(共40张PPT)
7.3.2 正弦型函数的性质与图像
课标阐释
1.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像,并熟悉其变换过程.
2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期、频率与振幅.
3.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并且了解y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在物理上,简谐运动中单摆相对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数.如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像.
将测得的图像放大,如图②所示,可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y=Asin(ωx+φ)与函数y=sin
x有什么关系呢?函数y=Asin(ωx+φ)的周期、最值分别受哪些量的影响?如何作出函数y=Asin(ωx+φ)的图像?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:正弦型函数
一般地,形如y=Asin(ωx+φ)的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0.
其中|A|称为振幅,φ称为初相,
激趣诱思
知识点拨
知识点二:正弦型函数的图像变换
由函数y=sin
x的图像通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像有两种主要途径:
(1)先平移后伸缩
激趣诱思
知识点拨
(2)先伸缩后平移
激趣诱思
知识点拨
微练习
激趣诱思
知识点拨
知识点三:正弦型函数的性质
根据正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像,我们可以得到它的性质.
(1)定义域:R.
(2)值域:[-A,A].
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
“五点法”作正弦型函数的图像
分析采用“五点法”作三角函数图像,关键在于确定“五点”.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)对应的图像如图:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦型函数的图像变换
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
已知图像求正弦型函数的解析式
分析先求A,再求ω,最后求φ.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
根据图像求解析式的方法
(1)由图像的最高点、最低点确定最值,从而求A.
(2)由图像的零点、最值点确定周期,从而求ω.
(3)由图像上一个点的坐标代入后根据范围求φ.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的对称性
例4已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π).
(1)若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数,求φ的值;
(2)若函数f(x)=sin(2x+φ)关于x=
对称,求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心的坐标.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)函数y=Asin(ωx+φ)的性质较为综合,主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查.
(2)有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质运用问题,要特别注意整体代换思想的运用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案②③
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
整体法求复合函数的单调区间
典例
求下列函数的单调递增区间.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,首先把x的系数化为正的,再利用整体代换,即把ωx+φ代入相应不等式中,求解相应的变量x的取值范围.
(2)求复合函数的单调区间时,要先求定义域,同时还要遵循“同增异减”的法则.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
3.已知函数y=Asin(ωx+φ),x∈R(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示.则A,ω,φ的一个数值可以是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
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探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测(共28张PPT)
7.3.4 正切函数的性质与图像
课标阐释
1.能画出正切函数的图像.
2.会利用y=tan
x的性质确定与正切函数有关的函数性质.
3.会利用正切函数的单调性比较函数值大小.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
类似于正弦函数,我们可以定义正切函数:y=tan
x,其中x是自变量,对任意一个x,按照这个对应关系,都有唯一确定的正切值与之对应.我们在正弦函数中,研究了它的图像,以及定义域、值域、单调性、奇偶性等性质.那么,正切函数的图像有什么特点?它又有哪些上述的性质呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:正切函数的性质与图像
1.对于任意一个角x,只要x≠
+kπ,k∈Z,就有唯一确定的正切值
tan
x与之对应,因此y=tan
x是一个函数,称为正切函数.
激趣诱思
知识点拨
函数
y=tan
x
定义域
?
值域
R
周期
最小正周期为π
奇偶性
奇函数
单调性
在每一个开区间
上都是单调递增的
零点
kπ(k∈Z)
2.正切函数的性质
激趣诱思
知识点拨
3.正切函数的图像
(1)正切函数的图像:
(2)正切曲线:y=tan
x的函数图像称为正切曲线.正切曲线是中心对
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)函数y=tan
x在其定义域上是增函数.( )
(2)函数y=tan
x的图像的对称中心是(kπ,0)(k∈Z).( )
(3)函数y=tan
2x的周期为π.( )
答案(1)× (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案[0,1]
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
正切函数的定义域、周期性、奇偶性
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案(1)A (2)A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
正切函数单调性问题
(2)比较tan
1,tan
2,tan
3的大小.
分析(1)由于x的系数小于零,故应将其进行变形,化为系数为正,再根据正切函数单调性求解.
(2)可利用正切函数单调性进行比较.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求正切型函数单调区间的方法
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求函数的值域
分析利用换元法,将原函数化为二次函数的形式来解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
换元法求值域的关注点
使用换元法求函数值域时,一定要注意换元后自变量的取值范围.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
数形结合思想在三角中的应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
数形结合法求解问题的关键是准确地画出图像.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案[0,1]7.3.3 余弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=cos的图像的两条相邻对称轴间的距离为( )
A.
B.
C.
D.π
解析y=cos的最小正周期T=.
其相邻两条对称轴间的距离为半个周期,故两条相邻对称轴间的距离为d=.
答案B
2.(多选)设函数f(x)=cosx+,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的一个周期为2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=-对称
C.fx+的一个零点为π
D.f(x)在,π上单调递减
解析已知函数f(x)=cosx+.
在A中,由余弦函数的周期性得f(x)的一个周期为2π,故A正确;
在B中,函数f(x)=cosx+的对称轴满足条件x+=kπ,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,所以y=f(x)的图像关于直线x=-对称,故B正确;
在C中,fx+=cosx+=-sinx,-sinπ=0,所以fx+的一个零点为π,故C正确;
在D中,函数f(x)=cosx+在,π上先减后增,故D错误.
