(共25张PPT)
8.2.1 两角和与差的余弦
课标阐释
1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,掌握用向量证明问题的方法,进一步体会向量法的作用.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,并能用两角和与差的余弦公式解决相关的求值、化简和证明等问题.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,在地平面上有一点A,测得A,C两点间的距离约为60米,从点A观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°,
∠CAB=15°,求这座电视发射塔的高度.
设电视发射塔的高度CD=x,则AB=AC·cos
15°
=60cos
15°,BC=ACsin
15°=60sin
15°,
BD=AB·tan
60°=60·cos
15°·tan
60°=60
cos
15°,
∴x=BD-BC=60
cos
15°-60sin
15°.如果能求出cos
15°,
sin
15°的值,就可求出电视发射塔的高度.
问题:1.30°=60°-30°,那么cos
30°=cos
60°-cos
30°成立吗?类似的15°=45°-30°,那么cos
15°=cos
45°-cos
30°成立吗??α,β∈R,cos(α-β)=cos
α-cos
β成立吗?
2.如何用α,β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点:两角和与差的余弦公式
名 称
公 式
简记
两角和的余弦公式
cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β
Cα+β
两角差的余弦公式
cos(α-β)=cos
αcos
β+sin
αsin
β
Cα-β
激趣诱思
知识点拨
名师点析
两角和与差的余弦公式的常见变形应用
激趣诱思
知识点拨
微练习
cos
15°= .?
微判断
(1)cos(α-β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β.( )
(2)cos(α+β)=cos
α+cos
β.( )
(3)cos(α+β)=cos
αcos
β-sin
αsin
β对任意α,β都成立.( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两角和与差的余弦公式的简单应用
分析(1)先把615°转化为两个特殊角的差,再进一步转化利用两角和的余弦公式求解.
(2)先利用诱导公式对角进行转化,再逆用两角差的余弦公式求解.
探究一
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当堂检测
答案(1)D (2)B
反思感悟
利用两角和与差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路
(1)先把非特殊角转化为特殊角的和或差,再用公式直接求值;
(2)充分利用诱导公式,构造两角和与差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.
探究一
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给值求值问题
分析将β转化为(α+β)-α,再利用公式.
探究一
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反思感悟
给值求值问题的两个主要技巧
一个是已知角的某一三角函数值,求该角的另一三角函数值时,应注意角的终边所在的象限,从而确定三角函数值的正负.
二是注意变角,“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中经常用到,因为合理“变角”后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式:
探究一
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探究一
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给值求角问题
分析利用两角和的余弦公式求α+β的余弦值,并结合角α+β的范围进行求解.
探究一
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探究一
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反思感悟
解决给值求角问题的策略
求角时,先根据已知条件求出角的余弦值,然后根据已知条件求出角的范围,从而确定角的大小.
探究一
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角的变换技巧的应用
角的变换是三角恒等变换的首选方法.在进行三角恒等变换时,对角与角之间的关系必须进行认真的分析.
(1)分析角之间的和、差、倍、分关系,
例如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),
(2)在非特殊值角的三角函数式化简中,要特别注意能否产生特殊角.
(3)熟悉两角互余、互补的各种形式,如α+β=
,α+β=π,正确掌握诱导公式的正用、逆用、变形用.
探究一
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方法点睛
三角变换是三角运算的灵魂与核心,它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换,而角的变换主要体现了拆角与凑角的方法.
探究一
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当堂检测
1.在△ABC中,已知cos
Acos
B>sin
Asin
B,则△ABC一定是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析由cos
Acos
B>sin
Asin
B得cos
Acos
B-sin
Asin
B>0,
答案C
探究一
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答案AD
探究一
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当堂检测(共29张PPT)
第1课时 半角的正弦、余弦和正切
课标阐释
1.能用倍角公式推导半角的正弦、余弦、正切公式.
2.理解半角的正弦、余弦和正切公式.
3.会用倍角公式和半角公式进行三角函数的求值、化简和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
同学们,你知道电脑输入法中“半角”和“全角”的区别吗?半角、全角主要是针对标点符号来说的,全角标点占两个字节,半角标点占一个字节,但不管是全角还是半角,汉字都要占两个字节.事实上,汉字字符规定了英文字符、图形符号和特殊字符都是全角字符,而通常的英文字母、数字、符号都是半角字符.
那么我们学习的任意角中是否也有“全角”与“半角”之分呢?二者有何数量关系?
激趣诱思
知识点拨
知识点:半角公式
名师点析
(1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两个符号.
激趣诱思
知识点拨
(3)若给出的角α是某一象限的角,则根据下表决定符号:
激趣诱思
知识点拨
微技巧
半角公式的记忆方法:无理半角常戴帽,象限确定帽前号;数1余弦加减连,角小值大用加号.
说明:“无理半角常戴帽”是指半角公式是带有根号的无理式;“象限确定帽前号”指的是半角公式正负号的取舍依赖于
所在的象限;“数1余弦加减连”指的是公式根号下是数“1”与余弦的和或差;“角小值大用加号”指的是由于1+cos
α(α为锐角)是减函数,因此角小值大,故用“+”号.
激趣诱思
知识点拨
答案(1)× (2)× (3)×
探究一
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利用半角公式求值
分析先化简,再求值.
