北师大版九年级数学下册3.4圆心角和圆周角的关系 课件 (共25张PPT)

4 圆周角和圆心角
的关系
1.能在圆中准确找到和画出圆周角,会说出圆周角的定理的三个推论；
2.会利用圆周角定理及推论解决相关问题.
一、温故知新
1.圆心角的定义?
答：相等.
答:顶点在圆心的角叫圆心角.
2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?
圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
A
.
O
B
C
.
O
B
C
A
.
O
B
C
A
探索1:
二、探索新知
.
.
.
思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？
角的两边和圆是什么关系？
圆周角
在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
读一读
2
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
思考：图中的∠ABC的顶点B在圆的什么位置？∠ABC的两边和圆是什么关系？
圆周角
探索2:
你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.
练习
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
图１
图２
图３
图４
图５
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆
周角和圆心角之间有的关系.
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
想一想
●O
●O
●O
A
B
C
A
B
C
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?
说说你的想法,并与同伴交流.
议一议
教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
议一议
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
老师期望:你可要理解并掌握这个模型.
圆周角和圆心角的关系
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
议一议
老师提示:能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A
B
C
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
圆周角和圆心角的关系
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
议一议
老师提示:能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
A
B
C
圆周角定理
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半.
议一议
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
转化
转化
分类讨论、转化
方法小结
●O
A
C
B
●O
A
C
B
D
●O
D
A
C
B
练习：
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O
A
B
C
B
A
O
.
70°
x
1.求圆中角X的度数
A
O
.
X
120°
130°
A
O
.
X
120°
C
C
D
B
3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________
圆周角
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?.
想一想
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
D
E
D
E
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？ ∠ADB与∠ACB有什么关系？

同弧 所对的圆周角相等.
(等弧)
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
圆周角定理推论:
B
O
A
D
C
相等的圆周角所对的弧相等.
在同圆或等圆中,
拓展练习
●O
●O
C
A
B
D
B
A
C
D
E
●O
A
B
C
(1) (2) (3)
1.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?
推论：
直径所对的圆周角是直角； 反过来，90°的圆周角所对的弦是直径.
演示
拓展练习
2.如图(1),在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
●O
●O
C
A
B
D
B
A
C
D
E
●O
A
B
C
(1) (2) (3)
推论：
圆内接四边形对角互补.
对角互补的四边形内接于圆.
演示
.
做做看，收获知多少？
一、判断
1、顶点在圆上的角叫圆周角。
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
二、计算
1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两
部分，则弦所对的圆周角的度数是 。
×
√
O
60°或120°
2、如图,在⊙O中,∠BOC=50°,
求∠A的大小.
●O
B
A
C
解: ∠A= ∠BOC = 25°.
●O
D
A
B
C
如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解：BD=CD.
理由是：
连接AD.
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
即AD⊥BD
又∵AC＝AB
∴BD＝CD
思考题：如图，在⊙O中, CE=BD, DE=2BC， ∠ EOD=64°，求∠ A的度数.
︵
︵
A
B
C
D
E
O
一 、这节课主要学习了两个知识点：
1、圆周角定义；
2、圆周角定理及其推论.
二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.
三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.
作业：
1.AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果∠ADB=350，求∠BOC的度数.
2.如图，在⊙O中，BC=2DE， ∠ BOC=84°，
求∠ A的度数.
⌒
⌒
为什么电影院的座位排列呈弧形，说一说这设计的合理性。
答：有些电影院的座位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。
数学理解