答案ABC
3.函数y=sin2x-cos
x+1的最大值为 .?
解析y=sin2x-cosx+1=-cos2x-cosx+2
=-cosx+2+.
∵-1≤cosx≤1,
∴当cosx=-时,ymax=.
答案
4.已知函数y=a-bcos
x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4bsin
ax的最大值、最小值及周期.
解∵-1≤cosx≤1,由题意知b≠0.
当b>0时,-b≤-bcosx≤b,
∴a-b≤a-bcosx≤a+b.
∴解得
∴y=-4bsinax=-4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
当b<0时,b≤-bcosx≤-b,
∴a+b≤a-bcosx≤a-b.
∴解得
∴y=-4bsinax=4sinx.
最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.
5.已知函数y=cos
x+|cos
x|.
(1)画出函数的简图.
(2)判断该函数是否为周期函数.如果是,求出它的最小正周期.
(3)求函数的单调增区间.
解(1)y=cosx+|cosx|
=
函数图像如图.
(2)由图像可知该函数是周期函数,且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像可知函数的单调递增区间为2kπ-,2kπ(k∈Z).
能力提升练
1.函数y=-cos
x(x>0)的图像中与y轴距离最近的最高点的坐标为( )
A.,1
B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
解析作出函数y=-cosx(x>0)的图像(图略),由图易知,与y轴距离最近的最高点的坐标为(π,1).
答案B
2.若把函数y=3cos2x+的图像上的所有点向右平移m(m>0)个单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是( )
A.π
B.
C.
D.
解析y=3cos2x+y=3cos2x+-m.
因为图像关于y轴对称,所以当x=0时,2×0+-2m=kπ(k∈Z),m=(k∈Z),当k=0时,m=,故选C.
答案C
3.函数y=-xcos
x的部分图像是( )
解析令y=f(x),因为f(x)的定义域为R,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x),
所以函数y=-xcosx是奇函数,图像关于原点对称,所以排除A,C;
因为当x∈0,时,y=-xcosx<0,所以排除B.
故选D.
答案D
4.已知ω>0,函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.(0,2]
B.0,
C.
D.
解析令t=-ωx,则函数f(x)=cos-ωx,
由y=cost及t=-ωx复合而成,
因为ω>0,
所以t=-ωx为减函数,
要使得函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,
则y=cost必须单调递增,
令-π+2kπ≤t≤2kπ(k∈Z),
即-π+2kπ≤-ωx≤2kπ(k∈Z),
解得≤x≤(k∈Z),
要使得函数f(x)=cos-ωx在,π上单调递减,
则,π?(k∈Z),
即解得
当k=0时,≤ω≤.
答案D
5.设函数f(x)=cos+1,有以下结论:
①点是函数f(x)图像的一个对称中心;
②直线x=是函数f(x)图像的一条对称轴;
③函数f(x)的最小正周期是π;
④将函数f(x)的图像向右平移个单位后,对应的函数是偶函数.
其中所有正确结论的序号是 .?
解析∵f(x)的图像是由y=cos向上平移1个单位得到,
y=cos的对称中心的纵坐标为0,
∴f(x)的对称中心的纵坐标为1,故①错;
当x=时,f(x)取得最小值0,
∴x=是f(x)的一条对称轴,故②正确;
T==π,故③正确;
f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=cos2x+1的图像,它是偶函数,故④正确.
答案②③④
6.已知函数f(x)=2cos
ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移个单位后,再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间.
解(1)因为f(x)的周期T=π,故=π,所以ω=2.
所以f(x)=2cos2x.所以f=2cos.
(2)将y=f(x)的图像向右平移个单位后,得到y=2cos的图像,再将所得图像上各点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变,得到y=2cos的图像,
所以g(x)=2cos.
当2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减,因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
素养培优练
已知函数f(x)=2cos2x+,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈-时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根,
求实数k的取值范围;
(3)将函数f(x)=2cos2x+的图像向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图像关于原点中心对称,求m的最小值.
解(1)由余弦函数的单调性,解不等式2kπ+π<2x+<2kπ+2π,k∈Z,
得+kπ
(2)函数f(x)=2cos2x+的单调递增区间为+kπ,+kπ,k∈Z,单调递减区间为+kπ,+kπ,k∈Z,
又x∈,所以函数f(x)在-,-上单调递增,在-上单调递减,
则f-=0,f-=2,f=-,
所以当0≤k<2时,函数y=k与函数y=f(x)的图像有两个公共点,
即当k∈[0,2]时,方程f(x)=k恰有两个不同的实数根.
(3)函数f(x)=2cos2x+的图像向右平移m(m>0)个单位,
得到图像对应的函数为g(x)=2cos2x+-2m,
则g(x)是奇函数,
g(0)=2cos0+-2m=0,
即-2m=kπ+,k∈Z,
则m=-,k∈Z,
因为m>0,所以当k=-1时,mmin=.7.3 三角函数的性质与图像
7.3.1 正弦函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020长沙高一检测)不等式sin
x≥,x∈(0,2π)的解集为( )
A.
B.
C.
D.
解析因为sinx≥,x∈(0,2π),
所以≤x≤,所以不等式的解集为.
