北师大版八年级下册1.4.2三角形的角平分线课件 (共23张PPT)

1.4 角平分线
第2课时 三角形的角平分线
学习目标
一、三角形的角平分线
二、三角形的角平分线的应用
角平分线的性质与判定的内容是什么？
复
习
回
顾
归 纳
定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点
在这个角的平分线上.
三角形的角平分线
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距 离相等.
例1
体悟新知一
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且
PD丄AB，PE丄BC，垂足分别为D，E，
∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的
距离相等).
同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到
角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即 ∠A的平分线经过点P
证明：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等．
知识小结
如图，在△ABC中，∠A＝100°，若∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________．
例2
导引：
在△ABC中，∵∠A＝100°，
∴∠ABC＋∠ACB＝80°.
又∵BO，CO分别平分
∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC＋∠OCB＝40°.
∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)
＝180°－40°＝140°.
140°
如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：DE＝BD＋CE.
例3
证明：
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO.
∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB.
∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD.
同理可证OE＝CE，
∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.
1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为 M，N.求证：FE＝FD.
连接BF，由题意易知BF即
为∠ABC的平分线，则FM＝FN，
在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°. ∴∠DAB＝ ∠BAC＝15°.
解：
小试牛刀
∴∠FDN＝∠DAB＋∠B＝75°，
∠FEM＝∠BAC＋∠ACE
＝30°＋ ∠ACB＝30°＋45°＝75°.
∴∠FEM＝∠FDN.
在△FEM与△FDN中，
∴△FEM≌△FDN.
∴FE＝FD.
2.在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的(　　)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
B
3.到三角形三边距离相等的点的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
A
　4.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为
24，26，28，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_______.
12:13:14
三角形的角平分线的应用
角平分线的性质是证明边相等的重要依据，常
与直角三角形的性质、勾股定理其逆定理等综合应
用，在应用中常用到“构造法”和“转化思想”.
感悟新知二
如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,
(1) 已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
例4
　　　∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂
足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距
离相等).
∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角).
∵ ∠C＝90°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
∴ BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
∴ AC＝BC＝CD＋BD＝
(1) 解：
由(1)的求解过程易知，
Rt △ACD≌Rt△AED(HL).
∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等)
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
(2) 证明：
1.已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB.下列确定P点的方法正确的是(　　)
A．P为∠A与∠B的平分线的交点
B．P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
B
大展身手
　2.如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
如图，连接EF，作∠ACB的平分线交EF于点O，则点O就是所要建超市的位置．
解：
三角形三条内角平分线的交点到三边的距离相等是三角形的一个重要特征，该交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，利用三个小三角形的面积之和等于原三角形的面积，求角平分线交点到三边距离或者求三角形的面积，体现等面积法的运用.
今天你学到了什么？