北师大版九年级数学下册2.4二次函数的综合与应用 课件(共34张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册2.4二次函数的综合与应用 课件(共34张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 46.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-17 09:03:54 | ||
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文档简介
第12讲 二次函数的综合与应用
(必考，1～2道，解答题必考1道)
类型一 与线段有关的问题
重难点突破
例 1 如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与直线y＝ x－2交于点A、C.
(1)求抛物线的解析式；
例1题图①
【思维教练】
解：∵直线y＝ x－2经过点A、C，
∴点A(4，0)，点C(0，－2)．
将点A(4，0)，点C(0，－2)，代入抛物线y＝－ x2＋bx＋c中，
得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x－2；
(2)设点E为x轴上一点，当AE＝CE时，求点E的坐标；
【思维教练】设出点E的坐标，表示出AE的长，CE的长可利用勾股定理表示，联立方程即可求出点E的坐标．
如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则AE＝4－e.
在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝(－2)2＋e2＝22＋e2，
∵AE＝CE，
∴(4－e)2＝22＋e2，解得e＝ ，则点E的坐标为( ，0)；
例1题解图①
(3)设点P为位于直线AC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点H，①求当PH值最大时，点P的坐标；②过点P作PD⊥AC，求PD的最大值；
例1题图②
【思维教练】①
②要求PD的最大值，不能直接用P，D坐标表示PD的长，可通过PH的长和锐角函数值来表示PD的长，通过二次函数的性质即可求得最值．
①设点P(x，－ x2＋ x－2)，则H(x， x－2)，
∴PH＝－ x2＋ x－2－ x＋2
＝－ x2＋2x＝－ (x－2)2＋2，且0＜x＜4，
∴当x＝2时，PH值最大，最大值为2，
∴当PH值最大时，点P为(2，1)；
②如解图②，由①知，PH＝－ (x－2)2＋2，且0＜x＜4，
∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCA＝ PH＝－ (x－2)2＋ ，
∴当x＝2时，PD有最大值 ；
例1题解图②
(4)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【思维教练】因为BC长为定值，要使△BCF周长最小，即要使CF＋BF的值最小，由点A、B关于对称轴l对称，可知AC与对称轴l的交点即为点F，即可使CF＋BF最小．
存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF最小，如解图③所示．
在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝
＝ 为定值，∴当BF＋CF最小时，C△BCF最小．
∵点B与点A关于直线l对称，
∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F，
易得抛物线y＝－ x2＋ x－2的对称轴为直线x＝ ，将x＝ 代入y＝ x－2，得y＝ × －2＝－ ，
∴点F的坐标为( ，－ )．
在Rt△AOC中，由AO＝4，OC＝2，根据勾股定理得AC＝ ＝2 ，
∴△BCF周长的最小值为BC＋BF＋CF＝BC＋AC＝ ＋2 ＝3 .
例1题解图③
类型二 与面积有关的问题
例 2 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C.抛物线对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，连接BC.
(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；
例2题图①
【思维教练】
解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，
将A(－3，0)，B(0，3)代入，
得 解得
∴直线AB的解析式为y＝x＋3.
将A(－3，0)，B(0，3)代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c中，
得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)求△ABC的面积；
【思维教练】
∵B(0，3)，
∴OB＝3.
∵抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3，
∴抛物线对称轴为直线x＝－ ＝－1.
又∵A(－3，0)、C两点关于抛物线对称轴对称，
∴C(1，0)，
∴AC＝4，
∴S△ABC＝ ·AC·OB＝ ×4×3＝6；
(3)已知点G是直线AB上方抛物线上一动点，若S△ACG＝2，求点G的坐标；
例2题图②
【思维教练】观察图形可知△ACG的面积为 AC×|yG|，根据题意先假设抛物线上存在一点G，然后过点G作GG′⊥x轴于G′，设点G的横坐标为g，以AC为底，GG′为高即可得到S△ACG关于g的函数解析式，再令其函数值为2，求解即可．
(3)如解图①，过G作GG′⊥x轴于点G′，
设点G的坐标为(g，－g2－2g＋3)，
∵点G在x轴上方，
∴－g2－2g＋3＞0，且－3∴S△ACG＝ AC·GG′＝ ×4×(－g2－2g＋3)．
∵S△ACG＝2，
∴ ×4×(－g2－2g＋3)＝2，
解得g1＝－1＋ (不合题意，舍去)，g2＝－1－ .