答案B
2.函数y=-sin|x|的图像是( )
解析因为函数y=-sin|x|是定义域R上的偶函数,图像关于y轴对称,所以排除A;
因为函数y=-sin|x|的值有正有负,所以排除C;当x≥0时,y=-sinx,所以排除B.
答案D
3.函数y=9-sin
x的单调递增区间是( )
A.2kπ-,2kπ+(k∈Z)
B.2kπ+,2kπ+(k∈Z)
C.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)
D.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
解析y=9-sinx的单调递增区间与y=sinx的单调递减区间相同,故选B.
答案B
4.(多选)已知函数f(x)=cosx+(x∈R),下面结论正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)在区间0,上单调递减
C.函数f(x)的图像关于原点对称
D.函数f(x)为偶函数
解析f(x)=cosx+=-sinx,结合y=-sinx的图像与性质知A,B,C正确.
答案ABC
5.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的周期函数,若f(x)=则f= .?
解析由题意,得f=f=f=sin=sin=sin.
答案
6.用“五点法”作出函数y=2-sin
x,x∈[0,2π]的图像.
解列表如下:
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
2-sin
x
2
1
2
3
2
描点,用光滑曲线连起来,图像如图所示.
能力提升练
1.下列关系式中正确的是( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
解析sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,cos10°=sin80°.因为正弦函数y=sinx在区间0°~90°上单调递增,所以sin11°答案C
2.(多选)函数y=sin
x与y=sin(-x)的图像关于( )对称.
A.x轴
B.y轴
C.直线y=x
D.直线x=
解析∵函数y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称,
∴函数y=sinx与y=sin(-x)的图像关于y轴对称.
∵函数y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称,y=sin(-x)=-sinx,
∴函数y=sinx与y=sin(-x)的图像关于x轴对称.
答案AB
3.设函数y=sin
x的定义域为[m,n],值域为-,1,令t=n-m,则t的最大值与最小值的和为( )
A.2π
B.
C.π
D.
解析因为函数y=sinx的定义域为[m,n],值域为-,1,结合正弦函数y=sinx的图像与性质,不妨取m=-,n=,此时n-m取得最大值为;取m=-,n=,此时n-m取得最小值为.所以t的最大值与最小值的和为2π.
答案A
4.已知函数f(x)=2sin
x,对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
A.
B.
C.π
D.2π
解析由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立,不难发现f(x1),f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值,故|x1-x2|的最小值为函数f(x)=2sinx的半个周期.
因为f(x)=2sinx的周期为2π,
所以|x1-x2|的最小值为π.
答案C
5.函数y=sin2x+2cos2x-sin
x-3的最大值是( )
A.
B.-
C.3
D.-3
解析令t=sinx,t∈[-1,1],
则y=sin2x+2cos2x-sinx-3=-t2-t-1=-t+2-,ymax=-,故选B.
答案B
6.函数y=2sin
x-x的零点有 个.?
解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=2sinx与y=x的图像可见有3个交点.
答案3
7.求函数f(x)=+lg(25-x2)的定义域.
解由题意可知
作出函数y=sinx的图像如图.
满足sinx-≥0的x的集合为2kπ+,2kπ+(k∈Z).又25-x2>0,即-5故该函数的定义域为.
8.若函数y=a-bsin
x的最大值为,最小值为-,求函数f(x)=-4absin
x的最值.
解①当b>0时,
由题意,得解得
所以f(x)=-2sinx,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
②当b<0时,由题意,得
解得所以f(x)=2sinx,此时f(x)的最大值为2,最小值为-2.
素养培优练
已知函数f(x)=sin
x-2|sin
x|,x∈[0,2π].
(1)作出函数f(x)的图像,并写出f(x)的单调区间;
(2)讨论g(x)=sin
x-2|sin
x|-k,x∈[0,2π]的零点个数,并求此时k的取值范围.
解(1)f(x)=图像如图,
由图像可知f(x)的单调递增区间为,π,,2π;
f(x)的单调递减区间为0,,π,.
(2)由图像可知:
当k>0或k<-3时,直线y=k与函数f(x)有0个交点,即当k∈(0,+∞)或k∈(-∞,-3)时,g(x)没有零点;
当k=-3时,直线y=k与函数f(x)有1个交点,即g(x)有1个零点;
当-3当k=0或k=-1时,直线y=k与函数f(x)有3个交点,即g(x)有3个零点;
当-17.3.5 已知三角函数值求角
课标阐释
1.理解符号arcsin
x,arccos
x,arctan
x的意义.
2.已知一个三角函数值,能合理地表示出与它对应的角.
3.会用信息技术求角.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
特工人员发送情报时都用密码传送,接到密码的人员要把密码还原到原来的文字才能有用.这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值.如已知角求三角函数值是加密的过程,那么由三角函数值求角就是还原的过程.对于某一种三角函数来说,由于每一个三角函数值都有多个角对应,因此由三角函数值求角就变得比较困难.究竟如何由三角函数值求角呢?下面我们来一起学习吧!
