北师大版八年级下册1.4.1角平分线的性质与判定课件 (共27张PPT)

1.4 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
学习目标
一、角平分线的性质.
二、角平分线的判定定理.
复习旧知
1.线段垂直平分线的性质？
2.线段垂直平分线的判定定理？
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
情境导入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等
的角. 你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
对折
角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.
感知新知一
已知：如图1-22，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
例1
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2, OP＝OP
∴△PDO≌△PEO ( AAS ).
∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
归 纳
定理　　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
O
D
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
A
C
B
例2
如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长.
解：
∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F,
且DE＝DF，
∴AD平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°.
在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，
∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果
一个锐角等于30°. 那么它所对的直角边等于斜
边的一半).
1.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？
解：AD⊥AE.
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2.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(　　)
A．PC⊥OA，PD⊥OB
B．OC＝OD
C．∠OPC＝∠OPD
D．PC＝PD
D
3.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足
分别为A，B.下列结论中不一定成立的是(　　)
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB垂直平分OP
D
4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝69cm，则△DBE的周长是(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
D
5.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝16，则点P到BC的距离是(　　)
A．8
B．6
C．4
D．2
A
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝15，则△ABD的面积是(　　)
A．15 B．30
C．45 D．60
C
如图，由 于点 D ，
于点E，PD= PE ， 可
以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
B
A
D
O
P
E
到一个角的两边的距离相等
的点， 在这个角的平分线上.
探究新知二
证明过程：
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.
证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，?
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角
的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
如图，已知BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
例3
导引：
要证AD平分∠BAC，已知条件
中有两个垂直，即有点到角的
两边的距离，再证这两个距离
相等即可证明结论，证这两条
垂线段相等，可通过证明
△BDE和△CDF全等来完成．
∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
证明：
1.如图，一目标在A区，到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置(比例尺1：20 000).
如图，设公路、铁路的交点为O. 在A区内作角的平分线OB，在OB上截取OC＝2.5 cm，则点C即为所求．
解：
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2.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是(　　)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
C
3.如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小关系是(　　)
A．∠1＝∠2
B．∠1>∠2
C．∠1<∠2
D．无法确定
A
4.如图，在△ABC中，与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
B
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，EM⊥AB于点M，EN⊥AC于点N，则下面四个结论：①若AD⊥BC，则EM＝EN；②若EM＝EN，则∠BAD＝∠CAD；③若EM＝EN，则AM＝AN；④若EM＝EN，则∠AEM＝
∠AEN.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的数量关系为(　　)
A．AD>DE
B．AD＝DE
C．ADD．不确定
易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误
D
今天你学到了吗？
1.性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2.判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.