(共23张PPT)
章末整合
专题一
专题二
专题三
专题一 向量的数量积及应用?
例1已知|a|=1,|b|=4,且向量a与b不共线.
(1)若a与b的夹角为60°,求(2a-b)·(a+b);
(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.
解(1)(2a-b)·(a+b)=2a·a+a·b-b·b=2|a|2+|a||b|cos
-|b|2
=2×1+1×4×cos
60°-42=-12.
(2)由题意可得(ka+b)·(ka-b)=0,即k2a2-b2=0,∵a2=1,b2=16,
∴k2-16=0,故k=±4.
方法技巧
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];
(2)分别求|a|和|b|;
(3)求数量积,即a·b=|a||b|cos
θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,也不能省去.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
例2(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,求k的取值范围.
(2)已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,求a与b的夹角.
解(1)∵e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,
当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去.
综上,k的取值范围为{k|k>0,且k≠1}.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
例3已知向量a=(3,2),b=(-2,-4),c=a+kb,k∈R.
(1)若b⊥c,求k的值;
(2)求a与b夹角的余弦值.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
变式训练2已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则为 .?
解析∵b⊥(a+2b),
∴b·(a+2b)=a·b+2b2=|a||b|cos+2|b|2=0,即4|b|2cos+2|b|2=0,
专题一
专题二
专题三
专题二 三角恒等变换中的“四变”策略?
1.变角——角的变换
例4已知tan(α+β)=4,tan(α-β)=2,则sin
4α的值为 .?
专题一
专题二
专题三
方法技巧
若“条件角”与所求的“目标角”不同,则可以用“条件角”表示出“目标角”,然后根据它们之间的关系,选用相关的三角恒等变换公式求解.
当题目中涉及三种不同的角:α+β,α-β,4α时,选择哪一种角为目标最合适?通过观察可以发现(α+β)+(α-β)=2α,4α=2×2α,这样,2α是必然的选择,然后,恰当地选择三角公式进行恒等变形,目的就容易达到了.
专题一
专题二
专题三
答案4
方法技巧
对于含有多种三角函数的问题,要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径.正确选用三角变换公式,通过变换尽量减少三角函数的种类,从而提高解题效率.
注意到函数表达式的分子与分母是关于sin
x与cos
x的二次齐次式,所以,分子与分母同时除以cos2x,便可将原函数转化为关于tan
x的函数进行求解.
专题一
专题二
专题三
方法技巧
由于已知条件中给出了sin
α的值,而所求三角函数式中所涉及的角都是与α有关的角,因此可利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等求解.
专题一
专题二
专题三
方法技巧
根据需要,常常将“1”进行转化,如1=sin2x+cos2x
=(sin
x±cos
x)2?2sin
xcos
x等.
专题一
专题二
专题三
专题三 三角恒等变换与三角函数的图像与性质的综合?
例8已知a=(
,-1),b=(sin
x,cos
x),x∈R,f(x)=a·b,求函数f(x)的周期、值域、单调递增区间.
专题一
专题二
专题三
方法技巧
辅助角公式及其运用
(2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
方法技巧
三角恒等变换与三角函数图像性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin
ωx+bcos
ωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k[或y=Acos(ωx+φ)+k]的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三第八章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数y=sin
3x+cos
3x的最小正周期是( )
A.6π
B.2π
C.
D.
解析由y=sin3x+cos3x,得y=sin3x+cos3x=sin3x+,
可知该函数的最小正周期T=,故选C.
答案C
2.cos215°+cos275°+cos
15°cos
75°的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案D
3.已知=5,则cos2α+sin
2α=( )
A.-
B.3
C.-3
D.
解析因为=5,所以=5,
解得tanα=3,cos2α+sin2α=
=,故选D.
答案D
4.若a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角θ是( )
A.
B.
C.
D.
解析因为a2-2a·b=0,b2-2a·b=0,
所以a2=b2=2a·b,|a|=|b|,
所以cosθ=.
又θ∈[0,π],所以θ=.
答案B
5.若cos
θ=-,且180°<θ<270°,则tan的值为
( )
A.2
B.-2
C.±2
D.-
解析∵cosθ=-,且180°<θ<270°,
∴90°<<135°,
∴tan=-=-2.
答案B
6.在三角形ABC中,若C>90°,则tan
A·tan
B与1的大小关系为( )
A.tan
A·tan
B>1
B.tan
A·tan
B<1
C.tan
A·tan
B=1
D.不能确定
解析在三角形ABC中,因为C>90°,所以A,B都为锐角.则有tanA>0,tanB>0,tanC<0.
又因为C=π-(A+B),所以tanC=-tan(A+B)=-<0,易知1-tanA·tanB>0,
即tanA·tanB<1.
答案B
7.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sin
A,sin
B),n=(cos
B,cos
A),若m·n=1+cos(A+B),则C=( )
A.
B.
C.
D.
解析因为m·n=sinAcosB+sinB·cosA
=sin(A+B)=sinC=1-cosC,
所以sinC+=.
又因为0答案C
8.已知sin(α+2β)=,cos
β=,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析因为sin(α+2β)=,cosβ=,α,β为锐角,
又cos2β=2cos2β-1=-<0,
所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系,
可得cos(α+2β)=-,sinβ=,
所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β]
=sin(α+2β)cosβ-cos(α+2β)sinβ
=--×,故选D.
答案D
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.
