8.1.3 向量数量积的坐标运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)设向量a=(1,0),b=,则下列结论中不正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.a∥b
D.a-b与b垂直
解析因为|a|=1,|b|=,
所以|a|≠|b|.
又a·b=1×+0×;
易知a与b不共线,所以A,B,C均不正确.
因为a-b=,且(a-b)·b==0,所以(a-b)⊥b.
答案ABC
2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(a+b)·c=,则
=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析设c=(x,y),
则由(a+b)·c=,得x+2y=-.
又cos==-,
因为0°≤≤180°,则=120°.
答案C
3.已知向量a,b的夹角为,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=( )
A.2
B.3
C.
D.
解析∵|a|=,
a·b=|a||b|cos=0,
∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=()2+4×22=21,∴|a+2b|=.
答案C
4.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于( )
A.-
B.0
C.3
D.
解析因为a=(k,3),b=(1,4),
所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).
因为(2a-3b)⊥c,
所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.
答案C
5.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x= ;|a+b|= .?
解析∵a·b=2,∴x=2.
∵a+b=(3,1),∴|a+b|=.
答案2
6.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 .?
解析由题得λa+b=λ(-3,2)+(-1,0)=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),则(λa+b)·(a-2b)=3λ+1+4λ=7λ+1=0,∴λ=-.
答案-
7.已知向量a,b同向,b=(1,2),a·b=20.
(1)求向量a的坐标;
(2)若c=(2,1),求(b·c)a.
解(1)因为向量a,b同向,又b=(1,2),
所以设a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ),λ>0.
由a·b=20,得1×λ+2×2λ=20,
所以λ=4,所以a=(4,8).
(2)因为b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4,
所以(b·c)a=4(4,8)=(16,32).
8.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),
(1)若a∥b,求x;
(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.
解(1)∵a∥b,∴x1y2-x2y1=0,
即-2-2x=0,可得x=-1.
(2)依题意得a-2b=(2-2x,4),
∵a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,
即4-4x+8=0,
解得x=3,∴b=(3,-1).
设向量a与b的夹角为θ,
则cosθ=.
能力提升练
1.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
解析∵=(1,1),=(-3,3),
∴=1×(-3)+1×3=0.
∴,∴A=90°,故选A.
答案A
2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是( )
A.(-3,0)
B.(2,0)
C.(3,0)
D.(4,0)
解析设点P的坐标为(x,0),
则=(x-2,-2),=(x-4,-1).
=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.
当x=3时,有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.
答案C
3.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量的模为 .?
解析∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4,
∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).
∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,
即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,
∴=(y-x,x-y)=(-8,8),∴||=8.
答案8
4.已知向量m=(λ+2,1),n=(λ+1,2),若(m+n)⊥(m-n),则向量m,n的夹角的余弦值为 ,m+n在n方向上的投影的数量为 .?
解析由题意知向量m+n=(2λ+3,3),m-n=(1,-1),∵(m+n)⊥(m-n),
∴(m+n)·(m-n)=(2λ+3)×1+(-1)×3=2λ=0,即λ=0.
则m=(2,1),n=(1,2),cos=.
m+n=(3,3).
m+n在n方向上的投影的数量为|m+n|cos=.
答案
5.在△ABC中,已知=(1,2),=(4,m),m>0.
(1)若∠ABC=90°,求m的值;
(2)若||=3,且=2,求cos∠ADC的值.
解(1)若∠ABC=90°,则=0,
因为=(3,m-2),
所以=3+2m-4=0,所以m=.
(2)因为||=3,所以=3,
因为m>0,所以m=5,所以=(3,3),
因为=2,
所以=(1,1),=(2,2),
而=(3,4),所以=(-3,-4),
所以cos∠ADC==-.
素养培优练
1.已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,sin
β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求此时a,b的夹角θ.
解(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,所以k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2.
所以(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
因为|a|=1,|b|=1,
所以k2-3+8ka·b+1-3k2=0,
所以a·b=.
(2)由(1)得a·b=,由函数的单调性的定义,易知f(k)=在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当k=1时,a·b的最小值为f(1)=×(1+1)=.
此时a,b的夹角为θ,则cosθ=,
又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
2.已知向量a=(1,),b=(-2,0).
(1)求a-b的坐标以及a-b与a的夹角;
(2)当t∈[-1,1]时,求|a-tb|的取值范围.
