北师大版九年级数学下册3.9： 弧长及扇形的面积课件 (共22张PPT)

第三章 圆
第9节 弧长及扇形的面积
学习目标
一、弧长公式的推导与运用
二、扇形面积公式的推导与运用
复习旧知
1.什么是半圆？
2.什么是圆弧？
3.什么是优弧，什么是劣弧,?
任意直径两个端点把圆分成相等的两部分，每一部分为半圆
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧。
如图3-37，某传送带的一个转动轮的半径为10cm。
（1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
（3）转动轮转n°，传送带上的物品A被传送了多少厘米？

弧长公式小结
在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
l=__________________.
1．弧、弧长、弧的度数间的关系：
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
2．易错警示：在弧长公式 l＝ 中，n表示1°的n倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
如图，⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的
切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣
弧BC的长为________．
例2
导引：
由切线性质可知∠OBA＝90°.因为∠A＝30°，所以
∠BOA＝60°，因为BC∥AO，所以∠CBO＝60°.又因
为OB＝OC，所以△OBC为等边三角形，所以∠BOC＝
60°，代入公式l＝ ＝2π(cm)．
2π cm
如图，某田径场的周长(内圈)为400 m，其中两个弯道内圈(半圆形)共长 200 m,直线段共长200 m，而每条跑道宽约1 m (共6条跑道).
(1) 内圈弯道半径为多少米？(结果精确到0.1 m)
一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？
(结果精确到0.1 m)
1
解：
(1)设内圈弯道的半径为r m．由题意知 ×2πr＝100.
解得r≈31.8.∴内圈弯道的半径约为31.8 m.
(2)设外圈弯道的半径为R m．
∵共有6条跑道，故外圈弯道的半径R＝
∴一个外圈弯道的弧长为
×2πR＝πR＝π ＝(100＋6π)(m)．
∴一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差约
100＋6π－100＝6π≈18.8(m)．
【中考】在在半径为9的⊙O中，120°圆心角所对的弧长是(　　)
A．π B．2π
C．4π D．6π
2
D
【中考】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝1，∠BAC＝30°，则BC的长等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3
︵
B
【中考】如图，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为(　　)
A. π
B. π
C. π
D. π
4
︵
B
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长
3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
扇形面积公式
1.半径为R的圆,面积是多少？
2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
3.1°圆心角所对扇形面积是多少？
1. S=πR2
2. 360°
3.
若设⊙O半径为R， n°的圆
心角所对的扇形面积为S，则
A
B
O
思考1：
比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：
其中l为扇形的弧长，R为半径.
扇形AOB的半径为12 cm， ∠ AOB=120°，求
的长(结果精确到 0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精
确到0.1 cm2).
例3
解：
的长= 25.1 ( cm).
S扇形= 150.7 (cm2 ).
因此， 的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约
为150.7 cm2.
如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12 cm，
其中有油的部分油面高 6cm，求截面上有油部分的
面积(结果精确到0.1 cm2).
1
解：
如图，连接OA，OB. 设OC⊥AB于点C，交圆O于点D.
∵CD＝6 cm，OD＝OA＝12 cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC中，
AC＝
∴AB＝12 cm，cos ∠COA＝
∴∠COA＝60°. ∴∠AOB＝120°.
∴截面上有油部分的面积为S扇形AOB－S△AOB
＝ ≈88.4(cm2)．
【中考】如图，正方形ABCD内接于半径为4的⊙O，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．4π＋14
B．4π＋8
C．4π－4
D．4π－8
2
D
【中考·桂林】如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．π
B.
C．3＋π
D．8－π
3
D
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.弧长的计算公式l＝ 并运用公式进行计算.
2.扇形的面积公式S＝ 并运用公式进行计算.
3.弧长l及扇形的面积S之间的关系，
课堂小结