的一元二次方程2x2-x-m=0的两根,则sin
α+cos
α= ,m= .?
解析由题意知
∵(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα,
∴=1-m,∴m=.
答案
4.在△ABC中,若tan
A=,则sin
A= .?
解析由tanA=>0,且角A是△ABC的内角可得0答案
5.化简:(1);
(2).
解(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式==cosθ.
6.求证:.
证明因为左边=
=
=
=
==右边,
所以原式成立.
素养培优练
已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sin
θ和cos
θ,θ∈(0,2π),求:
(1)m的值;
(2)方程的两根及此时θ的值.
解由根与系数的关系,可知
(1)由①式平方得1+2sinθcosθ=,
所以sinθcosθ=.
故,解得m=.
由③得m≤,而,
所以m=.
(2)当m=时,原方程变为2x2-(+1)x+=0,解得x1=,x2=.
所以
又因为θ∈(0,2π),所以θ=或θ=.7.2.4 诱导公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)(2020山东日照高一检测)下列函数值中符号为负的是( )
A.sin
(-1
000°)
B.cos
C.tan
2
D.sin
5
解析∵-1000°=-3×360°+80°,
∴-1000°是第一象限角,
∴sin(-1000°)>0;
∵=2π+,∴是第三象限角,
∴cos<0;
∵<2<π,∴2rad是第二象限角,∴tan2<0;
∵<5<2π,∴5rad是第四象限角,∴sin5<0.
答案BCD
2.已知a=tan,b=cos,c=sin,则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c
B.a>b>c
C.b>c>a
D.a>c>b
解析由题可得,a=-,b=,c=-,
所以b>a>c.
答案A
3.(多选)化简的结果是
( )
A.sin
2-cos
2
B.|cos
2-sin
2|
C.±(cos
2-sin
2)
D.无法确定
解析原式=
=|sin2-cos2|=sin2-cos2.
答案AB
4.已知tanα-=,且α∈0,,则cos-α=
( )
A.-
B.
C.-
D.
解析由题意知,
解得sinα-=±.
由tanα-=>0,且α∈0,,可得0<α-,
则sinα-=,故cos-α=cos-α-=sinα-=.
答案B
5.设tan(5π+α)=m,则的值为 .?
解析由题意知tanα=m,
原式=.
答案
6.化简:(1)1+cossintan(π+α);
(2).
解(1)原式=1+(-sinα)cosαtanα=1-sin2α=cos2α.
(2)原式=
=
==-=-tanα.
7.已知sin(5π+α)=lg,求cos(2π+α)的值.
解∵sin(5π+α)=sin(π+α)=-sinα,
lg=lg1=-,
∴sin
α=,∴cos(2π+α)=cos
α=±
=±=±.
能力提升练
1.记cos(-80°)=k,则tan
100°等于( )
A.
B.-
C.
D.-
解析∵cos(-80°)=cos80°=k,sin80°=,∴tan100°=-tan80°=-.故选B.
答案B
2.(多选)已知A=(k∈Z),则A的值是( )
A.-1
B.-2
C.1
D.2
解析当k为偶数时,A==2;当k为奇数时,A==-2.故选BD.
答案BD
3.已知α为锐角,2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin
α的值是( )
A.
B.
C.
D.
解析由题可知-2tanα+3sinβ+5=0,tanα-6sinβ-1=0,所以tanα=3.
又tanα=,且sin2α+cos2α=1,
所以9=.所以sin2α=.
因为α为锐角,所以sinα=.
答案C
4.已知=1,则
的值是( )
A.1
B.2
C.3
D.6
解析因为原式==tanθ=1,
所以
==1.
答案A
5.已知tan(π-θ)=3,则=
( )
A.-1
B.-
C.1
D.
解析由tan(π-θ)=3,得-tanθ=3,即tanθ=-3,
则.
答案D
6.在△ABC中,sin-A=3sin(π-A),且cos
A=-cos(π-B),则C= .?
解析由题意得cosA=3sinA,
①
cosA=cosB,
②
由①得tanA=,所以A=.
由②得cosB=,
所以B=,则C=.
答案
7.已知α是第三象限的角,且f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos,求f(α)的值.
解(1)f(α)==-cosα.
(2)∵cos=-sinα,∴sinα=-.又α是第三象限的角,∴cosα=-=-,
∴f(α)=.
素养培优练
(1)已知sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,求的值.
(2)已知sin(4π+α)=sin
β,cos(6π+α)=cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.
解(1)因为方程5x2-7x-6=0的两根为2和-,
所以sinα=-.
由sin2α+cos2α=1,得cosα=±=±.
当cosα=时,tanα=-;
当cosα=-时,tanα=.