解(1)因为a-b=(1,)-(-2,0)=(3,),
所以a-b的坐标为(3,).
设a-b与a之间的夹角为θ,
则cosθ=,
而θ∈[0,π],故θ=.
(2)因为a-tb=(1,)-t(-2,0)=(1+2t,),
所以|a-tb|=,
在上单调递减,在上单调递增,所以t=-时,|a-tb|的最小值为,t=1时,|a-tb|的最大值为2,故|a-tb|的取值范围为[,2].(共27张PPT)
8.1.2 向量数量积的运算律
课标阐释
1.掌握向量数量积的运算律,并要注意运算律的适用范围以及与实数乘法运算律的区别.
2.会应用运算律进行相关的计算或证明等问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
没有规矩不成方圆,国家法律保障每个公民的权利不受侵害,校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见,世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律,那么向量的数量积又满足哪些运算律呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点:向量数量积的运算律
已知向量a,b,c与实数λ,则
交换律
a·b=b·a
?
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0.但是在向量数量积的运算中,不能由a·b=0推出a=0或b=0.事实上,当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.实际上,由a·b=0可推出以下四种结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.
(2)已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于
向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c
a=c,
因为a·b=b·c(b≠0)表示向量c,a在向量b方向上的
投影的数量相等,并不能说明a=c.如图所示,
虽然a·b=b·c,但a≠c.
(3)对于实数a,b,c,有(a·b)c=a(b·c).但对于向量a,b,c,(a·b)c=a(b·c)未必成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)未必成立.
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知|a|=2,|b|=5,=120°,求(2a-b)·a.
答案13
微判断
(1)(a·b)·c=a·(b·c).( )
(2)若a⊥b,则a·b=0.( )
(3)若a∥b,则a·b>0.( )
(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量数量积的计算
例1已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°,求:
(1)e1·e2;(2)(2e1-e2)·(-3e1+2e2);(3)(e1+e2)2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求向量的数量积时,常用到的结论
(1)a2=|a|2;
(2)(xa+yb)·(mc+nd)=xma·c+xna·d+ymb·c+ynb·d,其中x,y,m,n∈R,类似于多项式的乘法法则;
(3)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
同时还要注意几何性质的应用,将向量适当转化,转化的目的是用上已知条件.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量的夹角和垂直问题
例2已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
分析利用夹角公式计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,
所以(a-b)·b=a·b-b2=0,
所以a·b=b2,
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若将本例条件改为“|a|=3|b|=|a+2b|”,试求a与b夹角的余弦值.
解设a与b夹角为θ,因为|a|=3|b|,
所以|a|2=9|b|2.
又|a|=|a+2b|,所以|a|2=|a|2+4|b|2+4a·b
=|a|2+4|b|2+4|a||b|cos
θ
=13|b|2+12|b|2cos
θ,
即9|b|2=13|b|2+12|b|2cos
θ,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析利用向量垂直的充要条件求参数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析由4|m|=3|n|,
可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(tm+n),
所以n·(tm+n)=n·tm+n·n
=t|m||n|cos
θ+|n|2
所以t=-4.
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.两个向量的夹角与其数量积的关系
(1)向量a,b夹角为锐角的等价条件是a·b>0,且a与b不同向共线.
(2)a,b夹角为钝角的等价条件是a·b<0,且a与b不反向共线.
(3)a与b垂直的等价条件是a·b=0.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量在几何中的应用
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量数量积在平面几何应用中的解题策略
(1)利用运算律结合图形先化简再运算.
(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图,半圆的直径AB=4,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则
的最小值等于( )
A.2
B.0
C.-1
D.-2
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平方转化法求向量的模
典例
已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为
,求|a+b|,|a-b|.
提示一先利用|a+b|2=(a+b)2,|a-b|2=(a-b)2求出后再开方.
提示二利用向量加法的平行四边形法则,a+b,a-b分别是平行四边形的对角线对应的向量,利用向量的几何意义在三角形中求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
求向量的模的常见解法有两种,一种是利用a2=|a|2求解,特别注意不要忘记开方.另一种是把向量求模问题转化到平面几何中的长度计算上来.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60°,则a·(a-b)等于( )
解析a·(a-b)=a2-a·b=4-2×1×cos
60°=3.
答案C
2.已知a,b是非零向量,且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则=( )
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= .?