探究一
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反思感悟
利用半角公式求值的思路
(1)看角:看已知角与待求角的2倍关系.
(2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备.
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利用半角公式化简三角函数式
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反思感悟
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的关系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.
(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.
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利用半角公式证明问题
分析方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边;方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.
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反思感悟
三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简;
(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子;
(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有目的性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同;
(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
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当堂检测
运用公式求解三角函数综合题的思路
(1)将函数f(x)的解析式化成f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式;
(2)求函数f(x)的单调递减区间及函数图像的对称中心.
审题策略(1)先用倍角公式化简,再用辅助角公式进行变形;(2)用正弦型函数的性质解答问题.
探究一
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当堂检测
答题模板(1)运用和、差、倍角公式化简.
(2)统一化成f(x)=asin
ωx+bcos
ωx+k的形式.
(3)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,研究其性质.
失误警示造成失分的原因:(1)公式应用错误;(2)函数关系式化简不到位;(3)求单调区间时未用区间.
探究一
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答案B
探究一
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答案B
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当堂检测
3.若cos
22°=a,则sin
11°= ,cos
11°= .?
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当堂检测第2课时 两角和与差的正切
课后篇巩固提升
基础达标练
1.化简等于( )
A.
B.
C.3
D.1
解析=tan(45°+15°)=tan60°=.
答案A
2.已知tan
α=,tan(α-β)=-,那么tan(2α-β)的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
解析因为tanα=,tan(α-β)=-,所以tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=.
答案D
3.已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α等于( )
A.
B.
C.π
D.
解析因为tan2α=tan[(α+β)+(α-β)]
==-1,
所以2α=-+kπ(k∈Z),
所以α=-(k∈Z).
又因为α为锐角,所以α=.
答案C
4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan
A,tan
B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 三角形.?
解析由根与系数的关系,得
则tan(A+B)=.
∵在△ABC中,tanC=tan[π-(A+B)]
=-tan(A+B)=-<0,
∴C是钝角,∴△ABC是钝角三角形.
答案钝角
5.已知A,B都是锐角,且(1+tan
A)(1+tan
B)=2,则A+B= .?
解析(1+tanA)(1+tanB)=1+tanAtanB+tanA+tanB=2,
∴tanAtanB=1-(tanA+tanB).
∴tan(A+B)==1.
∵A,B都是锐角,∴0
答案
6.已知tan,求tan
α的值.
解∵tan,
则,
∴tanα=-.
7.在非直角三角形中,求证:tan
A+tan
B+tan
C=tan
Atan
Btan
C.
证明∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,
即=-tanC.
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
能力提升练
1.(多选)在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,若点A,B的坐标分别为,则tan(α+β),sin(α+β)的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意可得sinα=,cosα=,sinβ=,cosβ=-,
则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.
tanα=,tanβ=-,
所以tan(α+β)=,故选AD.
答案AD
2.(1+tan
17°)(1+tan
18°)(1+tan
27°)(1+tan
28°)的值是( )
A.2
B.4
C.8
D.16
解析因为tan45°=tan(17°+28°)=,
所以(1+tan17°)(1+tan28°)=1+tan17°+tan28°+tan17°tan28°=1+(1-tan17°tan28°)+tan17°tan28°=2.
同理(1+tan18°)(1+tan27°)=2.所以原式=4.
答案B
3.已知sin
α=,α是第二象限角,tan(α+β)=-,则tan
β的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
解析∵sinα=,α是第二象限角,
∴tanα=-,
∴tanβ=tan[(α+β)-α]==-.
答案C
4.在△ABC中,C=120°,tan
A+tan
B=,则tan
Atan
B的值为( )
A.
B.
C.
D.1
解析∵C=120°,∴A+B=60°.
∴tan(A+B)=.
∵tanA+tanB=,∴1-tanAtanB=.
∴tanAtanB=.
答案B
5.已知tan(α+β)=,tan=-2,则tan= ,tan(α+2β)= .?
解析tan=tan
==-8.
tan=-2,tanβ=-,
tan(α+2β)=.
答案-8
6.已知α,β为锐角,cos
α=,cos(α+β)=-.
(1)求sin
β的值;
(2)求tan(α-β)的值.
解(1)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
又cosα=,cos(α+β)=-,
∴sinα=,sin(α+β)=,
∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=.
(2)∵0<α<,0<β<,cosα=,sinβ=,
则sinα=,cosβ=,∴tanα=,tanβ=2,
∴tan(α-β)==-.
7.已知α,β∈,且tan
α,tan
β是方程x2+3x+4=0的两个根,求α+β.
解因为tanα,tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根,所以tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=4,
所以tan(α+β)=.
因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数,即tanα<0,tanβ<0.
又α,β∈,所以α,β∈,
所以α+β∈(-π,0),故α+β=-.
素养培优练
是否存在锐角α和β,使得α+2β=和tantan
β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
解由α+2β=+β=,
则tan=tan,即.
把tantanβ=2-代入上式,得
tan+tanβ=×(1-2+)=3-.
由上可知,tan,tanβ是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两个实数根.
解得
∵α是锐角,∴0<.∴tan≠1.
故tan=2-,tanβ=1.
∵0<β<,由tanβ=1,得β=,由α+2β=得α=.∴存在锐角α,β使得两个等式同时成立.8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选)已知sin
α=-,α∈,则sinα-和sinα+的值分别为( )
A.