所以原式==tanα=±.
(2)因为sin(4π+α)=sinβ,
所以sinα=sinβ.
①
因为cos(6π+α)=cos(2π+β),
所以cosα=cosβ.
②
①2+②2,得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2,
所以cos2α=,即cosα=±.
又0<α<π,所以α=或α=.
又0<β<π,当α=时,由②得β=;
当α=时,由②得β=.
所以α=,β=或α=,β=.(共28张PPT)
7.2.1 三角函数的定义
课标阐释
1.理解并掌握任意角的三角函数的定义.
2.能根据任意角的三角函数的定义,分析出三角函数在各象限的符号,并能根据角α的某种三角函数值符号,判断出α所在的象限.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图,它的中心离地面的高度为h0,它的直径为2R,逆时针方向匀速转动,转动一周需要360秒.
问题:1.若现在你坐在座舱中,从初始位置OA出发,过了30秒后,你离地面的高度h为多少?过了45秒呢?过了t秒呢?
2.建立如图所示直角坐标系,射线OP与单位圆交于点P,设点P(xP,yP),你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:任意角的正弦、余弦与正切的定义
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案B
激趣诱思
知识点拨
答案C
激趣诱思
知识点拨
知识点二:正弦、余弦与正切在各象限的符号
如果P(x,y)是α终边上异于原点的任意一点,
,由r>0可知,sin
α的正负与α终边上点的纵坐标的符号相同,所以,当且仅当α的终边在第一、二象限,或y轴正半轴上时,sin
α>0;当且仅当α的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上时,sin
α<0.
当且仅当α的终边在第一、四象限,或x轴正半轴上时,cos
α>0;当且仅当α的终边在第二、三象限,或x轴负半轴上时,cos
α<0.
当且仅当α的终边在第一、三象限时,tan
α>0;当且仅当α的终边在第二、四象限时,tan
α<0.
激趣诱思
知识点拨
以上结果可用下图直观表示.
名师点析
正弦函数值的符号取决于y轴的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于x轴的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于x轴,y轴的符号,同号为正,异号为负.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
(1)若sin
α,cos
α都是负数,则α是第 象限角.?
(2)若tan
α<0,则α是第 象限角.?
答案(1)三 (2)二或四
激趣诱思
知识点拨
微练习2
判断下列各三角函数值的符号:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
三角函数的定义
例1已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin
α,cos
α,tan
α的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数值的求解策略
当所给角的终边上的点含有字母时,一定要注意分类讨论,并结合函数值的正负进行取舍.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
判断三角函数值的符号
例2判断下列三角函数值的符号.
(2)sin
3·cos
4·tan
5.
分析确定一个角的三角函数值的符号,关键要看角在哪一个象限;确定一个式子的符号,则需要观察该式子的结构特点及每部分的符号.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断三角函数值在各象限符号的攻略
(1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限;
(2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号;
(3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
三角函数式的化简与求值
分析按角x在第一象限,第二象限,第三象限,第四象限进行讨论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
简单的三角函数的化简求值,因给出的式子中含绝对值符号,所以要分类讨论,分类一定要全,求值一定要准.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案-8
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在三角函数定义中的应用
典例
已知角α的终边落在直线y=2x上,求sin
α,cos
α,tan
α的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故α的终边有两种情况,需分类讨论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos
α=( )
答案A
2.若tan
θ·sin
θ<0,且tan
θ·cos
θ>0,则θ是( )
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.判断下列各式的符号(填“>”或“<”):
(1)sin
328° 0;?
解析(1)因为270°<328°<360°,所以328°是第四象限角,所以sin
328°<0.
答案(1)< (2)< (3)<
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测(共24张PPT)
7.2.2 单位圆与三角函数线
课标阐释
1.理解单位圆的概念.
2.理解三角函数线的定义并能运用三角函数线解决相关的问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
江南水乡,水车在河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水引进水渠,流向绿油油的大地.在水车转动的瞬间,同学们能想到些什么呢?
将图中的水车抽象出一个数学模型,建立平面直角坐标系(如图所示),设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴,过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的定义,你能得到sin
α,cos
α,tan
α与MP,OM,AT的关系吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:单位圆
一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.
名师点析
(1)当角α的终边与单位圆的交点为P(x,y)时,r=OP=1,此时sin
α=y,cos
α=x,tan
α=
(x≠0).因此我们也可以用单位圆上点的坐标表示三角函数值.
(2)单位圆的作用就是将r变为1.
微思考
角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cos
α,sin
α)?
激趣诱思
知识点拨
知识点二:三角函数线
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
三角函数线的作法及应用
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得出正弦线和余弦线.