答案-16
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知两单位向量a与b的夹角为120°.若c=2a-b,d=3b-a,求c与d的夹角的余弦值.8.1.2 向量数量积的运算律
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于( )
A.
B.
C.-
D.-
解析由题意知,(m+kn)·(m-3n)=m2-3kn2=4-3k=0,解得k=.
答案A
2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,则|a+3b|等于( )
A.
B.
C.
D.4
解析|a+3b|=.
答案C
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则=( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析由(2a+b)·b=0,得2a·b+b2=0,
所以2|a||b|cos+|b|2=0.
所以cos=-=-=-,
又∈[0°,180°],所以=120°.
答案C
4.(多选)已知向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,则|m-n|和m在n方向上的投影的数量分别等于
( )
A.4
B.2
C.1
D.
解析∵|m-n|2=m2-2m·n+n2
=3-2××2×+4=1,
∴|m-n|=1.
m在n方向上的投影的数量为|m|cos.
答案CD
5.如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为 .?
解析设=a,=b,则=a-b,=a+b,而||=|a-b|==2,所以5-2a·b=4,所以a·b=,又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+1=6,
所以||=,即AC=.
答案
6.已知a+b+c=0,|a|=3,|b|=5,|c|=7,是否存在实数μ,使μa+b与a-2b垂直?
解若(μa+b)⊥(a-2b),则(μa+b)·(a-2b)=0,
μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.
∵a+b+c=0,c=-a-b,
∴|c|2=|a+b|2=9+25+2a·b=49,∴a·b=.
∴9μ-2×25-2μ×=0.∴μ=-.
∴存在μ=-,使得μa+b与a-2b垂直.
7.已知|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
解(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.∴a·b=-6,
∴cosθ==-.
∵θ∈[0,π],∴θ=.
(2)|a+b|=.
能力提升练
1.(多选)设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,其中是真命题的有( )
A.(a·b)c-(c·a)b=0
B.|a|-|b|<|a-b|
C.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
解析由b,c是平面内任意向量知选项A错误;
由三角形的三边关系得选项B正确;
由[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得选项C错误;选项D显然正确.
答案BD
2.设O为△ABC的外心,OD⊥BC于点D,且||=,||=1,则·()的值是( )
A.1
B.2
C.
D.
解析由O是△ABC的外心及OD⊥BC可知D为边BC的中点,易知),
所以·()=)·()=(||2-||2)=1.
答案A
3.
如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,,||=1,则等于( )
A.2
B.
C.
D.
解析(方法一)基底法
∵,
∴)++(1-.
又∵AD⊥AB,||=1,
∴+(1-.
(方法二)定义法
设BD=a,则BC=a,如图所示,作CE⊥BA,交BA的延长线于点E,易知∠DAC=∠ACE,在△BAD与△BEC中,∠B=∠B,∠DAB=∠CEB=90°,
∴△BAD∽△BEC,∴,
∴CE=,∴cos∠DAC=cos∠ACE=.
∴=||||cos∠DAC=.故选D.
答案D
4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为( )
A.1
B.
C.
D.
解析因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60°.又|a-c|=,
故当|c|=时,|a-c|的最小值为.
答案D
5.已知△ABC中,AB=6,AC=4,O为△ABC所在平面内一点,满足||=||=||,则方向上的投影的数量为 .?
解析∵||=||=||,
∴点O为△ABC的外心,
设∠OAB=θ,可得∠OBA=θ,
∴方向上的投影的数量为||cosθ,方向上的投影的数量为||cosθ.
由题意可知||cosθ+||cosθ=||=6.
又∵||=||=||,∴||cosθ=3,
即方向上的投影的数量为3.
答案3
6.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠DAB=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则= .?
解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,∴∠ABE=30°.
∵EA=EB,
∴∠EAB=30°.
∠AEB=120°.在△AEB中,EA=EB=2,
=()·()
=-
=-12+2×2×cos30°+5×2×cos30°+5×2×cos180°=-12+6+15-10=-1.
答案-1
7.已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=.
(1)若a·b=,求向量a,b的夹角;
(2)在(1)的条件下,求|a-2b|的值.
解(1)∵(a-b)·(a+b)=,
∴a2-b2=|a|2-|b|2=.
又∵|a|=1,∴|b|=,cos=,
∵∈[0,π],故向量a,b的夹角为.
