北师大版八年级年级下册1.2.1直角三角形的性质与判定 课件(共29张PPT)

1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
学习目标
一、了解直角三角形的性质。
二、掌握直角三角形的判定定理。
三、逆命题与逆定理的概念。
情境导入
我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？
想一想
(1) 直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形
是直角三角形吗？为 什么？
体悟新知
直角三角形中角的关系：
归 纳
定理　　直角三角形的两个锐角互余.
定理　　有两个角互余的三角形是直角三角形.
如图，在△ABC中，∠C＝70°，∠B＝30°，AD⊥BC于点D，AE为∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
例1
由题意可知，
∠BAC＝180°－∠B－∠C
＝180°－30°－70°＝80°.
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠CAE＝∠BAE＝ ∠BAC＝40°.
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－70°＝20°.
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
解：
1.小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(　　)
A．180°
B．210°
C．360°
D．270°
B
牛刀小试
知识
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于
斜边的平方.
A
C
B
直角三角形中边角关系
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.下面我们证明这个结论.
已知：如图 (1)，在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：△ABC是直角三角形
证明：
如图(2) ，作Rt △A′B′C′ ，使
∠A′＝90° A′B′＝AB, A′C′＝AC,
则A′B′ 2＋A′C′ 2 ＝B′C′ 2（勾股定理）.
∵AB2＋AC2＝BC2 ，
∴BC2 ＝ B′C′ 2.
∴BC ＝ B′C′.
∴△ABC≌ △A′B′C′ (SSS).
∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.
因此， △ABC是直角三角形.
定理总结
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
例2
A
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)
过点C作CD⊥AB于点D，
则S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD，
∴AC·BC＝AB·CD.又由方法一知AB＝15，
∴CD＝ 　　，即点C到AB的距离为　　.
1.如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为(　　)
A．3
B．6
C．3
D.
A
初试锋芒
2.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为
13，则小正方形的面积为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
3.如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是(　　)
A．13
B．26
C．47
D．94
C
4.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是10尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，
有葛藤自点A处缠绕而上，绕5周
后其末端恰好到达点B处．则问
题中葛藤的最短长度是________．
25尺
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴交流.
再观察下面三组命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
逆命题和逆定理
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴交流.
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别
是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称
为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆
命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么
它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理
的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
例3
判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果a＞b，那么a2＞b2；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
导引：
根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题
的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最
后判断逆命题的真假．
解：
(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有
一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a
＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为
零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0，
那么ab＜0.逆命题是真命题．
总 结
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结
论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命
题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑
推理，判断一个命题是假命题只需要举出反例就可
以了．
1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)四边形是多边形；
(2)两直线平行，同旁内角互补；
(3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0.
（来自《教材》）
(1)逆命题：多边形是四边形．原命题真，逆命题假．
(2)逆命题：同旁内角互补，两直线平行．原命题真，
逆命题真．
(3)逆命题：如果 a＝0，b＝0，那么ab＝0. 原命题假，
逆命题真．
解：
2.下列说法正确的是(　　)
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
B
3.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(　　)
A．5 B.
C. D．5或
易错点：考虑问题不全面而漏解
D
直角三角形角的关系：
定理　直角三角形的两个锐角互余.
定理　有两个角互余的三角形是直角三角形.
今天我们学了什么？
(2)勾股定理及其逆定理：
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理逆定理　如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
(3)互逆命题、互逆定理：