B.
C.
D.-
解析∵α∈,sinα=-,∴cosα=-,
sin=sinαcos+cosαsin
=-=-.
sin=sinαcos-cosαsin=-.
答案CD
2.=( )
A.-
B.-
C.
D.
解析
=
=
==sin30°=.
答案C
3.若f(x)=cos
x-sin
x在[-a,a]上单调递减,则a的最大值是( )
A.
B.
C.
D.π
解析f(x)=cosx-sinx=-sin上单调递减,所以[-a,a]?,故-a≥-,且a≤,解得0答案A
4.已知向量a=(cos
x,sin
x),b=(),a·b=,则cos= ,cos= .?
解析a·b=cosx+sinx=2cosx+sinx
=2cos,
∴cos,cos=.
答案
5.已知cosα+=sinα-,则tan
α= .?
解析cosα+=cosαcos-sinαsin
=cosα-sinα,sinα-=sinαcos-cosαsinsinα-cosα,
所以sinα=cosα,故tanα=1.
答案1
6.已知cos,sin,其中<α<,0<β<,求sin(α+β)的值.
解因为α+β++β-,
所以sin(α+β)=-cos
=-cos=-cos+βcos-α-sinsin-α.
又因为<α<,0<β<,
所以--α<0,+β<π.
所以sin=-,cos=-.
所以sin(α+β)=-.
能力提升练
1.的值等于( )
A.2+
B.
C.2-
D.
解析原式=
==2-.
答案C
2.已知f(x)=sin(3x+θ)-cos(3x+θ)是奇函数,且在上单调递减,则θ的一个值是( )
A.
B.π
C.π
D.π
解析f(x)=sin,∵f(x)是奇函数,
∴f(0)=sin=0,∴θ=kπ+,k∈Z.
∵f(x)在上单调递减,∴k为奇数.
当k=1时,θ=π.
答案D
3.在△ABC中,已知sin(A-B)cos
B+cos(A-B)sin
B≥1,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等腰非直角三角形
解析∵sin(A-B)cosB+cos(A-B)sinB=sin(A-B+B)=sinA≥1,且0≤sinA≤1,∴sinA=1,即A=,∴△ABC是直角三角形.
答案C
4.若f(x)=3sin
x-4cos
x的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是( )
A.0,
B.
C.
D.,π
解析因为f(x)=3sinx-4cosx=5sin(x-φ)其中tanφ=,且0<φ<,
则sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+,k∈Z,
即a=kπ++φ,k∈Z,
而tanφ=,且0<φ<,
所以<φ<.
所以kπ+答案D
5.函数f(x)=sin(x+φ)-2sin
φcos
x的最大值为 .?
解析因为f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx
=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ),
又-1≤sin(x-φ)≤1,
所以f(x)的最大值为1.
答案1
6.已知sin
α+cos
α=,α∈,则sin= .?
解析sin=sinαcos-cosαsin
=cosα-sinα=(cosα-sinα).
∵α∈,∴cosα>sinα,
∴(sinα+cosα)2=,
(sinα-cosα)2=,∴cosα-sinα=.
∴sin.
答案
7.已知向量a=(sin
x,cos
x-1),b=(,-1),设f(x)=a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心;
(2)已知α为锐角,β∈(0,π),f,sin(α+β)=-,求sin(2α+β)的值.
解由题意得f(x)=a·b=sinx-cosx+1
=2sin+1.
(1)f(x)的最小正周期T=2π,
令x-=kπ(k∈Z),
则x=kπ+(k∈Z),
又f=2sin(kπ)+1=1,
因此函数f(x)的对称中心为,k∈Z.
(2)f=2sinα++1=2sinα+1=,解得sinα=.
∵α∈,∴cosα=.
∵α∈,β∈(0,π),
∴α+β∈.
又sin(α+β)=-<0,
∴α+β∈,
∴cos(α+β)=-,
∴sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=-=-.
素养培优练
已知函数f(x)=sin+sin+cos
2x+a(a∈R,a为常数).
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)当x∈时,f(x)的最小值为-2,求a的值.
解(1)∵f(x)=2sin2xcos+cos2x+a
=sin2x+cos2x+a=2sin+a,
∴f(x)的最小正周期T==π.
当2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增,
故f(x)单调递增区间为(k∈Z).
(2)当x∈时,2x+,
∴当x=时,f(x)取得最小值.
∴2sin+a=-2,
∴a=-1.8.2.4 三角恒等变换的应用
第1课时 半角的正弦、余弦和正切
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设a=cos
6°-sin
6°,b=2sin
13°cos
13°,c=,则有( )
A.a>b>c
B.aC.aD.b解析因为a=sin24°,b=sin26°,c=sin25°,
所以a答案C
2.的值为( )
A.1
B.
C.
D.2
解析原式=
=.
答案C
3.(多选)已知函数f(x)=,则有( )
A.函数f(x)的图像关于直线x=对称
B.函数f(x)的图像关于点,0对称
C.函数f(x)的最小正周期为
D.函数f(x)在0,内单调递减
解析因为f(x)==-tanx,所以f(x)的图像不是轴对称图形,关于点,0对称,最小正周期为π,在0,内单调递减.