(2)|a-2b|==1.
8.设a⊥b,且|a|=2,|b|=1,k,t是两个不同时为零的实数.
(1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直,求k关于t的函数关系式k=f(t);
(2)求出函数k=f(t)的最小值.
解(1)因为a⊥b,所以a·b=0.
又x⊥y,所以x·y=0,
即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,
所以-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
因为|a|=2,|b|=1,所以-4k+t2-3t=0,
所以k=(t2-3t)(t≠0),
即k=f(t)=(t2-3t)(t≠0).
(2)由(1),知k=f(t)=(t2-3t)
=,
所以函数k=f(t)的最小值为-.
素养培优练
如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以A为中点,问:的夹角取何值时,最大?并求出这个最大值.
解设的夹角为θ,
则=()·()
=
=-a2-=-a2-·()
=-a2+=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0°(方向相同)时,最大,其最大值为0.第八章向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知|b|=3,a在b方向上的投影的数量是,则a·b为( )
A.3
B.
C.2
D.
解析设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=,
∴a·b=|a||b|cosθ=3×.
答案B
2.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
解析如图所示.因为|a|=|b|=|c|,
所以△OAB是等边三角形.
所以=120°.
答案B
3.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是( )
A.
B.
C.
D.
解析设正六边形的边长为a,则
a2,=a2,
=0,=-a2.
答案A
4.在△ABC中,已知||=||=4,且=8,则△ABC的形状为 .?
解析=||||cosA=16cosA=8.
∴cosA=,即A=,∴△ABC为等边三角形.
答案等边三角形
5.若四边形ABCD满足=0,且=0,试判断四边形ABCD的形状.
解因为=0,
所以,即AB∥DC,且AB=DC,
所以四边形ABCD为平行四边形.
又因为=0,所以,即AB⊥BC.
所以四边形ABCD为矩形.
6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足=2,求·()的值.
解如图.∵=2,
∴||=2||.
又AM=3,
∴||=2,||=1.
又=2,∴·()=·(2)==-||2=-4.
能力提升练
1.有4个式子:①0a=0;②0a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|.
其中正确式子的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析因为向量乘以实数仍然为向量,
所以0a=0,式子①正确,②错误;
由=0,
所以0-,式子③正确;
由|a·b|=|a||b||cosθ|,得|a·b|=|a||b|不一定成立,式子④错误.
故选C.
答案C
2.(多选)对于非零向量a,b,c,下列命题正确的是( )
A.若∈0,,则a·b>0
B.若a⊥b,则a·b=(a·b)2
C.若a∥b,则a在b上的投影的数量为|a|
D.若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),则a∥b
解析对于选项A,当=时,a·b=0,故A错误;
对于选项B,若a⊥b,所以a·b=0,
则a·b=(a·b)2,故B正确;
对于选项C,若a∥b,则a在b上的投影的数量为±|a|,故C错误;
对于选项D,若λ1a+λ2b=0(λ1,λ2∈R,且λ1λ2≠0),推出a=-b,由平行向量基本定理可知a∥b,故D正确.故选BD.
答案BD
3.(2020河北邯郸高一检测)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则=( )
A.-16
B.-8
C.8
D.16
解析设∠CAB=θ,则在Rt△ABC中,AB==||||cosθ=×4cosθ=16.
答案D
4.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足),且||=1,则方向上的投影的数量为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析由可知O为BC中点,
所以△ABC为直角三角形,∠BAC=90°,
由||=1,||=2,可得∠ABC=60°,的夹角为60°.
因此上的投影的数量为||cos60°=1×,故选A.
答案A
5.已知|a|=4,e为单位向量,当a,e的夹角为时,a在e上的投影的数量为( )
A.2
B.-2
C.2
D.-2
解析a在e上的投影的数量为|a|cos=4×cos=-2,故选B.
答案B
6.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,BC=CD=DA=2,若E为BC的中点,则=( )
A.
B.3
C.2
D.12
解析由题意可知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=2,根据向量数量积的几何意义可得=12,故选D.
答案D
7.如图,AB为圆O的一条弦,且|AB|=4,则=
( )
A.4
B.-4
C.8
D.-8
解析设AB的中点为M,连接OM,则OM⊥AB,
=2=2||||cos(π-∠OAB)=-2×2||cos∠OAB=-4||=-8.故选D.