(2)作正切线时,应从A(1,0)点引x轴的垂线,交角α的终边(α为第一或第四象限角)或角α终边的反向延长线(α为第二或第三角限角)于点T,即可得到正切线
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
变式训练(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边( )
A.在x轴上
B.在y轴上
C.在直线y=x上
D.在直线y=-x上
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
(1)解析根据正弦线的定义知,|sin
α|=1,
所以sin
α=±1,所以角α的终边在y轴上.
答案B
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用三角函数线比较大小
例2比较下列各组数的大小.
分析在单位圆中正确画出各角需要比较大小的三角函数线.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点
(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.
(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案b探究一
探究二
素养形成
当堂检测
数形结合思想在三角不等式证明中的应用
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角函数线的前提是作单位圆.根据三角函数线可以判断sin
α,cos
α,tan
α的符号及大小,因此利用三角函数线可以证明三角不等式.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
方法点睛
要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
1.下列四个命题中:
①α一定时,单位圆中的正弦线一定;
②单位圆中,有相同正弦线的角相等;
③α和α+π有相同的正切线;
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上.
不正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析由三角函数线的定义知①④正确,②③不正确.
答案C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )
A.aB.bC.cD.a答案C
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
答案D
答案AD
探究一
探究二
素养形成
当堂检测(共29张PPT)
7.2.4 诱导公式
课标阐释
1.掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值.
2.会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明.
3.通过公式的运用,学会从未知到已知、从复杂到简单的转化方法.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
同学们听了老师的记忆口诀后,更是摸不着头脑,老师随后做了解释,同学们脑洞大开,都拍手叫好.
这句话和我们学习的诱导公式有什么关系呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:角α与α+k·2π(k∈Z)的三角函数值之间的关系
(诱导公式①)
sin(α+k·2π)=sin
α,cos(α+k·2π)=cos
α,tan(α+k·2π)=tan
α.
微练习
计算:(1)sin
390°= ;?
(2)cos
765°= ;?
(3)tan(-300°)= .?
激趣诱思
知识点拨
知识点二:角的旋转对称
一般地,角α的终边和角β的终边关于角
的终边所在的直线对称.
微练习
60°和120°角的终边关于 角的终边所在的直线对称.?
答案90°
激趣诱思
知识点拨
知识点三:角α与-α的三角函数值之间的关系(诱导公式②)
sin(-α)=-sin
α,cos(-α)=cos
α,tan(-α)=-tan
α.
微练习
计算:(1)sin(-45°)= ;?
(2)cos(-765°)= ;?
(3)tan(-750°)= .?
激趣诱思
知识点拨
知识点四:角α与π±α的三角函数值之间的关系(诱导公式③④)
诱导公式③
sin(π-α)=sin
α,cos(π-α)=-cos
α,tan(π-α)=-tan
α.
诱导公式④
sin(π+α)=-sin
α,cos(π+α)=-cos
α,tan(π+α)=tan
α.
名师点析
(1)公式①~④的概念:
α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
(2)判断函数值的符号时,虽然把α看成锐角,但实际上,对于正弦与余弦的诱导公式,α可以为任意角;对于正切的诱导公式,α的终边不能落在y轴上,即α≠kπ+
(k∈Z).
(3)公式既可以用弧度制表示,也可以用角度制表示.
激趣诱思
知识点拨
微练习
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直接利用诱导公式化简、求值
例1(1)已知cos
31°=m,则sin
239°tan
149°的值是( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
解决化简求值问题的策略:
(1)首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
给值(式)求值问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
解给值(或式)求值题的基本思路
给值(或式)求值,解决的基本思路是认真找出条件式与待求式之间的差异性,主要包括函数名称及角两个方面,然后就是巧妙地选用公式“化异为同”或代入条件式求解.有时还需对条件式或待求式进行适当化简后再作处理.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用诱导公式证明问题
分析观察被证等式两端,左边较为复杂,右边较为简简,可以从左边入手,利用诱导公式进行化简,逐步推向右边.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角恒等式的证明策略
(1)遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,总之,应遵循化繁为简的原则.
(2)常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在化简中的应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
对于式中含有kπ(k∈Z)的情况,将k分为k=2n和k=2n+1(k∈Z)两种情况求解更易于诱导公式的应用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.如果α,β满足α+β=π,那么下列式子中正确的个数是( )
①sin
α=sin
β;②sin
α=-sin
β;③cos
α=-cos
β;④cos
α=cos
β;⑤tan
α=-tan
β.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析因为α+β=π,所以sin
α=sin(π-β)=sin
β,故①正确,②错误;
cos
α=cos(π-β)=-cos
β,故③正确,④错误;tan
α=tan(π-β)=-tan
β,⑤正确.
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案-5
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测