答案BD
4.已知sin
α=-,且α∈,则sin= ,cos= ,tan= .?
解析∵π<α<,
∴cosα=-.
∴,∴sin.
cos=-=-.
tan=-4.
答案 - -4
5.若θ∈,sin
2θ=,则sin
θ= .?
解析由于θ∈,则2θ∈,π,
所以cos2θ<0,sinθ>0.因为sin2θ=,
所以cos2θ=-=-=-.
所以sinθ=.
答案
6.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(-3,).
(1)求的值;
(2)求tan
2α+tan的值.
解(1)由题意得sinα=,cosα=-,tanα=-,则原式==-.
(2)tan2α==-,tan=2+.故tan2α+tan=2.
能力提升练
1.若cos
α=-,α是第三象限角,则=
( )
A.-
B.
C.2
D.-2
解析因为α是第三象限角,cosα=-,
所以sinα=-.
所以
=
==-.
答案A
2.(多选)已知函数f(x)=cos2x-sin2x+1,则( )
A.f(x)的对称轴为x=(k∈Z)
B.f(x)的对称轴为x=(k∈Z)
C.f(x)的最小正周期为π,最大值为2
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为1
解析f(x)=cos2x+1,
故T==π,f(x)max=1+1=2.
f(x)的对称轴为2x=kπ(k∈Z),x=(k∈Z),故选BC.
答案BC
3.已知f(x)=sin2,若a=f(lg
5),b=f,则( )
A.a+b=0
B.a-b=0
C.a+b=1
D.a-b=1
解析∵f(x)=,
∴a=,b=,∴a+b=sin(2lg5)+sin(2lg5)=1.
答案C
4.若sin(π-α)=,α∈,则sin
2α-cos2的值等于 .?
解析∵sin(π-α)=,∴sinα=.
又∵α∈,∴cosα=.
∴sin2α-cos2=2sinαcosα-(1+cosα)=.
答案
5.化简:= .?
解析
=
=tan.
答案tan
6.已知sinsin,α∈,求2sin2α+tan
α--1的值.
解因为sinsin,
所以2sincos,
即sin.所以cos4α=.
而2sin2α+tanα--1
=-cos2α+=-.
因为α∈,所以2α∈.
所以cos2α=-=-,
tan2α=-=-.
所以-=-,
即2sin2α+tanα--1的值为.
素养培优练
设a=(1+cos
α,sin
α),b=(1-cos
β,sin
β),c=(1,0),α∈(0,π),β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=,求sin的值.
解由题意得
cosθ1=
=cos.
因为θ1∈[0,π],,
所以θ1=.
同理,cosθ2==sin=cos,
因为θ2∈[0,π],,
所以θ2=.
将θ1=,θ2=代入θ1-θ2=中,得=-,故sin=sin=sin.(共25张PPT)
第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
课标阐释
1.理解三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程.
2.能利用积化和差与和差化积公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
考虑到10°+50°=60°是特殊角,正、余弦值可求.只要把sin
10°cos
50°化为两项之和或两项之差就能达到化简的目的(分母同理),这一变形式就是正、余弦函数积化和差的公式,是本节的重要公式.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:积化和差公式
激趣诱思
知识点拨
名师点析
在积化和差的公式中,如果“从右往左”看,实质上就是和差化积.牢记两组公式的区别与联系,才能正确使用.在运用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,则必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,则必须用降幂公式降为一次.
根据实际问题选用公式时,应考虑以下几个方面:
(1)运用公式之后,能否出现特殊角.
(2)运用公式之后,能否提公因式,能否约分,能否合并或者消项.
(3)运用公式之后,能否使三角函数的结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或选择解题的思路不同,化积结果可能不一致.
为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值应用公式,如
然后化积.
激趣诱思
知识点拨
微思考
积化和差公式有何特点?
提示积化和差公式中,同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.
微练习
计算:(1)sin
52.5°·cos
7.5°= ;?
(2)sin
αsin
3α= .?
激趣诱思
知识点拨
知识点二:和差化积公式
激趣诱思
知识点拨
名师点析
利用和差化积及积化和差公式进行转化求值时,要注意:
(1)积化和差时,可以是同名函数的乘积,也可以是异名函数的乘积,而和差化积时,必须是同名函数的和差.
(2)和差化积时,两函数值的系数是绝对值相同,注意特殊角的三角函数与特殊值在转化中的使用技巧.
三角恒等式的证明主要从两个方面入手:
(1)看角,分析角的差异,消除差异,向所求结果中的角转化;
(2)看函数,统一函数,向所求结果中的函数转化.
激趣诱思
知识点拨
微思考
和差化积公式有何特点?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
三角函数式的化简与求值
分析利用积化和差与和差化积公式化简、求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数化简与求值的策略
当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究若把本例改为:sin
20°cos
70°+sin
10°sin
50°,试求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明恒等式
分析根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.
反思感悟
三角恒等式证明的思路
当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,我们往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1已知sin
A+sin
3A+sin
5A=a,cos
A+cos
3A+cos
5A=b,
求证:(2cos
2A+1)2=a2+b2.