答案D
8.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=4,且a·b=4,则a与b的夹角为 .若向量c,d满足c为单位向量,c·d=4,=,则|d|= .?
解析设向量a与b的夹角为θ,
则cosθ=,
又因为θ∈[0,π],所以θ=.
因为c为单位向量,所以|c|=1,由向量数量积公式得c·d=|c||d|cos,得4=1×|d|×cos,所以|d|=8.
答案 8
素养培优练
如图,在扇形AOB中,的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°.
(1)若D是线段OB靠近点O的四分之一分点,用表示向量;
(2)求的取值范围.
解(1)由已知可得
,易得四边形OAMB是菱形,则,
所以-()=-.
(2)易知∠DMC=60°,且||=||,那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=,则×cos60°=.
当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1,则=cos60°=.
所以的取值范围为.(共25张PPT)
8.1.3 向量数量积的坐标运算
课标阐释
1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行向量数量积的坐标运算.
2.能利用向量数量积的坐标运算解决有关长度、角度、垂直等相关问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
“我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,飞过绝望.不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道,我一直有双隐形的翅膀,带我飞,给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节课我们来学习平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示,它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而可以使几何问题数量化,把定性研究推向定量研究.
激趣诱思
知识点拨
知识点:向量数量积的坐标表示
1.由向量坐标的定义可知,存在单位正交基底{e1,e2},使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2,因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2,从而a·b=x1x2+y1y2.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)公式a·b=|a||b|cos与a·b=x1x2+y1y2都是求两向量的数量积,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解.
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?
提示公式的特点是对应坐标相乘后再求和,在解题时要注意坐标的顺序.
微练习
已知a=(3,-1),b=(1,-2),求a·b,|a|,|b|,.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量数量积的坐标运算
例1已知向量a=(3,-1),b=(1,-2).
(1)求(a+b)2;
(2)求(a+b)·(a-b).
分析利用a·b=x1x2+y1y2(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2))等基本公式计算.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解(1)∵a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
∴(a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25.
(2)(方法一)∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a2=32+(-1)2=10,b2=12+(-2)2=5,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5.
(方法二)∵a=(3,-1),b=(1,-2),
∴a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3),
a-b=(3,-1)-(1,-2)=(2,1),
∴(a+b)·(a-b)=(4,-3)·(2,1)=4×2+(-3)×1=5.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量数量积的运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征建立平面直角坐标系,并写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究本例中,若存在向量c满足a·c=-1,b·c=3,试求c.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量数量积解决长度和夹角问题
例2已知向量a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b,c及b与c的夹角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用向量数量积的坐标表示求向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.
(3)求夹角的余弦值cos
θ.
(4)求角.由向量夹角的范围及cos
θ求θ的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用向量数量积的坐标运算求解几何问题
例4已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量中的数形结合思想
数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,使抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.向量中的数形结合思想应关注以下几点:
(1)向量的几何表示关注方向.
(2)向量运算中的三角形、平行四边形法则使向量具备形的特征.
(3)向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
方法点睛
建立平面直角坐标系,将所求问题转化为向量的数量积的坐标运算求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案-6
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.设向量a=(1,-1),b=(3,-4),x=a+λb,λ为实数,试证明:使|x|最小的向量x垂直于向量b.(共32张PPT)
8.1.1 向量数量积的概念
课标阐释
1.理解向量数量积的含义及其物理意义.
2.知道向量的投影与向量数量积的几何意义.
3.掌握数量积的定义及运算性质,并会利用其性质解决有关长度、夹角、垂直等问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在物理学中,我们知道,一个物体受到力的作用,如果在力的方向上发生一段位移,我们就说这个力对物体做了功.如果力的方向和物体运动的方向相同,功就等于力的大小和位移大小的乘积.而当力的方向与物体运动的方向成θ角时,其与位移方向平行的分力F1满足|F1|=|F|cos
θ,物体在F1的方向上产生了位移s,因此F对物体做的功W=|F||s|cos
θ.在这个公式中,当θ为锐角时,W>0,称力对物体做了正功;当θ为钝角时,W<0,称力对物体做了负功.也就是说W是一个数量,我们称W为F与s的数量积(也称内积).物体运动时,本节我们从物体的受力做功入手,学习两个向量的数量积.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:两个向量的夹角
激趣诱思
知识点拨
名师点析
两向量的方向与夹角关系
除了两非零向量夹角的一般情况,特殊地,当=0时,a与b同向;当=π时,a与b反向;当=
或a与b中至少有一个是零向量时,a⊥b.