激趣诱思
知识点拨
知识点一:利用三角函数线求角
如图所示,圆O为单位圆,分别写出sin
α的正弦线、余弦线与正切线.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点二:用信息技术求角
激趣诱思
知识点拨
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知正弦值求角
分析借助正弦函数的图像及所给角的范围求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
已知正弦值求角的解题策略
给值求角,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围条件的约束作用.对于sin
x=a(x∈R),-1≤a≤1,这个方程的解可表示成x=2kπ+arcsin
a(k∈Z)或x=2kπ+π-arcsin
a(k∈Z).从而方程的解集为{x|x=kπ+(-1)karcsin
a,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知余弦值求角
例2已知cos
x=-
.
(1)若x∈[0,π],求x;(2)若x∈[0,2π],求x.
分析借助余弦函数的图像及所给角的范围求解即可.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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探究一
探究二
探究三
素养形成
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反思感悟
已知余弦值求角的解题策略
cos
x=a(-1≤a≤1),当x∈[0,π]时,则x=arccos
a,当x∈R时,可先求得[0,2π]内的所有解,再利用周期性可求得{x|x=2kπ±arccos
a,k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知cos
x=-0.345.
(1)当x∈[0,π]时,求x;
(2)当x∈R时,求x的取值集合.
解(1)∵cos
x=-0.345,且x∈[0,π],
∴x=arccos(-0.345)=π-arccos
0.345.
(2)当x∈R时,先求出[0,2π]上的解.
∵cos
x=-0.345,∴x是第二或第三象限的角,
由(1)知x1=π-arccos
0.345为第二象限的角,
∵cos(π+arccos
0.345)=-0.345,且π+arccos
0.345∈
,
∴x2=π+arccos
0.345,因此当x=2kπ+x1或2kπ+x2,k∈Z时,
cos
x=-0.345,即所求x的集合为
{x|x=2kπ±arccos(-0.345),k∈Z}.
探究一
探究二
探究三
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已知正切值求角
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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反思感悟
对于已知正切值求角有如下规律:
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
变式训练2已知tan
x=2,且x∈[3π,4π],求x.(用符号表示)
解∵3π≤x≤4π,
∴x-3π=arctan
2,得x=3π+arctan
2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
已知三角函数值求角的方法
三角函数中求角的问题是一个综合性问题.如果已知一个角的三角函数值,求这个角,我们可以按照“已知三角函数值求角”的步骤来求.
已知三角函数值求角的步骤如下:
(1)由已知三角函数值的符号确定角的终边所在的象限(或终边在哪条坐标轴上);
(2)若函数值为正数,先求出对应锐角α,若函数值为负数,先求出与其绝对值对应的锐角α;
(3)根据角所在象限,由诱导公式得出0~2π间的角.如果适合已知条件的角在第一象限,则它是α;如果适合已知条件的角在第二象限,则它是π-α;如果适合已知条件的角在第三、第四象限,则它分别是π+α和2π-α;
(4)如果要求适合条件的所有角,则利用终边相同的角的表达式来写出.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
方法点睛
在解决与三角形有关的问题时一定要注意两个隐含条件:一是A+B+C=π,二是三角形内角范围为(0,π).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案AB
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.若tan
x=0,则x等于( )
解析因为tan
x=0,所以x=kπ,k∈Z.
答案A
4.满足等式sin(2x+45°)=cos(30°-x)的最小正角x是 .?
解析sin(2x+45°)=sin(60°+x),要使x>0,且最小,则2x+45°=60°+x,所以x=15°.
答案15°
探究一
探究二
探究三
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当堂检测7.3.4 正切函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础达标练
1.y=tan
x的单调性为( )
A.在整个定义域上单调递增
B.在整个定义域上单调递减
C.在(k∈Z)上单调递增
D.在(k∈Z)上单调递减
解析由正切函数的性质可知,C选项正确.
答案C
2.函数f(x)=sin
xtan
x( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析定义域为,关于原点对称.
由f(-x)=sin(-x)·tan(-x)=(-sinx)·(-tanx)=sinxtanx=f(x),则f(x)是偶函数.故选B.
答案B
3.已知函数y=tan(2x+φ)的图像过点,0,则φ可能是( )
A.
B.
C.-
D.
解析因为图像过点,0,所以0=tan2×+φ,所以tan+φ=0,所以φ=-+kπ,k∈Z.所以φ可能是.
答案B
4.(多选)若直线y=m(m为常数)与函数f(x)=tan
ωx(ω>0)的图像的相邻两支相交于A,B两点,且|AB|=,则( )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.ω=4
C.函数f(x)图像的对称中心的坐标为(k∈Z)
D.函数|f(x)|图像的对称轴方程均可表示为x=(k∈Z)
解析∵|AB|=,则T=,
∴ω=4.故A错,B正确;
令4x=kπ,k∈Z,∴x=kπ,k∈Z.
∴y=tan4x的图像的对称中心为(k∈Z).故C正确.
y=|f(x)|图像的对称轴方程为x=(k∈Z),故D错.
答案BC
5.函数y=3tan(π+x),-解析函数y=3tan(π+x)=3tanx,因为正切函数在-上单调递增,所以-3答案(-3,]
6.已知f(x)=atan-bsin
x+4(其中a,b为常数,且ab≠0),若f(3)=5,则f(2
018π-3)= .?
解析f(3)=atan-bsin3+4=5,
所以atan-bsin3=1.
f(2018π-3)=atan-bsin(2018π-3)+4=atan-bsin(-3)+4=-atan+bsin3+4=-+4=-1+4=3.
