第六章 实数
6.2 立方根
立方根的定义
立方根的性质
求立方根(开立方)
与 的性质(重点、难点)
学习目标
新课导入
16的平方根是______,算术平方根是_________.
-16的平方根是____________,
0的平方根是________.
一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数;
零的平方根是零,负数没有平方根.
±4
4
没有平方根
0
新课讲解
知识点1 立方根的定义
问题:要做一个体积为8cm3的正方体模型(如图),
它的棱长要取多少?你是怎么知道的?
新课讲解
思考:
(1)2的立方等于多少?是否有其他的数,
它的立方也是8?
(2)-3的立方等于多少?是否有其他的数,
它的立方也是-27?
新课讲解
什么才是一个数a的立方根呢?
一般地,一个数的立方等于a,这个数就叫做a
的立方根,也叫做a的三次方根.记做
(也叫做三次方根). 如2是8的立方根,0是0的
立方根.
表示方法:
一个数a的立方根,用符号“ ”表示,
读作“三次根号a”,其中a是被开方数,3是根
指数.
新课讲解
例
典例分析
下列说法正确的是( )
A. 负数没有立方根
B. -9的立方根是
C. =3
D. 任何正数都有两个立方根,它们互为相反数
B
分析:
任何一个数都有唯一的立方根,所以选项A,D不
正确,因为33=27,所以 ,故选项C也不
正确,选项B正确.
新课讲解
练一练
2.若 是5的立方根,则b=________,
若 =-2,则a=________.
1.64的立方根是( )
A.4 B.8
C.±4 D.±8
1
-8
A
新课讲解
知识点2 立方根的性质
问题1:根据立方根的意义填空,看看正数、0、负数
的立方根各有什么特点?
1. 因为 ,所以8的立方根是 ______;
2. 因为 ,所以0.125的立方根是______;
3. 因为 ,所以0的立方根是______;
4. 因为 ,所以8的立方根是______;
5. 因为 ,所以 的立方根是______.
2
0.5
0
-2
新课讲解
问题2:
因为 =______, =______,
所以 ______ ;
因为 =______, =______,
所以 ______ .
-2
-2
=
-3
-3
=
新课讲解
思考:
(1)正数有几个立方根?
(2)负数有几个立方根?
(3)0有几个立方根?
一个正数有一个正的立方根;
一个负数有一个负的立方根,
零的立方根是零.
新课讲解
性质:
(1) 正数的立方根是正数;
(2) 负数的立方根是负数;
(3) 0的立方根是0;
新课讲解
例
典例分析
求下列各式的值:
(1) ; (2) ; (3) .
解:
新课讲解
练一练
1.下列说法正确的是( )
A.0.8的立方根是0.2
B.负数没有立方根
C.-1的立方根是-1
D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么
这个数必是1或0
C
新课讲解
2.如图为张小亮的答卷,他的得分应是( )
A.100分
B.80分
C.60分
D.40分
B
新课讲解
知识点3 求立方根(开立方)
1.因为33=27,所以 =___.
2.因为(-4)3=-64,所以 =____.
3.因为x3=a,所以 =____.
3
-4
x
求一个数的立方根的运算叫做开立方,
a叫做被开方数.
新课讲解
例
典例分析
求下列各数的立方根:
(1)-125; (2) ;
(3) ; (4)-0.008.
分析:
根据立方根的定义知,要求上面各数的立方根,
只需找到几个数的立方分别等于上面各数,那么
所找的这几个数分别为上面各数的立方根.
新课讲解
(1)因为(-5)3=-125,
所以-125的立方根是-5,即 =-5.
(2)因为 ,
所以 的立方根是 ,即 .
(3)因为 ,而 ,
所以 的立方根是 ,即 .
(4)因为(-0.2)3=-0.008,
所以-0.008的立方根是-0.2,即 =-0.2.
解:
新课讲解
练一练
求下列各式的值:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解:
(1)因为103=1 000,所以 =10;
(2)因为(-0.1)3=-0.001,所以 =-0.1;
(3)因为(-1)3=-1,所以 =-1;
(4)因为 ,所以
新课讲解
知识点4 与 的性质
想一想
表示a的立方根,那么 等于什么?
呢?
新课讲解
1.任何一个数既等于这个数的立方根的立方
又等于这个数的立方的立方根.
即:
2.负号可直接从立方根内移到立方根外.
即:
新课讲解
例
典例分析
已知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根.
分析:
根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x-2
=4,2x+y+7=27,从而解出x,y,最后代入x2
+y2求其算术平方根即可.
新课讲解
∵x-2的平方根是±2,
∴x-2=4. ∴x=6.
∵2x+y+7的立方根是3,
∴2x+y+7=27.
把x=6代入解得:y=8,
∴x2+y2=62+82=100.
∴x2+y2的算术平方根为10.
解:
新课讲解
练一练
1. 的立方根是( )
A.-1 B.0
C.1 D.±1
2.若x2=(-5)2, =-5,则x+y的值为( )
A.0 B.-10
C.0或-10 D.0或-10或10
A
C
课堂小结
立方根
定义
一般地,如果一个数的立方等于a,那么这
个数叫做a的立方根
性质
①正数有一个立方根,仍为正数;
②负数有一个立方根,仍为负数;
③0的立方根是0
表示法
(a为任意数)
课堂小结
求一个负数的立方根的方法:
先求出这个负数的绝对值的立方根,然后再取它
的相反教即可;其实质是利用互为相反数的两个数的
立方根互为相反数. 即 来求解;也就是说
三次根号内的负号可以移到三次根号外面.
当堂小练
1.如果 ,那么a与b的关系是( )
A.a=b B.a=-b
C.a=±b D.不能确定
B
当堂小练
2.若x<0,则 等于( )
A.x B.2x
C.0 D.-2x
D
拓展与延伸
当a取 时, 有意义.
任意数
分析:正数、负数、0都有立方根,只有正数和0有平方根.
布置作业
请完成对应习题