证明由题意知(sin
A+sin
5A)+sin
3A
=2sin
3Acos
2A+sin
3A=a,
(cos
A+cos
5A)+cos
3A
=2cos
3Acos
2A+cos
3A=b,
则sin
3A(2cos
2A+1)=a,①
cos
3A(2cos
2A+1)=b.②
两式平方相加,得(2cos
2A+1)2=a2+b2.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与三角函数有关的综合问题
分析先将解析式化简,然后求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
三角函数综合问题的求解策略
求解三角函数性质问题,往往将解析式化为一个角一种三角函数的形式后再研究其性质.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
积化和差、和差化积公式的应用规律
(1)积化和差公式中:同名函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α、β,等式右边为它们的和差角.
(2)和差化积公式中:两三角函数的系数绝对值必须相同,且为同名,一次三角函数方可施行,若是异名需用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次函数.
余弦函数的和或差化为同名函数之积;正弦函数的和或差化为异名函数之积;等式左边为单角θ与φ,等式右边为
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
本题根据分式的性质,创造性地对算式的结构进行变换,构造积的运算,然后由三角函数的倍角公式,积化和差公式及诱导公式得解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.sin
15°sin
30°sin
75°的值是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.sin
105°+sin
15°= ,
cos
75°×cos
15°= .?(共24张PPT)
第2课时 两角和与差的正切
课标阐释
1.理解两角和与差的正切公式的推导过程.
2.掌握两角和与差的正切公式的结构特征,能正用、逆用和变形用公式进行化简、求值和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
我们知道,在测量不可达建筑物时,一般要用到三角函数的方法.例如要测量中央电视塔的高度,就要在地面上选一条基线,以基线为边构造出直角三角形,利用正切函数以及两角和与差的正切值计算而得.那么两角和与差的正切公式是怎样的呢?
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用公式化简求值
分析把非特殊角转化为特殊角[如(1)]及公式的逆用[如(2)]与活用[如(3)],通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或求值的目的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)公式Tα+β,Tα-β是变形较多的两个公式,公式中有tan
αtan
β,tan
α+tan
β(或tan
α-tan
β),tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可表示或求出第三个.
(2)一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
条件求值(角)问题
例2如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴
为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与
单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标
分别为
(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.
分析先由任意角的三角函数定义求出cos
α,cos
β,再求sin
α,sin
β,从而求出tan
α,tan
β,然后利用Tα+β求tan(α+β),最后利用α+2β=(α+β)+β,求tan(α+2β)进而得到α+2β的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.通过先求角的某个三角函数值来求角.
2.选取函数时,应遵照以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数.
3.给值求角的一般步骤:
(1)求角的某一三角函数值.
(2)确定角的范围.
(3)根据角的范围写出所求的角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
两角和与差的正切公式的变形应用
分析化简条件→求出tan
A,tan
C→求出角A,C→判断形状
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
活用公式求值
在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形用.
如:Tα±β可变形为如下几个公式
tan
α±tan
β=tan(α±β)(1?tan
αtan
β);
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
不查表求值.
(2)tan
17°+tan
28°+tan
17°tan
28°;
(3)tan
17°tan
43°+tan
17°tan
30°+tan
43°tan
30°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
(1)利用tan
45°=1代入求解;(2)(3)利用正切公式的变形公式求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.计算(1+tan
10°)(1+tan
35°)= .?
答案2(共29张PPT)
8.2.3 倍角公式
课标阐释
1.掌握倍角的正弦、余弦和正切公式,并能推导.
2.会用倍角公式进行三角函数的求值、化简和证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
大雁是人们熟知的鸟类类群之一,在迁徙时总是几十只、数百只,甚至上千只汇集在一起,列队而飞,古人称之为“雁阵”.“雁阵”由有经验的“头雁”带领,加速飞行时,队伍排成“人”字形,一旦减速,队伍又由“人”字形变换成“一”字形.
当飞在前面的“头雁”的翅膀在空中划过时,翅膀尖上就会产生一股微弱的上升气流,排在它后面的大雁就可以依次利用这股气流,从而节省了体力.研究表明,大雁排成的“人”字形的每边与前进方向的夹角约为55°,那么“人”字形的夹角就是这个角的两倍,大约为110°.
这两个角的三角函数之间有什么关系?
激趣诱思
知识点拨
知识点:倍角公式
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微总结
二倍角公式的变换
(1)因式分解变换.
cos
2α=cos2α-sin2α=(cos
α+sin
α)(cos
α-sin
α).
(2)配方变换.
1±sin
2α=sin2α+cos2α±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos
2α=2cos2α,1-cos
2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
化简、求值问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
化简、求值问题的求解策略
解决此类题目时,要善于观察三角函数式的特点,常变形后正用或逆用公式来解决.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用二倍角公式解决条件求值问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
直接应用二倍角公式求值的三种类型
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用二倍角公式证明
分析可先化简等式左边,切化弦,再利用二倍角公式化简出右边.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式,一般是从复杂到简单,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤:先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异,然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos
2Acos
2B.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
逆用公式巧解题
在运用公式时,不仅要善于观察题目的结构特点,直接运用公式,还要善于逆用、变形用公式.
(1)公式逆用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)公式的逆向变换及有关变形.
