北师大版八年级数学下册课件：5.4.1分式方程 (共20张PPT)

第五章 分式与分式方程
4 分式方程的概念及解法
回顾与思考
1.什么叫做方程?
含有未知数的等式叫做方程．
2.什么叫做方程的解？
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．
3.前面我们已经学过了哪些方程？是怎样的方程？
如何求解呢？
（1）前面已经学过了一元一次方程．
（2）一元一次方程是整式方程．
（3）一元一次方程解法步骤是：
①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一．
想一想,议一议
甲、乙两地相距 1400 km，
乘高铁列车从甲地到乙地比乘
特快列车少用 9 h，已知高铁
列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400
乘高铁列车行驶时间=乘特快列车的行驶时间﹣9
高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
想一想,议一议
只要人人都献出一点爱
为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
做一做
议一议
上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼?
分母中都含有未知数.
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。(fractional equation)
分式方程的特征是什么？
(1)是方程
(2)方程含分母
（3）分母中含有未知数
整式方程的未知数不在分母中
分式方程的分母中含有未知数
区别
探究新知
整式方程
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
分式方程
解下列方程：
解:
(去分母)
2(x+4)=3(x+2)
(去括号)
2x+8=3x+6
(移 项)
2x-3x=6- 8
(合并同类项)
-x=-2
(系数化为1)
x=2
(整式方程)
类比解一元一次方程来解一元分式方程
解方程:
去括号，得
左边 = 右边.
去分母：方程两边都乘以 ，得
所以， 是原方程的根 .
移项，化简得
例 1
解：
检验：将 代入原方程，得:
通过阅读,
你能归纳出解分式方程一般需要几个步骤？
想一想
一元方程的解也叫方程的根
⑵ 找出各分母的最简公分母;
⑶ 方程两边各项乘以最简公分母;
⑴ 把各分母分解因式;
解分式方程的步骤
去分母，化为整式方程：
解整式方程。
解分式方程与解整式方程过程基本一致，
但增加了“检验”这一步：
把未知数的值代入原方程，
看左右两边的值是否相等。
检验：
一化二解三检验
议一议
增根 与 验根
你认为x=2是方程的根吗？与同伴交流你的看法或做法.
议一议
在上面的方程中, x=2不是原方程的根, 因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.



原因：我们在去分母时在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式，这样使本不相等的两边也相等了，这时就可能产生增根。
因此，解分式方程必须检验，而检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子（最简公分母）为零。
讨论
解分式方程为什么有时会产生增根呢
?
解 : 方程两边同乘以x(x－3),得
检验:当x ＝9时 x(x－3)≠0
即 2x ＝ 3（x － 3）
解得 x＝9
分式方程
整式方程
解整式方程
检 验
转化
∴原分式方程的解为x ＝ 9 .
作 答
x(x－3)
x(x－3)
练习1 解分式方程
解 : 方程两边同乘以(x －1)(x ＋2),得
化简,得 x＋2 ＝ 3
检验:当x ＝ 1 时，(x＋2)(x－1)=0，
则x ＝1不是原方程的根.
∴ 原分式方程无解 .
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3
解得 x＝1
练习2 解分式方程
A
求 的值.
3、(2007荆门)若方程
无解,
2、解关于x的方程 产生增根,则常数m的值等于( )
A、-2 B、-1 C 、 1 D、 2
x-3
x-1
x-1
m
=
拓展
m=1

通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗?
【小结】
解分式方程的一般步骤:
分式方程
整式方程
a是分式
方程的解
X=a
a不是分式
方程的解
去分母
解整式方程
检验
目标
最简公分
母不为０
最简公分
母为０
例3：
k为何值时，分式方程
有增根？
方程两边都乘以(x-1)(x+1),得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0
解，得
解：
当x=1时,原方程有增根，则k=-1
当x=-1时，k值不存在
∴当k=-1，原方程有增根。
k为何值时，分式方程
无解？
例4：
方程两边都乘以(x-1)(x+1),得
x(x+1)+k(x+1)-x(x-1)=0
解，得
当x=1时,原方程无解，则k=-1
当k=-2时，k+2=0, 原方程无解
当x=-1时，k值不存在
∴当k=-1或k=-2时，原方程无解
解：
“增根”是你可以求出来的，但代入后方
程的分母为0无意义，原方程无解。
“无解”包括增根和这个方程没有可解的根
思考：“方程有增根”和“方程无解”一样吗？