故f(2018π-3)=3.
答案3
7.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性.
解(1)由x-+kπ,k∈Z,
解得x≠+2kπ,k∈Z.
所以定义域为,值域为R.
(2)f(x)为周期函数,周期T==2π.f(x)的定义域不关于原点对称,
所以f(x)为非奇非偶函数.
由-+kπ解得-+2kπ能力提升练
1.已知a=tan,b=tan,c=sin,则有( )
A.aB.cC.cD.b解析∵函数y=tanx在0,上单调递增,且0<,
∴tantan-sin-sin=sin.
∵00,
∴tan-sin>0,即a>c.
∴c答案C
2.函数f(x)=tanx-在一个周期内的图像是
( )
解析由f=tan=tan0=0,则f(x)的图像过点,0,排除选项B,C,D.
答案A
3.若将函数y=tan(ω>0)的图像向右平移个单位后,与函数y=tan的图像重合,则ω的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析将函数y=tan(ω>0)的图像向右平移个单位,得y=tan.
又因为平移后函数的图像与y=tan的图像重合,所以=kπ(k∈Z),
即=kπ(k∈Z).
所以当k=0时,ωπ=,即ω的最小值为.故选D.
答案D
4.下面五个命题中,正确命题的序号是 .?
①y=的最小正周期是;
②终边在坐标轴上的角的集合是;
③y=4tan的图像向右平移个单位,可得y=4tan
2x的图像;
④函数f(x)=3tan在区间内单调递增.
答案②③④
5.设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期、单调区间及对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
解(1)由题可得,周期T=2π.
由-+kπ<+kπ(k∈Z),解得2kπ-解得x=kπ+(k∈Z),则对称中心为+kπ,0(k∈Z).
(2)由题意得kπ-≤kπ+,k∈Z,可得不等式-1≤f(x)≤的解集为x+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
6.已知函数f(x)=lo|tan
x|.
(1)求其定义域和值域;
(2)判断其奇偶性;
(3)判断其周期性;
(4)写出其单调区间.
解(1)由题意知|tanx|>0,则tanx≠0,即x≠kπ,且x≠kπ+,k∈Z,
∴其定义域为xx≠kπ,且x≠kπ+,k∈Z.
∵|tanx|>0,
∴其值域为R.
(2)∵函数定义域关于原点对称,又
f(-x)=lo|tan(-x)|=lo|tanx|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)∵y=|tanx|在其定义域内为周期函数,且最小正周期为π,
∴f(x)也是周期函数,且最小正周期为π.
(4)单调递增区间为,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z.
素养培优练
设函数f(x)=asinkx+,φ(x)=btankx-,k>0.若它们的最小正周期之和为,且f=φ,f=-φ+1,求f(x),φ(x)的解析式.
解f(x)=asinkx+的最小正周期T=.
φ(x)=btankx-的最小正周期T=.
∵,∴k=2.
∴f(x)=asin2x+,φ(x)=btan2x-,
∴f=asinπ+=-asin=-a,
φ=btanπ-=-btan=-b,
f=asin=acosa,
φ=btan=b.
∴
化简得
解得
∴f(x)=sin2x+,φ(x)=tan2x-.(共37张PPT)
7.3.3 余弦函数的性质与图像
课标阐释
1.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值.
2.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数y=cos
x和y=Acos(ωx+φ)的图像,能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,并能利用余弦函数的图像和性质来解决相关的综合问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.一个基本的过山车构造中,包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.
问题:1.函数y=cos
x的图像也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是y=cos
x的什么性质?
2.过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点,然后再爬升,对应y=cos
x的什么性质?y=cos
x在什么位置取得最值?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:余弦函数的性质与图像
1.余弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos
x与之对应,所以y=cos
x是一个函数,一般称为余弦函数.
2.余弦函数的性质与图像
性质与图像
y=cos
x
定义域
R
值域
[-1,1]
周期性
最小正周期为2π
奇偶性
偶函数
单调性
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减
激趣诱思
知识点拨
3.余弦曲线:函数y=cos
x的图像称为余弦曲线.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
(多选)对于余弦函数y=cos
x的图像,有以下描述,其中正确的有( )
A.将[0,2π]内的图像向左、向右无限延展
B.与y=sin
x的图像形状完全一样,只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
激趣诱思
知识点拨
解析余弦函数y=cos
x的图像,是将[0,2π]内的图像向左、向右无限“重复”得到的,不是延展,因为延展可能是拉伸,故A错误;正弦函数y=sin
x的图像向左平移
个单位,会与y=cos
x的图像重合,故B正确;当x=kπ+
(k∈Z)时,y=cos
x=0,故余弦函数y=cos
x的图像与x轴有无数个交点,故C正确;余弦函数y=cos
x是偶函数,其图像关于y轴对称,故D正确.
答案BCD
激趣诱思
知识点拨
微练习2
函数y=2cos
x-1的最大值是 ,周期是 ,单调递增区间为 .?
答案1 2π [2kπ-π,2kπ],k∈Z
激趣诱思
知识点拨
知识点二:余弦型函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
函数
y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)
定义域
R
值域
[-A,A],最小值为-A,最大值为A
周期性
最小正周期
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析(1)先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证.
(2)利用诱导公式化到一个单调区间,再利用单调性比较.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案(1)B (2)A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.余弦型函数单调区间的求法
(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正.