∴G点坐标为(－1－ ，1)；
例2题解图①
(4) 在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM＝S△ABC？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2题图③
【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑M点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：①点M在直线AB的上方，可先设出M点的横坐标并用其表示△ABM的面积，再列方程求解；②点M在直线AB的下方，可通过平移直线AB，使其经过点C，利用“同底等高的三角形面积相等”来求解．
存在．(ⅰ)如解图②，当点M在直线AB的上方时，过M作MM′⊥x轴交直线AB于点N，交x轴于点M′，连接AM，BM，
设点M的坐标为(m，－m2－2m＋3)，则N(m，m＋3)，
∴MN＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m，
∴S△ABM＝S△AMN＋S△BMN
＝ MN·AO
＝ ×(－m2－3m)×3
＝－ m2－ m，
根据题意S△ABM＝S△ABC＝6，
则－ m2－ m＝6，即m2＋3m＋4＝0，
此时方程无解，则不存在这样的M；
例2题解图②
(ⅱ)如解图③，当点M在直线AB的下方时，
∵S△ABM＝S△ABC，
∴以AB作底，只要△ABM与△ABC的高相等即可．
故平移直线AB，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的交点即为M.
设平移后的直线CM的解析式为y＝x＋3＋b，
将点C(1，0)代入得b＝－4，
∴直线CM的解析式为y＝x－1，
与抛物线联立得
解得 (舍去)，
∴存在这样的点M，其坐标为(－4，－5)；
例2题解图③
(5)已知点P是直线AB上方抛物线上的一动点，设点P的横坐标为p，求四边形AOBP面积的最大值．
例2题图④
【思维教练】要求四边形AOBP面积的最大值，观察可得不易采用面积公式直接求解，则此时需想到用“分割法”，将其面积分割为△ABP与△AOB的面积之和，△AOB的面积为定值，所以只需求△ABP面积的最大值，即可求得四边形AOBP面积的最大
∵S四边形AOBP＝S△ABP＋S△AOB，
S△AOB＝ AO·OB＝ ×3×3＝ ，
∴要求四边形AOBP的面积最大值，只需求△ABP面积的最大值．
∵点P在抛物线上，
∴点P的坐标为(p，－p2－2p＋3)，且－3＜p＜0.
如解图④，过P作PP′∥y轴交直线AB于点P′，则P′(p，p＋3)，
例2题解图④
∴PP′＝－p2－2p＋3－(p＋3)＝－p2－3p，
∴S△ABP＝S△APP′＋S△BPP′＝ PP′·AO＝ ×3(－p2－3p)＝－ p2－ p＝－ (p＋ )2＋
∴当p＝－ 时，S△ABP有最大值，最大值为 ，
∴S四边形AOBP＝ ＋ ＝ ，
∴S四边形AOBP的最大值为 .
玩转贵阳10年中考真题
二次函数的综合应用（每年必考）
命题点
1
1. (2018贵阳15题4分)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为________．
第1题图
2. (2011贵阳21题10分)如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.
(1)求m的值；
(2)求点B的坐标；
(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
第2题图
解：(1)把A(3，0)代入y＝－x2＋2x＋m，得－9＋6＋m＝0，
∴m＝3；(3分)
(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0得－x2＋2x＋3＝0.
解得x1＝－1，x2＝3，
∴点B的坐标为(－1，0)；(6分)
(3)设点D的坐标为(x，y)，
∵x＞0，y＞0，要使S△ABD＝S△ABC，则点D的纵坐标与点C的纵坐标必相等．
∴y＝3，即－x2＋2x＋3＝3.(8分)
解得x1＝0，x2＝2，
∴点D的坐标为(2，3)．(10分)
3. (2016贵阳25题12分)如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
第3题图
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．
解：(1)∵直线y＝5x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A(－1，0)，C(0，5)．
∵抛物线y＝ax2＋4x＋c过点A(－1，0)，C(0，5)，
∴
解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(4分)
(2)∵抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，
∴解得－x2＋4x＋5＝0的两根为x1＝－1，x2＝5.
∵点B在x轴正半轴，∴B(5，0)．
设过B(5，0), C(0，5)的直线BC表达式为y＝kx＋b，则
解得k＝－1，b＝5，
∴直线BC表达式为y＝－x＋5.
∵DN⊥x轴，∴DN∥y轴．
∵点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，y1)，D(x，y2)，
∴N(x，－x＋5)，D(x，－x2＋4x＋5)．
∴DN＝－x2＋4x＋5＋x－5＝－x2＋5x＝－(x－ )2＋ .
