1.1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
讲解
学习目标
一、掌握等腰三角形中相等的线段 .
二、了解等边三角形的性质.
等腰三角形有哪质?
1.等腰三角形的性质:等边对等角.
2.等腰三角形性质的推论:三线合一,即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
复习回顾
等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高等),你能发现其 中一些相等的线段吗?能证明你的结论吗?
感悟新知
例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等.
已知:如图1-4,在△ABC中,AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线.
求证:BD = CE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角).
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ,
∠1=(1/2)∠ABC,∠2=(1/2)∠ACB
∴ ∠1=∠2.
在△BDC和△CEB中,
∠ ACB=∠ ABC, BC=CB, ∠1=∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).
证明:
例2 求证:等腰三角形两腰上的中线相等.
如图1-5,在△ABC中,AB=AC,CE和BD分别是AB
和AC上的中线,
求证:CE=BD.
证明 :∵AB=AC,CE和BD分别是AB
和AC上的中线,
∴∠ABC=∠ACB,BE=CD.
又∵BC=CB,∴△BEC≌△CDB.
∴CE=BD.
等腰三角形两腰上的高相等吗?还有其他的结论吗?请你证明它们,并与同伴交流?
在等腰三角形ABC中,AB=AC,那么下列说法中不正确的是( )
A.BC边上的高线和中线互相重合
B.AB和AC边上的中线相等
C.顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等
D.AB,BC边上的高线相等
D
如图,在△ABC中,AB=AC,下列条件中,不能使BD=CE的是( )
A.BD,CE为AC,AB边上的高
B.BD,CE都为△ABC的角平分线
C.∠ABD= ∠ABC,
∠ACE= ∠ACB
D.∠ABD=∠BCE
D
1.等边三角形的定义是什么?
2.想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角
形的内角有什么特征呢?
等边三角形的性质?
A
B
C
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
等边三角形是特殊的等腰三角形.
已知:如图, 在△ABC中,AB= AC=BC.
求证:∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
∵AB = AC,
∴∠ B = ∠ C (等边对等角).
又∵AC = BC,
∴∠A= ∠ B (等边对等角).
∴∠A= ∠ B = ∠ C.
在△ABC中,∠A+∠ B+∠ C = 180°.
∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
证明:
定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°。
如图,已知△ABC,△BDE都是等边三角形.
求证:AE=CD.
例3
导引:
要证AE=CD,可通过证AE,
CD所在的两个三角形全等来
实现,即证△ABE≌△CBD,
条件可从等边三角形中去寻
找.
∵△ABC和△BDE都是等边三角形,
∴AB=BC,BE=BD,∠ABC=∠DBE=60°.
在△ABE与△CBD中,
∴△ABE≌△CBD(SAS).
∴AE=CD.
证明:
1
求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
解:
如图,在等边三角形ABC中,CE,BF分别是AB,AC边上的中线,且CE与BF相交于点O,
则CE垂直平分AB,BF垂直平分AC,
在Rt△ABF中,∵∠A=60°,
∴∠ABF=30°.
在Rt△BEO中,∵∠EBO=30°,∴∠EOB=60°,
即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°
2
如图,在△ABC中,D,E是BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,求∠BAC的度数.
解:
由题意易知,
BD=DE=AD,
∴∠DBA=∠BAD.
又∵∠DBA+∠BAD=∠ADE=60°,
∴∠BAD=30°.同理可得,∠CAE=30°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE
=30°+60°+30°=120°.
3
下面关于等边三角形的说法正确的有( )
①三个角都相等;②三条边都相等;③是一种特殊的等腰三角形;④是一种特殊的直角三角形.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
4
已知AD是等边三角形ABC的高,且BD=4 cm,那么AB的长是( )
A.4cm B.8 cm
C.10 cm D.16 cm
B
5如图,在等边三角形ABC中,BD,CE是两条中线,则∠1的度数为( )
A.90°
B.30°
C.120°
D.150°
C
6.【中考】如图,等边三角形OAB的边长为6,则点B的坐标为( )
A.(3,3)
B.( ,3)
C.( , )
D.(3, )
D
7如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD.其中正确结论的个数为( )
A.3
B.2
C.1
D.0
A
8.如图,l∥m,等边三角形ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹角为30°,则∠α的度数为( )
A.60°
B.45°
C.40°
D.30°
D
9.如图,在等边三角形ABC中,BD=CE,AD与BE相交于点P,则∠APE的度数是( )
A.45°
B.55°
C.60°
D.75°
C
10.已知△ABC是等边三角形,设AB,BC,AC边上的中线交于点G,∠BAC,∠ABC,∠ACB的平分线交于点I,AB,BC,AC边上的高交于点H,则下列结论:①点G与点I一定重合;②点G与点H一定重合;③点I与点H一定重合;④点G,点I与点H一定重合.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
1.等腰三角形的特殊性质:
(1)等腰三角形两底角的平分线相等;
(2)等腰三角形两腰上的高相等;
(3)等腰三角形两腰上的中线相等;
2.等边三角形的性质:
(1) 等边三角形的三边都相等;
(2) 等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等
于60°;
知识总结