1±sin
2α=sin2α+cos2α±2sin
αcos
α=(sin
α±cos
α)2;1+cos
2α=2cos2α;1-cos
2α=2sin2α;
(3)倍角的余弦公式有三种形式:
cos
2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
在应用时要注意选择合适的形式.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例
求值:
(1)sin
10°sin
50°sin
70°;
(2)sin
6°sin
42°sin
66°sin
78°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛
求连续几个正弦或余弦的积,常构造正弦的倍角公式连续使用,最后利用诱导公式化简求值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案B
答案D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
课后篇巩固提升
基础达标练
1.cos
70°cos
335°+sin
110°sin
25°的值为( )
A.1
B.
C.
D.
解析原式=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos(70°-25°)=cos45°=.
答案B
2.化简sincos-sin·sin的结果为( )
A.cos
B.-cos
C.sin
D.-sin
解析原式=coscos-sin+3xsin=cos+3x+-3x=cos=-cos.
答案B
3.(多选)已知cos
α=,则cos可以取的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为cosα=,则sinα=±=±,当sinα=时,cos(cosα+sinα)=,当sinα=-时,cos(cosα+sinα)=-.
答案AB
4.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos
A,sin
A),b=(cos
B,sin
B),且a·b=1,则△ABC一定是
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析因为a·b=cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.
答案B
5.已知α为三角形的内角且cos
α+sin
α=,则α= .?
解析因为cosα+sinα=coscosα+sinsinα=cos,因为0<α<π,
所以-<α-,所以α-,α=.
答案π
6.已知sin(α-45°)=-,0°<α<90°,则cos
α= .?
解析因为0°<α<90°,所以-45°<α-45°<45°,
所以cos(α-45°)=,
所以cosα=cos[(α-45°)+45°]
=cos(α-45°)cos45°-sin(α-45°)sin45°=.
答案
7.已知向量a=(sin
α,cos
α-sin
α),b=(cos
β-sin
β,cos
β),且a·b=2.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若0<α<,0<β<,且sin
α=,求2α+β的值.
解(1)因为a=(sinα,cosα-sinα),b=(cosβ-sinβ,cosβ),
所以a·b=sinα(cosβ-sinβ)+(cosα-sinα)cosβ=cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β).
因为a·b=2,所以cos(α+β)=2,
即cos(α+β)=.
(2)因为0<α<,sinα=,
所以cosα=.
因为0<α<,0<β<,所以0<α+β<π.
因为cos(α+β)=,所以sin(α+β)=,
所以cos(2α+β)=cos[α+(α+β)]=cosαcos(α+β)-sinαsin(α+β)=.因为0<α<,0<β<,
所以0<2α+β<,所以2α+β=.
能力提升练
1.已知cos
α=,α∈(-π,0),则cosα-=( )
A.-
B.-
C.
D.
解析∵cosα=,α∈(-π,0),
∴sinα=-=-,
∴cosα-=cosαcos+sinαsin+-×=-.故选A.
答案A
2.(多选)若α,β均为第二象限角,满足sin
α=,cos
β=-,则cos(α+β)和cos(α-β)的值分别为( )
A.-
B.-
C.
D.
解析∵sinα=,cosβ=-,α,β均为第二象限角,
∴cosα=-=-,
sinβ=,
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-×=-,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,故选BD.
答案BD
3.已知锐角α,β满足cos
α=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为( )
A.
B.-
C.
D.-
解析因为α,β为锐角,cosα=,cos(α+β)=-,
所以sinα=,sin(α+β)=,
所以cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-.
答案A
4.已知α,β均为锐角,且满足sin
α=,cos
β=,则cos(α-β)= ,cos
2β= .?
解析因为α,β均为锐角,且sinα=,cosβ=,所以cosα=,sinβ=.因为sinα>sinβ,所以α>β,
因此cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,sin(α-β)=,
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,sin(α+β)=,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α-β)cos(α+β)+sin(α-β)sin(α+β)=.
答案
5.已知cosα--sin
α=,则cosα+的值是 .?
解析由于cosα--sinα=,
整理得cosα+sinα-sinα=,
即cosα-sinα=,则cosα+=,
可得cosα+=-cosα+=-.
答案-
6.若a=(cos
α,sin
β),b=(cos
β,sin
α),0<β<α<,且a·b=,则α-β= .?
解析a·b=cosαcosβ+sinβsinα=cos(α-β)=.因为0<β<α<,所以0<α-β<,
所以α-β=.
答案
7.已知a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,-sin
β),α,β均为锐角,且|a-b|=.
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若sin
α=,求cos
β的值.
解(1)由题意得|a|=1,|b|=1,
则|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)=2-2cos(α+β)=,
解得cos(α+β)=.
(2)∵α,β∈,∴α+β∈(0,π),
由sinα=,cos(α+β)=可得cosα=,sin(α+β)=,故cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.
素养培优练
已知函数f(x)=Asinx+(x∈R),且f(0)=1.
(1)求A的值;
(2)若f(α)=-,α是第二象限角,求cos
α.
解(1)依题意得f(0)=AsinA=1,故A=.
(2)由(1)得f(x)=sinx+,
由f(α)=-可得f(α)=sinα+=-,
则sinα+=-,∵α是第二象限角,
∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),
∴2kπ+<α+<2kπ+(k∈Z),
又∵sinα+=-<0,
∴α+是第三象限角,
∴cosα+=-=-,
∴cosα=cos
=cosα+cos+sinα+sin
=-=-.8.2.3 倍角公式
课后篇巩固提升
基础达标练
1.计算:=( )
A.
