北师大版八年级下1.3.1线段垂直平分线的性质与判定 课件(共27张PPT)

1.3 线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质与判定
学习目标
一、线段垂直平分线的性质。
二、线段垂直平分线的判定。
1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
2.什么叫线段的垂直平分线？
复习旧知
线段是轴对称图形，对称轴是过线段中点且垂直于线段的直线
垂直平分线又名中垂线，是过线段中点且垂直于线段的直线。
线段的垂直平分线的性质
探究
如图, 直线l垂直平分线段
AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点
A与点B的距离之间的数量关系.
A
B
l
P1
P2
P3
体悟新知
归 纳
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)
A．AB＝AD　　　　　　　　　
B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
例1
C
导引：
根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系，
结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解．
∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD.
又∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC.
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.
又∵BC＝DC，CE＝CE，
∴△BEC≌△DEC.
∴选项A，B，D正确．
如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
导引：
由DE是AB的垂直平分线，
得AD＝BD，所以BD与CD的
长度和等于AC的长，所以由
△BCD的周长可求BC的长，
同样由BC的长也可求△BCD
的周长．
例2
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________．
导引：
例3
在△ABC中，∵∠B＝90°，
∠A＝40°，
∴∠ACB＝50°.
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴DC＝DA.
∴∠DCE＝∠A＝40°.
∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA
＝50°－40°＝10°.
10°
1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：
因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
在△ECF和△EDF中，
所以△ECF≌△EDF(SSS)．
所以∠ECF＝∠EDF.
初试锋芒
2.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋BD与DE的关系是(　　)
A．AB＋DB＞DE
B．AB＋DB＜DE
C．AB＋DB＝DE
D．不能确定
C
3.如图，在四边形ABDC中，∠A＝110°，若点D在AB，AC的垂直平分线上，则∠BDC为(　　)
A．90°　
B．110°
C．120°　
D．140°
D
4.如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于(　　)
A．3
B．4
C．4.8
D．5
D
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为(　　)
A．30°
B．45°
C．50°
D．75°
A
6.如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝16，AC＝12，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为(　　)
A．30
B．28
C．32
D．36
C
线段的垂直平分线的判定
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？
它是真命题吗？
如果是，请你加以 证明.
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
例4
证明：
∵ AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定
一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
归 纳
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分 线上
1如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
牛刀小试
2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(　　)
A．三条高的交点　　
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点　
D．三条边的垂直平分线的交点
D
3.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，如果AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠ABC＝∠BAD；③∠DAC＝∠CBD；④点O在线段AB的垂直平分线上．
其中正确的是(　　)
A．①②③　
B．②③④
C．①③④　
D．①②③④
D
4.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
易错点：运用线段垂直平分线的性质解题时，考虑问题不全面
70°或20°
分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70°或20°.
性质：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点
距离都相等.
判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的
垂直平分线上.
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离
相等的所有点的集合.
今天你学到了什么？