北师大版八年级下册1.1.4等边三角形的判定课件 (共30张PPT)

1.1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定
学习目标
一、理解并掌握等边三角形的判定定理。
二、含30°角的直角三角形的性质。
复习旧知
1.等边三角形的定义？
2等边三角形的性质？
三条边相等的三角形
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°
“三线合一”
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
体悟新知
定理：三个角都相等的三角形是等边三角形
如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．
例1
导引：
从题中条件看，利用三角
形的外角性质易求∠OEF
＝∠OFE＝60°，从而证
明△OEF是等边三角形．
∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，
∴OE＝BE，OF＝CF.
∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.
∴∠OEF＝∠OFE＝60°.
∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.
∴△OEF是等边三角形．
证明：
总 结
证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角
形是等边三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于
60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
C
初试锋芒
2.如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
3. 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ 　　　 B．①②④
C．①③ 　　　 　D．①②③④
D
4.　如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2. 若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)
A．1个 　
B．2个
C．3个
D．3个以上
D
5.　 如图，木工师傅从周长为90 cm的正三角形木板上锯出一正六边形木板，那么正六边形木板的周长为(　　)
A．60 cm
B．20 cm
C．30 cm
D．90 cm
A
知识点
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此你能发现什么结论？说说你的理由.
体悟新知二
已知：如图 (1)， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°求证： BC＝　 AB.
证明：
如图(2)，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∴AC ＝AC,
∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
∴AB＝AD(全等三角形的对应
边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
要点精析：
(1)适用条件——含30°角的直角三角形，
(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关
系．
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求证：CD＝　 AB
例2
在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∴CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD = AB.
证明：
例3
〈温州〉如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
导引：
(1)根据平行线的性质可得
∠EDC＝∠B＝60°，
根据三角形内角和定理
即可求解；
(2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形
的性质即可求解．
(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.
∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.
∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.
(2)∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°.
又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形．
∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，
∴DF＝2DE＝4.
解：
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　　)
A．6
B．
C．
D．12
A
　2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD
C．BD＝3CD D．BD＝4CD
B
3.如图，AC＝BC＝20 cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD的长为(　　)
A．6cm
B．8 cm
C．10 cm
D．15cm
C
4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是16 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)
A．6 m
B．8 m
C．10m
D．12m
B
5.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(　　)
A．直角三角形　 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形
易错点：对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法不理解导致出错
D
如图，连接PO.
∵点P1与P关于OB对称，
∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.
同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.
∴OP1＝OP2，
∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB
＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.
∴△OP1P2为等边三角形．
等边三角形的判定方法：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对
的直角边等于斜边的一半．
今天你学到了什么？