B.
C.
D.2
解析.故选A.
答案A
2.已知sin
2α=,α∈,则cos
α-sin
α=
( )
A.-
B.
C.
D.-
解析因为α∈,所以sinα>cosα,
即cosα-sinα<0,因为sin2α=,所以cosα-sinα=-=-
=-=-.
答案A
3.已知a=(sin
17°+cos
17°),b=2cos213°-1,c=,则( )
A.cB.bC.aD.b解析a=(sin17°+cos17°)=sin17°cos45°+cos17°sin45°=sin62°,b=2cos213°-1=cos26°=sin64°,c==sin60°,所以c答案A
4.(多选)若函数f(x)=(1+tan
x)cos
x,则f(x)的
( )
A.周期为π
B.最大值是2
C.周期为2π
D.最大值是1
解析f(x)=(1+tanx)cosx=1+·cosx=sinx+cosx=2sinx+,所以f(x)的周期为2π.当x+=2kπ+,k∈Z时,f(x)取到最大值2.
答案BC
5.若tan
α=,则cos
= .?
解析cos=-sin2α=-
=-=-=-.
答案-
6.已知α为锐角,且sin
α=.
(1)求的值;
(2)求tan的值.
解(1)因为α为锐角,且sinα=,
所以cosα=.
所以
==20.
(2)由(1)得tanα=,所以tan.
能力提升练
1.计算:的结果为( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
解析
=
=
=2=2,故选B.
答案B
2.在△ABC中,若sin
Bsin
C=cos2,则△ABC是
( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
解析由sinBsinC=cos2,
得sinBsinC=,所以2sinBsinC=1+cosA.
所以2sinBsinC=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C),
所以2sinBsinC=1-cosBcosC+sinBsinC,
所以cosBcosC+sinBsinC=1,
所以cos(B-C)=1,
又因为-180°所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.
答案B
3.等于( )
A.
B.
C.2
D.
解析原式==2.
答案C
4.(多选)已知sin(π-θ)=,则sin
2θ,cos
2θ分别是( )
A.
B.
C.
D.
解析因为sin(π-θ)=,
所以sinθ=,cosθ=,从而sin2θ=2×,cos2θ=1-2sin2θ=,故选CD.
答案CD
5.若sin,则cos= .?
解析观察发现+2α=2,
而,
则cos=sin,
所以cos=2cos2-1
=2sin2-1=-.
答案-
6.已知sin
α+cos
α=,α∈(0,π),求sin
2α,cos
2α,tan
2α的值.
解∵sinα+cosα=,∴(sinα+cosα)2=,
即1+2sinαcosα=,
则sin2α=2sinαcosα=-.
又0<α<π,∴<α<π,sinα>0,cosα<0.
又(sinα-cosα)2=1-sin2α=,
∴cosα-sinα=-,
cos2α=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-.
∴tan2α=.
素养培优练
1.已知向量m=(sin
x,-1),向量n=cos
x,-,函数f(x)=(m+n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T;
(2)已知f(A)恰是f(x)在上的最大值,求锐角A.
解(1)f(x)=(m+n)·m=sin2x+sinxcosx+sin2x+
=sin2x-cos2x+2=sin+2,
所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin+2.
当x∈时,-≤2x-.
由正弦函数的图像可知,当2x-时,f(x)取得最大值3,即f(A)=3,此时2A-,
所以A=.
2.已知函数f(x)=2cos
xsinsin2x+sin
xcos
x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求方程f(x)=2在x∈[0,2
019]上解的个数.
解(1)因为f(x)=2cosxsinx+cosx-sin2x,所以f(x)=sin2x+,
所以f(x)=sin2x+cos2x=2sin,
因此该函数的最小正周期为π.
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
则-π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为-π+kπ,π+kπ,k∈Z.
(2)由题意得sin=1,
所以2x+=2kπ+,k∈Z,x=kπ+,k∈Z,
因为x∈[0,2019],
当k=0时,x=,当k=1时,x=π,…,
当k=642时,x=642π+≈2016,
当k=643时,x>2019.所以方程f(x)=2在x∈[0,2019]上解的个数为643.(共27张PPT)
第1课时 两角和与差的正弦
课标阐释
1.掌握两角和与差的正弦公式.
2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明.
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在实际生活中,很多的最优化问题都可以转化为三角函数来解决,如停车场的设计、通信电缆的铺设、航海、测量等都有三角函数的影子.求解三角函数问题,都需要三角函数公式转化,今天我们学习两角和与差的正弦、正切公式及其应用,感受三角函数公式的魅力.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:两角和与差的正弦公式
Sα+β:sin(α+β)=sin
αcos
β+cos
αsin
β.
Sα-β:sin(α-β)=sin
αcos
β-cos
αsin
β.
名师点析
(1)Sα±β与Cα±β一样,对任意角α,β都成立,是恒等式.
(2)明确Sα±β与Cα±β的区别:sin(α±β)=sin
αcos
β±cos
αsin
β,cos(α±β)=cos
αcos
β?sin
αsin
β.
对比公式要注意形式与符号的特点.
(3)两角和与差的正弦、余弦公式之间的联系:
激趣诱思
知识点拨
微练习
sin
105°= .?