激趣诱思
知识点拨
微练习
作出向量a与b的夹角:
激趣诱思
知识点拨
知识点二:向量数量积的定义
1.一般地,当a与b都是非零向量时,称|a||b|cos为向量a与b的数量积(也称为内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos.由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
2.数量积的性质
如果a,b都是非零向量,向量的数量积有如下性质.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
(1)向量a,b的数量积只能表示为a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)由定义可知,两个非零向量a与b的数量积是一个实数,a·b的符号由cos决定,即由的大小决定.也就是说,两个非零向量的数量积可以是正数,可以是零,还可以是负数.这与向量的加法、减法以及数乘向量的结果仍是一个向量不同.
(3)在运用数量积公式解题时,一定要注意两向量夹角的范围是[0,π].
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?
提示当0°≤<90°时,a·b为正;当90°<≤180°时,a·b为负;当=90°时,a·b为零.
微练习
若|a|=3,|b|=4,a∥b,则a·b= .?
答案±12
激趣诱思
知识点拨
知识点三:向量的投影与向量数量积的几何意义
1.如图所示,
激趣诱思
知识点拨
2.给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
3.一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.
(1)两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.
(2)当e为单位向量时,因为|e|=1,所以a·e=|a|cos,即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.
名师点析
(1)如果a,b都是非零向量,则b在a方向上的投影的数量可以记为|b|cos,也可记为
a在b方向上的投影的数量与b在a方向上的投影的数量是不一样的.
(2)投影是数量而不是长度,它的正负与两向量的夹角有关.
激趣诱思
知识点拨
微思考
一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?
提示一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.
微练习
已知|a|=5,|b|=3,且a·b=-12,则向量a在向量b上的投影的数量等于( )
A.-4 B.4
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与向量数量积有关命题的判断
例1已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为( )
①|a·b|=|a||b|?a∥b;②a,b反向?a·b=-|a||b|;③a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|.
A.1
B.2
C.3
D.4
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析①中因为a·b=|a||b|cos
θ,所以由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos
θ|=1,所以θ=0或π,所以a∥b,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a,b反向,则a,b的夹角为π,所以a·b=|a||b|cos
π=-|a||b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b,因此命题③是真命题;④中当|a|=|b|,如果a与c的夹角和b与c的夹角不等时,则|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假命题.
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
两向量夹角的关注点
两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为
(或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1设a,b,c是三个向量,有下列命题:
①若a·b=a·c,且a≠0,则b=c;
②若a·b=0,则a=0或b=0;
③a·0=0.
其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析①中,a·b-a·c=a·(b-c)=0,又a≠0,则b=c或a⊥(b-c),即①不正确;②中,a·b=0?a⊥b或a=0或b=0,即②不正确;③中,a·0=0,即③不正确.
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求向量的投影的数量或数量积
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.求向量数量积的步骤
(1)求向量a与b的夹角θ,θ∈[0,π].
(2)分别求|a|和|b|.
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos
θ.
2.求投影的数量的两种方法
(1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos,向量a在b方向上的投影的数量为|a|cos.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
向量数量积的性质及应用
分析(1)根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.
(2)利用向量数量积的公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)解析如图,连接AC,BD,
则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
用数形结合法求向量的夹角
求两向量的夹角时,有时也会将两向量移到同一起点,将其放在三角形或四边形中,这时要准确确定两向量的方向,正确地找出夹角,并结合图形利用平面几何性质求出夹角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
已知a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求.
方法点睛
熟练应用数形结合思想,恰当运用向量的几何意义是解决此类问题的有效方法.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则是( )
解析如图所示,在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
∵|a+b|=|a-b|,
∴四边形ABCD为矩形.在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.设e1,e2是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是( )
A.e1·e2=1
B.e1·e2=-1
C.|e1·e2|=1
D.|e1·e2|<1
解析设e1与e2的夹角为θ,由题意知θ=0或π,则e1·e2=|e1||e2|cos
θ=±1.所以|e1·e2|=1.
答案C
A.3
B.6
C.9
D.12
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知|a|=3,|b|=4,且=60°,则a在b方向上投影的数量为 .?
4.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,则a与b的夹角为 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案-2 2