当x＝ 时，DN有最大值 ；(8分)
(3)由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2，9)，点M的坐标为M(4，5)，
如解图，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为(－2，9)，
作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，
连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，
∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求，
设直线H1M1的函数表达式为y＝k1x＋b1，
直线H1M1过点M1(4，－5)，H1(－2，9)，
根据题意得
解得 ，∴y＝－ x＋ ，
∴点F，E的坐标分别为F( ，0)，E(0， )．(12分)
第3题解图
二次函数的实际应用（10年3考）
命题点
2
4. (2018贵阳22题10分)六盘水市梅花山国际滑雪场自建成以来，吸引了大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示，现测得一组数据，如下表所示．
滑行时间x/s
0
1
2
3
…
滑行距离y/m
0
4
12
24
…
(1)根据表中数据求出二次函数的表达式，现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840米，他需要多少时间才能到达终点？
(2)将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后所得函数的表达式．
(1)设二次函数表达式为：y＝ax2＋bx＋c，则 解得
∴二次函数的表达式为y＝2x2＋2x(x≥0)，(4分)
∴当y＝840时，即2x2＋2x＝840，
解得x＝20或x＝－21(舍去)，
∴他需要20s才能到达终点；(6分)
(2)补全图象如解图，
∵y＝2x2＋2x＝2(x＋ )2－ ，
∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数表达式为y＝2(x＋ ＋2)2－ －5＝2(x＋ )2－ .(10分)
第4题解图
5. (2010贵阳23题12分)某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x(元)满足一次函数，其图象如图所示．
(1)每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x(元)的函数表达式是___________________________；
(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的
销售价格x(元)之间的函数表达式；
(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？
第5题图
m＝－x＋100(0≤x≤100)
【解法提示】设一次函数的一般表达式为m＝kx＋b，将(0，100)、(100，0)代入得：
即m＝－x＋100(0≤x≤100)．
(2)每件商品的利润为(x－50)元，∴每天的销售利润为：
y＝(x－50)(－x＋100)，
∴函数表达式为y＝－x2＋150x－5000＝－(x－75)2＋625；(7分)
(3)∵对称轴为直线x＝75，且抛物线开口向下，
∴在50＜x≤75元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加．(12分)
6. (2011贵阳25题12分)用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①②③中的一种)．
设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行)
(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
第6题图
(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)由题意知：BC的长为 ＝(4－x)米．(1分)
依题意得x(4－x)＝3，即x2－4x＋3＝0.
解得x1＝1，x2＝3.(3分)
即当AB的长度为1米或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；(4分)
(2)由题意知，BC长为 ＝(4－ x)米，
∴S＝x(4－ x)＝－ x2＋4x＝－ (x－ )2＋3；(6分)
∵－ ＜0，
∴当x＝ 时，S有最大值3.(7分)
即当x为 米时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；(8分)
(3)由题意知，BC长为 米，
∴S＝x×( )＝－ x2＋ x＝－ (x－ )2＋ .(11分)
因此，当x为 米时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是 平方米．(12分)
(必考，1～2道，解答题必考1道)
类型一 与线段有关的问题
重难点突破
例 1 如图，抛物线y＝－ x2＋bx＋c与直线y＝ x－2交于点A、C.
(1)求抛物线的解析式；
例1题图①
【思维教练】
解：∵直线y＝ x－2经过点A、C，
∴点A(4，0)，点C(0，－2)．
将点A(4，0)，点C(0，－2)，代入抛物线y＝－ x2＋bx＋c中，
得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－ x2＋ x－2；
(2)设点E为x轴上一点，当AE＝CE时，求点E的坐标；
【思维教练】设出点E的坐标，表示出AE的长，CE的长可利用勾股定理表示，联立方程即可求出点E的坐标．
如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则AE＝4－e.