微判断
(1)sin(α-β)=sin
αcos
α-cos
βsin
β.( )
(2)sin
α+sin
β=sin(α+β).( )
(3)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos
β+cos(α-15°)sin
β.( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
知识点二:旋转变换公式
已知点P(x,y),与原点的距离保持不变,逆时针旋转θ角到点P'(x',y'),
知识点三:化一公式(辅助角公式)
形如asin
θ+bcos
θ(a,b都不为零)的式子引入辅助角可变形为Asin(θ+φ)的形式,有时也可变形为Acos(θ+φ)的形式.
激趣诱思
知识点拨
答案B
激趣诱思
知识点拨
由以上不难发现,两角和与差的余弦、正弦公式的逆用也可看成是化一公式的运用,只不过在做题过程中用到的大都是一些特殊值、特殊角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
给值求值
分析若将cos(α+β)展开,再联立平方关系求sin
β的值运算量大,利用角的变换β=(α+β)-α,两边同时取正弦比较简便.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
反思感悟
给值求值问题的解题策略
在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:
(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.
(2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究在例1中,试求β.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
利用两角和与差的正弦公式化简
例2化简下列各式:
分析(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系,所以只能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法.
(2)观察三个角之间的关系,知2α+β=α+(α+β),所以首先考虑角的代换,再利用两角和与差公式化复角为单角.
探究一
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反思感悟
化简三角函数式的标准和要求
(1)能求出值的应求出值;
(2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少;
(3)使三角函数式的次数尽可能低;
(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.
探究一
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素养形成
当堂检测
探究一
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探究三
素养形成
当堂检测
分析利用辅助角公式进行变形.
探究一
探究二
探究三
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答案(1)A (2)B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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答案(1)D (2)B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
一题多解——两角和与差的正弦求解
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
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探究一
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探究三
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答案C
探究一
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答案C
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答案1第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
课后篇巩固提升
基础达标练
1.函数f(x)=sinx+cosx-是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
解析f(x)=sin2x++,
所以T==π,f(x)为非奇非偶函数.
答案D
2.求值:sin
20°+sin
40°+sin
60°-sin
80°=( )
A.
B.
C.
D.1
解析sin20°+sin40°+sin60°-sin80°
=2sin30°cos(-10°)+sin60°-sin80°
=2××sin80°+-sin80°=.
答案C
3.cos2α-cos
αcos(60°+α)+sin2(30°-α)的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析原式=[cos(60°+2α)+cos60°]+
=1+cos2α-cos(60°+2α)-cos(60°-2α)
=[cos(60°+2α)+cos(60°-2α)]+cos2α
=×2cos60°cos2α+cos2α=.
答案C
4.已知sin
α+sin
β=,cos
α+cos
β=,则tan(α+β)= ,cos(α-β)= .?
解析由sinα+sinβ=,cosα+cosβ=,
得2sincos,2coscos,
两式相除得tan,
则tan(α+β)==-.
(sinα+sinβ)2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=,
(cosα+cosβ)2=cos2α+cos2β+2cosαcosβ=,
则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-.
答案- -
5.已知tan
α,tan
β是方程x2+3x-4=0的两个根,求的值.
解由根与系数的关系知tanα+tanβ=-3,tanαtanβ=-4,
故原式==-.
能力提升练
1.(多选)在△ABC中,若,则△ABC可以是
( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.任意三角形
D.钝角三角形
解析由题意知sinAcosA=sinBcosB,
即sin2A=sin2B,因此sin2A-sin2B=0,由和差化积公式得2cos(A+B)sin(A-B)=0,于是cos(A+B)=0或sin(A-B)=0,即A+B=或A=B.故选ABD.
答案ABD
2.若x+y=1,则sin
x+sin
y与1的大小关系是( )
A.sin
x+sin
y>1
B.sin
x+sin
y=1
C.sin
x+sin
y<1
D.不确定
解析∵sinx+siny=2sin·cos
=2sin·cos,
又0<,
∴sin∴2sin<2sin=1.
∴sinx+siny=2sin·cos∴sinx+siny<1.
答案C
3.cos
72°-cos
36°的值为 .?
解析cos72°-cos36°=-2sin54°sin18°==-.
答案-
4.已知A+B=,那么cos2A+cos2B的最大值是 ,最小值是 .?
解析因为A+B=,所以cos2A+cos2B
=(1+cos2A+1+cos2B)
=1+(cos2A+cos2B)
=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+coscos(A-B)
=1-cos(A-B),
所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值;
当cos(A-B)=1时,原式取得最小值.
答案
5.求证:2sin2θsin2φ+2cos2θcos2φ=1+cos
2θcos
2φ.
证明左边=2·+2·
=(1-cos2θ-cos2φ+cos2θcos2φ)+(1+cos2θ+cos2φ+cos2θcos2φ)=(2+2cos2θcos2φ)
=1+cos2θcos2φ=右边.
所以原式成立.
素养培优练
已知△ABC的三个内角A,B,C满足(1)A+C=2B;(2)=-,求cos的值.
解由题设条件知B=60°,A+C=120°,
因为=-2,
所以=-2.
所以cosA+cosC=-2cosAcosC.
利用和差化积及积化和差公式得,
2coscos=-[cos(A+C)+cos(A-C)],
所以cos=-,
化简得4cos2+2cos-3=0,
又=0,
因为2cos+3≠0,
所以cos.