(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.
(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.
2.关于三角函数值比较大小
利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
余弦函数的奇偶性、对称性
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
关于余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的对称问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与余弦函数有关的值域问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
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探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法
(1)sin
x,cos
x的有界性,即|sin
x|≤1,|cos
x|≤1;
(2)sin
x,cos
x的单调性,通常结合函数图像来解决;
(3)化为sin
x=f(y)或cos
x=f(y),再利用|f(y)|≤1来确定;
(4)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
应用数形结合法解三角不等式
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
结合函数图像解不等式,可使抽象问题直观化.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.函数f(x)=cos(sin
x)( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析函数的定义域为R,f(-x)=cos[sin(-x)]=cos(-sin
x)
=cos(sin
x)=f(x),所以函数f(x)=cos(sin
x)是偶函数.
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(多选)已知函数f(x)=cos
x,下列结论不正确的是( )
A.函数y=f(x)的最小正周期为2π
B.函数y=f(x)在区间(-π,0)内单调递减
C.函数y=f(x)的图像关于x=π轴对称
D.把函数y=f(x)的图像向左平移
个单位可得到y=sin
x的图像
解析由题意,函数f(x)=cos
x其最小正周期为2π,故A正确.函数在
(-π,0)上单调递增,故B不正确;函数的对称轴方程是x=kπ(k∈Z),当k=1时,x=π,故C正确;把函数的图像向左平移
个单位可得
答案BD
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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当堂检测7.3.2 正弦型函数的性质与图像
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数y=2sin的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案B
2.(多选)有下列四种变换方式,其中能将正弦曲线y=sin
x的图像变为y=sin2x+的图像的是( )
A.横坐标变为原来的,再向左平移个单位
B.横坐标变为原来的,再向左平移个单位
C.向左平移个单位,再将横坐标变为原来的
D.向左平移个单位,再将横坐标变为原来的
解析y=sinx的图像横坐标变为原来的,再向左平移个单位,得y=sin2x+=sin2x+的图像,故A不正确;
y=sinx的图像横坐标变为原来的,再向左平移个单位,得y=sin2x+=sin2x+的图像,故B正确;
y=sinx的图像向左平移个单位,再将横坐标变为原来的,得y=sin2x+个单位,故C正确;
y=sinx的图像向左平移个单位,再将横坐标变为原来的,得y=sin2x+的图像,故D不正确.
答案BC
3.已知函数f(x)=Asin(2x+φ)A≠0,|φ|<,若x=是f(x)图像的一条对称轴方程,则下列说法正确的是( )
A.f(x)图像的一个对称中心为,0
B.f(x)在-上单调递减
C.f(x)的图像过点0,
D.f(x)的最大值是A
解析∵x=是f(x)图像的一条对称轴方程,
∴2×+φ=+kπ(k∈Z),
又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=Asin2x+.
f(x)图像的对称中心为,0(k∈Z),故A正确;由于A的正负未知,所以不能判断f(x)的单调性和最值,故B,D错误;f(0)=,故C错误.故选A.
答案A
4.函数y=3-2sin2x-取得最大值时x的取值可能为( )
A.
B.
C.-
D.-
解析当sin2x-=-1,
即2x-=-+2kπ,k∈Z时函数取得最大值,解得x=-+kπ,k∈Z,故当k=0时,x=-.故选C.
答案C
5.若函数y=5sin的周期不大于1,则自然数k的最小值为 .?
解析∵T=,且|T|≤1,即≤1.
又k为自然数,∴k≥6π,因此kmin=19.
答案19
6.求函数f(x)=cos2x-sin
x,x∈的最大值.
解由题得,f(x)=1-sin2x-sinx=-sinx+2+.
因为-≤x≤,所以当x=-,即sinx=-时,f(x)取得最大值.
7.如图为函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图像的一部分.试确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式.
解(方法一)由图可知A=3,B,C,
则解得
故y=3sin.
(方法二)由振幅情况知A=3,,
T=π=,解得ω=2.
由B,则3sin=0,又|φ|<,故φ=.故y=3sin.
能力提升练
1.关于x的方程sinx+=2m在[0,π]内有不同的两实根,则实数m的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
解析由于0≤x≤π,所以≤x+,由于关于x的方程sinx+=2m在[0,π]内有不同的两实根,令u=x+,由函数y=sinu与y=2m的图像可知,≤2m<1,解得≤m<.
答案C
2.已知函数f(x)=sin2x+,将其图像向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意得g(x)=sin2(x-φ)+=sin2x-2φ+(φ>0),因为g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于直线x=0对称,所以当x=0时,函数g(x)取得最大值或最小值,所以sin-2φ+=±1,所以-2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,因为φ>0,所以当k=-1时,φmin=,故选B.
答案B
3.已知ω>0,函数f(x)=sin上单调递减,则ω的取值范围是 .?
解析结合y=sinωx的图像可知y=sinωx在上单调递减,而y=sin=sin,可知y=sinωx的图像向左平移个单位之后可得y=sin的图像,故y=sin上单调递减,应有,解得≤ω≤.
答案
4.函数y=Asin(ωx+φ)的最小值为-2,其图像相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π,又图像过点(0,1),则这个函数解析式是 ,单调递增区间为 .?