在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2＝OC2＋OE2＝(－2)2＋e2＝22＋e2，
∵AE＝CE，
∴(4－e)2＝22＋e2，解得e＝ ，则点E的坐标为( ，0)；
例1题解图①
(3)设点P为位于直线AC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线AC于点H，①求当PH值最大时，点P的坐标；②过点P作PD⊥AC，求PD的最大值；
例1题图②
【思维教练】①
②要求PD的最大值，不能直接用P，D坐标表示PD的长，可通过PH的长和锐角函数值来表示PD的长，通过二次函数的性质即可求得最值．
①设点P(x，－ x2＋ x－2)，则H(x， x－2)，
∴PH＝－ x2＋ x－2－ x＋2
＝－ x2＋2x＝－ (x－2)2＋2，且0＜x＜4，
∴当x＝2时，PH值最大，最大值为2，
∴当PH值最大时，点P为(2，1)；
②如解图②，由①知，PH＝－ (x－2)2＋2，且0＜x＜4，
∴PD＝PH·sin∠PHD＝PH·sin∠OCA＝ PH＝－ (x－2)2＋ ，
∴当x＝2时，PD有最大值 ；
例1题解图②
(4)在抛物线对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【思维教练】因为BC长为定值，要使△BCF周长最小，即要使CF＋BF的值最小，由点A、B关于对称轴l对称，可知AC与对称轴l的交点即为点F，即可使CF＋BF最小．
存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF最小，如解图③所示．
在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理得BC＝
＝ 为定值，∴当BF＋CF最小时，C△BCF最小．
∵点B与点A关于直线l对称，
∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F，
易得抛物线y＝－ x2＋ x－2的对称轴为直线x＝ ，将x＝ 代入y＝ x－2，得y＝ × －2＝－ ，
∴点F的坐标为( ，－ )．
在Rt△AOC中，由AO＝4，OC＝2，根据勾股定理得AC＝ ＝2 ，
∴△BCF周长的最小值为BC＋BF＋CF＝BC＋AC＝ ＋2 ＝3 .
例1题解图③
类型二 与面积有关的问题
例 2 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C.抛物线对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，连接BC.
(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；
例2题图①
【思维教练】
解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，
将A(－3，0)，B(0，3)代入，
得 解得
∴直线AB的解析式为y＝x＋3.
将A(－3，0)，B(0，3)代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c中，
得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3；
(2)求△ABC的面积；
【思维教练】
∵B(0，3)，
∴OB＝3.
∵抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3，
∴抛物线对称轴为直线x＝－ ＝－1.
又∵A(－3，0)、C两点关于抛物线对称轴对称，
∴C(1，0)，
∴AC＝4，
∴S△ABC＝ ·AC·OB＝ ×4×3＝6；
(3)已知点G是直线AB上方抛物线上一动点，若S△ACG＝2，求点G的坐标；
例2题图②
【思维教练】观察图形可知△ACG的面积为 AC×|yG|，根据题意先假设抛物线上存在一点G，然后过点G作GG′⊥x轴于G′，设点G的横坐标为g，以AC为底，GG′为高即可得到S△ACG关于g的函数解析式，再令其函数值为2，求解即可．
(3)如解图①，过G作GG′⊥x轴于点G′，
设点G的坐标为(g，－g2－2g＋3)，
∵点G在x轴上方，
∴－g2－2g＋3＞0，且－3
∵S△ACG＝2，
∴ ×4×(－g2－2g＋3)＝2，
解得g1＝－1＋ (不合题意，舍去)，g2＝－1－ .
∴G点坐标为(－1－ ，1)；
例2题解图①
(4) 在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM＝S△ABC？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2题图③
【思维教练】由于点M在抛物线上的位置不确定，需考虑M点的不同位置，结合图形分两种情况讨论：①点M在直线AB的上方，可先设出M点的横坐标并用其表示△ABM的面积，再列方程求解；②点M在直线AB的下方，可通过平移直线AB，使其经过点C，利用“同底等高的三角形面积相等”来求解．
存在．(ⅰ)如解图②，当点M在直线AB的上方时，过M作MM′⊥x轴交直线AB于点N，交x轴于点M′，连接AM，BM，
设点M的坐标为(m，－m2－2m＋3)，则N(m，m＋3)，
∴MN＝－m2－2m＋3－(m＋3)＝－m2－3m，
∴S△ABM＝S△AMN＋S△BMN
＝ MN·AO
＝ ×(－m2－3m)×3
＝－ m2－ m，
根据题意S△ABM＝S△ABC＝6，
则－ m2－ m＝6，即m2＋3m＋4＝0，
此时方程无解，则不存在这样的M；
例2题解图②
(ⅱ)如解图③，当点M在直线AB的下方时，
∵S△ABM＝S△ABC，
∴以AB作底，只要△ABM与△ABC的高相等即可．
故平移直线AB，使其过点C，此时平移后的直线与抛物线的交点即为M.
设平移后的直线CM的解析式为y＝x＋3＋b，
将点C(1，0)代入得b＝－4，
∴直线CM的解析式为y＝x－1，
与抛物线联立得
解得 (舍去)，
∴存在这样的点M，其坐标为(－4，－5)；
例2题解图③
(5)已知点P是直线AB上方抛物线上的一动点，设点P的横坐标为p，求四边形AOBP面积的最大值．
例2题图④
【思维教练】要求四边形AOBP面积的最大值，观察可得不易采用面积公式直接求解，则此时需想到用“分割法”，将其面积分割为△ABP与△AOB的面积之和，△AOB的面积为定值，所以只需求△ABP面积的最大值，即可求得四边形AOBP面积的最大
∵S四边形AOBP＝S△ABP＋S△AOB，
S△AOB＝ AO·OB＝ ×3×3＝ ，
∴要求四边形AOBP的面积最大值，只需求△ABP面积的最大值．
∵点P在抛物线上，
∴点P的坐标为(p，－p2－2p＋3)，且－3＜p＜0.