9.已知曲线C1:y=cos
x,C2:y=cos
x(cos
x+sin
x)-,则下面的结论不正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位,得到曲线C2
解析∵y=cosx(cosx+sinx)-=cos2x+sinxcosx-
=sin2x-cos2x+sin2x
=cos2xcos+sin2xsin=cos2x-,
∴将曲线C1上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位,得到曲线C2.
∴A,C,D不合题意,故选ACD.
答案ACD
10.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论不正确的是( )
A.|b|=1
B.a⊥b
C.a·b=1
D.(4a+b)⊥
解析在△ABC中,由=2a+b-2a=b,得|b|=2.
由题得,|a|=1,所以a·b=|a||b|cos120°=-1,
所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥.
答案ABC
11.函数f(x)=sin
2x+cos
2x的单调递增区间有
( )
A.
B.
C.
D.
解析f(x)=sin2x+cos2x=2sin2x+,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
即函数的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z),
当k=0时,得-,当k=1时,得,当k=2时,得.故选ACD.
答案ACD
12.已知锐角α,β满足sin
α-cos
α=,tan
α+tan
β+tan
αtan
β=,则( )
A.<α<
B.β<<α
C.<α<β
D.<β<α
解析因为α为锐角,sinα-cosα=>0,
所以<α<.
又tanα+tanβ+tanαtanβ=,
所以tan(α+β)=,
所以α+β=,
又α>,所以β<<α.
答案AB
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知cos
α=,α∈0,,则cos+α= .?
解析因为cosα=,α∈0,,
则sinα=,
所以cos+α=coscosα-sinsinα=.
答案
14.已知sin
α=3cos
α,则cos
2α= .?
解析因为sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,
解得cos2α=,sin2α=,
故cos2α=cos2α-sin2α==-.
答案-
15.给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为120°.如图,点C在以O为圆心的圆弧上变动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是 .?
解析建立如图所示的坐标系,
则A(1,0),B(cos120°,sin120°),
即B-.
设∠AOC=α,则=(cosα,sinα).
∵=x+y=(x,0)+-y=(cosα,sinα),
∴
∴
∴x+y=sinα+cosα=2sin(α+30°).
∵0°≤α≤120°,
∴30°≤α+30°≤150°.
∴当α=60°时,x+y有最大值2.
答案2
16.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .?
解析设a,b的夹角为θ,
因为|a|=1,|b|=2,
所以|a+b|+|a-b|=.
令y=,
则y2=10+2.
因为θ∈[0,π],
所以cos2θ∈[0,1],
所以y2∈[16,20],
所以y∈[4,2],
即|a+b|+|a-b|∈[4,2],
故|a+b|+|a-b|最小值为4,最大值为2.
答案4 2
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(1)求值:.
(2)已知sin
θ+2cos
θ=0,求的值.
解(1)原式==2+.
(2)由sinθ+2cosθ=0,得sinθ=-2cosθ,
又cosθ≠0,则tanθ=-2,
所以.
18.(12分)已知向量a=(cos
α,sin
α),b=(cos
β,-sin
β),α,β均为锐角,且|a-b|=,
(1)求cos(α+β)的值;
(2)若cos
α=,求cos
β的值.
解(1)由题意可得a-b=(cosα-cosβ,sinα+sinβ),
∵|a-b|=
=
=,
∴cos(α+β)=.
(2)∵cos(α+β)=,α,β均为锐角,
∴α+β仍为锐角,
sin(α+β)=.
∵cosα=,
∴sinα=,
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.
19.(12分)已知函数f(x)=cos2ωx+sin
ωxcos
ωx(ω>0)的图像的相邻两条对称轴的距离为.
(1)求ω的值并写出函数f(x)的单调递增区间;
(2)设α是第一象限角,且fα+=,求的值.
解(1)因为f(x)=cos2ωx+sinωxcosωx=sin2ωx,
所以f(x)=sin2ωx++的最小正周期T==3π,解得ω=,
则f(x)=sinx++.
令2kπ-x+≤2kπ+(k∈Z)可得3kπ-π≤x≤3kπ+(k∈Z),即f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为fα+=,即sinα++=cosα+,所以cosα=,又α是第一象限角,所以sinα=,所以=-.
20.(12分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P(-3,4),β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为.
(1)求tan(2α-β)的值.
(2)若<α<π,0<β<,求α+β.
解(1)由三角函数的定义可知tanα=-,
所以tan2α=.
又由三角函数线知sinβ=.
因为β为第一象限角,则cosβ=,所以tanβ=,所以tan(2α-β)=.
(2)因为cosα=-,sinβ=<α<π,0<β<<α+β<.
所以sinα=,cosβ=,
因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=,
又<α+β<,
所以α+β=.
21.(12分)已知函数f(x)=sin
x-2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)求f(x)在区间上的最小值.
解(1)∵f(x)=sinx+cosx-=2sinx+-,∴f(x)的最小正周期为2π.
由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z),
∴f(x)的单调递减区间是(k∈Z).
(2)∵0≤x≤,
∴≤x+≤π,-≤f(x)≤2-.
当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值.
∴f(x)在区间上的最小值为f=-.
22.(12分)设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cos
x,1),b=(cos
x,sin
2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;
(2)当x∈时,-4解(1)∵f(x)=2cos2x+sin2x+m
=2sin2x++m+1,
∴函数f(x)的最小正周期T=π,
在[0,π]上的单调递增区间为.
(2)∵当x∈0,时,f(x)单调递增,
∴当x=时,f(x)的最大值等于m+3.
当x=0时,f(x)的最小值等于m+2.
由题设知解得-6故实数m的取值范围是(-6,1).