答案y=2sin [6kπ-2π,6kπ+π],k∈Z
5.已知函数f(x)=Asinωx+(A>0,ω>0)的最小正周期为π,且该函数图像上的最低点的纵坐标为-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴方程.
解(1)∵f(x)的最小正周期为π,
又ω>0,T==π,∴ω==2.
又函数f(x)图像上的最低点纵坐标为-3,且A>0,
∴A=3.∴f(x)=3sin2x+.
(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z,由2x++kπ,得x=,k∈Z,
∴函数f(x)的对称轴方程为x=,k∈Z.
素养培优练
某景区每年都会接待大批游客,在景区的一家专门为游客提供食宿的客栈中,工作人员发现为游客准备的食物有些月份浪费严重.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此他们统计了每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400;③2月份入住客栈的游客约有100人,随后逐月递增,在8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物?
解(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12.
根据①,可知这个函数的周期是12;
由②,可知f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③,可知f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,
所以f(8)=500.
根据上述分析可得=12,故ω=.
又A=200,则B=500-200=300.
当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,
故sin2×+φ=-1,且sin8×+φ=1.
又|φ|<π,故φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为f(x)=200sinx-+300(x=1,2,…,12).
(2)由条件,可知200sinx-+300≥400,
化简得sinx-≥,即2kπ+x-≤2kπ+,k∈Z,解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N
,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.即客栈在6,7,8,9,10这五个月份要准备400份以上的食物.7.3.5 已知三角函数值求角
课后篇巩固提升
基础达标练
1.使不等式-2sin
x≥0成立的x的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
解析-2sinx≥0,解得sinx≤,利用单位圆解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
答案C
2.若P(sin
θ,cos
θ)是角α终边上的一点,则α的值等于
( )
A.-θ
B.θ
C.2kπ+-θ(k∈Z)
D.kπ+-θ(k∈Z)
解析由题意可知tanα=tan,
则α=kπ+-θ,k∈Z.
答案D
3.(多选)已知cos
x=-,0A.
B.
C.
D.
解析∵x∈0,且cosx=-,
∴x∈,∴x=或x=.
答案AB
4.若tan
α=,且α∈,则α=( )
A.
B.
C.
D.
解析因为tan,
又α∈,所以α=π+.
答案C
5.arccos= .?
解析∵cos=cos,且cos∈[0,1],
∴arccos=arccos.
答案
6.若x=是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则角α= .?
解析由条件可知2cosα+=1,即cosα+=,所以α+=2kπ±(k∈Z).
因为α∈(0,2π),所以α=.
答案
7.已知集合A=,集合B=xtan
x=-,求A∩B.
解因为A=,
所以A=xx=2kπ+,k∈Z或x=2kπ+,k∈Z.
因为B=,
所以B=
=.
所以A∩B=.
能力提升练
1.若0A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析由题意可得sin2x=,则sinx=±,当sinx>0时,x的值有两个,分别在第一、二象限,当sinx<0时,x的值也有两个,分别在第三、四象限.故选D.
答案D
2.若tan,则在区间[0,2π]上使其成立的x值的个数为( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析∵tan,∴可知2x+=kπ+(k∈Z),即x=(k∈Z),∵x∈[0,2π],∴当k=1时,x=,当k=2时,x=,当k=3时,x=,当k=4时,x=,共4个值符合要求.
答案B
3.已知等腰三角形的顶角为arccos,则底角的正切值是( )
A.
B.-
C.
D.
解析由题意得三角形顶角为arccos,
底角为.故tan.
答案A
4.若A为△ABC的一个内角,且sin
A+cos
A=,则A为( )
A.arcsin
B.arcsin
C.π-arcsin
D.+arccos
解析因为sin2A+cos2A=1,sinA+cosA=,
所以sinA=,cosA=-,故A=π-arcsin.
答案C
5.若x=是方程2cos(x+α)=1的解,其中α∈(0,2π),则α= .x=-时2cos(x+α)= .?
答案
6.设sin
θ,cos
θ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两个根,<θ<2π,求m和θ的值.
解由根与系数的关系,得
②代入①的平方,得1+2×=m2,
解得m=或m=.
因为<θ<2π,所以sinθcosθ<0,
所以m<,故m=,
则原方程变为4x2-2(1-)x-=0.
由于sinθ<0,cosθ>0,
所以cosθ=,所以θ=.
素养培优练
已知△ABC的三个内角A,B,C满足sin(180°-A)=cos(B-90°),cos
A=-cos(180°+B),求角A,B,C的大小.
解∵sin(180°-A)=cos(B-90°),
∴sinA=sinB.
①
又cosA=-cos(180°+B).
∴cosA=cosB.
②
①2+②2,得cos2A=,即cosA=±.
∵A∈(0,π),
∴A=或A=.
(1)当A=时,有cosB=,
又B∈(0,π),∴B=,C=.
(2)当A=时,由②得cosB==-<0.
可知B为钝角,在一个三角形中不可能出现两个钝角,此种情况无解.
综上,可知角A,B,C的大小分别为.(共36张PPT)
7.3.1 正弦函数的性质与图像
课标阐释
1.理解正弦函数的性质,会求正弦函数的周期、单调区间和最值,并能利用正弦函数的性质与图像来解决相关的综合问题.
2.了解正弦函数图像的画法,能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图像.
3.会用信息技术作正弦曲线.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
如图将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,纸板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像称为正弦曲线.它表示了漏斗相对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:正弦函数性质
1.对于任意一个角x,都有唯一确定的正弦sin
x与之对应,因此y=sin
x是一个函数,一般称为正弦函数.
2.正弦函数的性质与图像
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
3.周期:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得对定义域内的每一个x,都满足f(x+T)=f(x),那么就称函数f(x)为周期函数,
非零常数T称为这个函数的周期.
名师点析
对三角函数的性质的理解
(1)如果y=sin
x的定义域不是全体实数,那么它的值域就可能不是
(2)正弦函数在其定义域上不是单调的.
(3)若函数y=sin
x的定义域不是R,则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
求f(x)=sin(3π+x)的最大值和单调递增区间.
微练习2
下列函数中,不是周期函数的是( )
A.y=-sin
x,x∈R
B.y=3,x∈R
C.y=sin(4π+x),x∈[-10π,10π]
D.y=sin
x,x∈(0,+∞)
答案C
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点二:正弦函数的图像
1.正弦曲线:一般地,y=sin
x的函数图像称为正弦曲线.
2.“五点法”:
(1)画出正弦曲线在[0,2π]上的图像的五个关键点
(2)将所得图像向左、向右平行移动(每次2π个单位长度).
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对三角函数的图像的理解
(1)作正弦函数图像时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量与函数值都为实数.
(2)正弦曲线是轴对称图形,对称轴为x=
+kπ(k∈Z);正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为(kπ,0)(k∈Z).
(3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π,相邻两个对称中心的距离也为π,对称中心到其相邻对称轴的距离为
.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)正弦函数y=sin
x的图像向左右和上下无限伸展.( )
(2)函数y=sin
x与y=sin(-x)的图像完全相同.( )
(3)函数y=sin
x的图像关于(0,0)对称.( )
答案(1)× (2)× (3)√
微练习1
从函数y=sin
x,x∈[0,2π)的图像来看,对应于sin
x=
的x有( )
A.1个值 B.2个值
C.3个值
D.4个值
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
在“五点法”中,正弦曲线最低点的x轴坐标与最高点的x轴坐标的差等于( )
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦函数的值域、最值
例1(1)(多选)已知函数f(x)=2asin
x+a+b的定义域是[0,
],值域为
[-5,-1],则a,b的值为( )
A.a=2,b=-7
B.a=-2,b=2
C.a=-2,b=1
D.a=1,b=-2
(2)求函数f(x)=sin(π+x)-cos2x的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.
分析(1)根据正弦函数的值域,分情况表示出最大值和最小值,通过解方程组求a,b.
(2)利用诱导公式、同角三角函数的关系统一成正弦,换元求最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
关于与正弦函数有关的最值
(1)一次式:如果是关于正弦函数的一次式,要根据一次项的系数正负确定最值;
(2)二次式:如果是关于正弦函数的二次式,则通过换元转化为一元二次函数配方求最值.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
函数奇偶性的判断
例2判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);
分析利用函数奇偶性的定义进行判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断函数奇偶性的方法
(1)函数的定义域是判断函数奇偶性的前提,即首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
(2)注意奇偶性判定法的变通式和定义式的用法,即偶函数也可判断
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
正弦函数单调性的应用
例3比较下列各组数的大小:
分析变形主要有两种:一是异名函数化为同名函数;二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(4)sin
194°=sin(180°+14°)=-sin
14°,
cos
160°=cos(180°-20°)=-cos
20°=-sin
70°.
因为0°<14°<70°<90°,
所以sin
14°70°.
所以-sin
14°>-sin
70°,即sin
194°>cos
160°.
反思感悟
利用正弦函数的单调性比较正弦值的大小的方法
(1)同名函数,若两角在同一单调区间,直接利用单调性得出,若两角不在同一单调区间,则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间,再进行比较;
(2)异名函数,先应用诱导公式转化为同名函数,然后再比较.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
用“五点法”作函数的图像
例4用“五点法”作出函数y=1+2sin
x,x∈[0,2π]的图像.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
用“五点法”画函数图像的基本步骤
(1)列表:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练3函数y=1-sin
x,x∈[0,2π]的大致图像为图中的( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
分类讨论思想在正弦函数中的应用
典例
求函数y=asin
x+b(a≠0)的最值.
解若a>0,当sin
x=1时,ymax=a+b.
当sin
x=-1时,ymin=-a+b.
若a<0,当sin
x=-1时,ymax=-a+b,
当sin
x=1时,ymin=a+b.
方法点睛
研究函数的最值时,不但要注意定义域,同时还需注意单调性.如y=ax+b(a≠0),当a>0时为增函数,当a<0时为减函数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.函数y=-2sin
x-1的单调递减区间是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.函数y=-sin
x+1的对称中心是 ,对称轴为 .?
解析由函数y=-sin
x+1与正弦函数图像的关系可知,函数y=-sin
x+1的对称中心为(kπ,1),k∈Z,对称轴为x=
+kπ,k∈Z.
答案(kπ,1),k∈Z x=
+kπ,k∈Z
5.求函数y=2cos2x+5sin
x-4的最大值和最小值.