如解图④，过P作PP′∥y轴交直线AB于点P′，则P′(p，p＋3)，
例2题解图④
∴PP′＝－p2－2p＋3－(p＋3)＝－p2－3p，
∴S△ABP＝S△APP′＋S△BPP′＝ PP′·AO＝ ×3(－p2－3p)＝－ p2－ p＝－ (p＋ )2＋
∴当p＝－ 时，S△ABP有最大值，最大值为 ，
∴S四边形AOBP＝ ＋ ＝ ，
∴S四边形AOBP的最大值为 .
玩转贵阳10年中考真题
二次函数的综合应用（每年必考）
命题点
1
1. (2018贵阳15题4分)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为________．
第1题图
2. (2011贵阳21题10分)如图所示，二次函数y＝－x2＋2x＋m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C.
(1)求m的值；
(2)求点B的坐标；
(3)该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x＞0，y＞0)使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
第2题图
解：(1)把A(3，0)代入y＝－x2＋2x＋m，得－9＋6＋m＝0，
∴m＝3；(3分)
(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0得－x2＋2x＋3＝0.
解得x1＝－1，x2＝3，
∴点B的坐标为(－1，0)；(6分)
(3)设点D的坐标为(x，y)，
∵x＞0，y＞0，要使S△ABD＝S△ABC，则点D的纵坐标与点C的纵坐标必相等．
∴y＝3，即－x2＋2x＋3＝3.(8分)
解得x1＝0，x2＝2，
∴点D的坐标为(2，3)．(10分)
3. (2016贵阳25题12分)如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；
(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．
第3题图
温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|x1－x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ＝|y1－y2|求出．
解：(1)∵直线y＝5x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A(－1，0)，C(0，5)．
∵抛物线y＝ax2＋4x＋c过点A(－1，0)，C(0，5)，
∴
解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(4分)
(2)∵抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，
∴解得－x2＋4x＋5＝0的两根为x1＝－1，x2＝5.
∵点B在x轴正半轴，∴B(5，0)．
设过B(5，0), C(0，5)的直线BC表达式为y＝kx＋b，则
解得k＝－1，b＝5，
∴直线BC表达式为y＝－x＋5.
∵DN⊥x轴，∴DN∥y轴．
∵点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，y1)，D(x，y2)，
∴N(x，－x＋5)，D(x，－x2＋4x＋5)．
∴DN＝－x2＋4x＋5＋x－5＝－x2＋5x＝－(x－ )2＋ .
当x＝ 时，DN有最大值 ；(8分)
(3)由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2，9)，点M的坐标为M(4，5)，
如解图，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为(－2，9)，
作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，
连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，
∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求，
设直线H1M1的函数表达式为y＝k1x＋b1，
直线H1M1过点M1(4，－5)，H1(－2，9)，
根据题意得
解得 ，∴y＝－ x＋ ，
∴点F，E的坐标分别为F( ，0)，E(0， )．(12分)
第3题解图
二次函数的实际应用（10年3考）
命题点
2
4. (2018贵阳22题10分)六盘水市梅花山国际滑雪场自建成以来，吸引了大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y(单位：m)与滑行时间x(单位：s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示，现测得一组数据，如下表所示．
滑行时间x/s
0
1
2
3
…
滑行距离y/m
0
4
12
24
…
(1)根据表中数据求出二次函数的表达式，现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840米，他需要多少时间才能到达终点？
(2)将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后所得函数的表达式．
(1)设二次函数表达式为：y＝ax2＋bx＋c，则 解得
∴二次函数的表达式为y＝2x2＋2x(x≥0)，(4分)
∴当y＝840时，即2x2＋2x＝840，
解得x＝20或x＝－21(舍去)，
∴他需要20s才能到达终点；(6分)
(2)补全图象如解图，
∵y＝2x2＋2x＝2(x＋ )2－ ，
∴向左平移2个单位，再向下平移5个单位后函数表达式为y＝2(x＋ ＋2)2－ －5＝2(x＋ )2－ .(10分)
第4题解图
5. (2010贵阳23题12分)某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x(元)满足一次函数，其图象如图所示．
(1)每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x(元)的函数表达式是___________________________；
(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y(元)与每件的
销售价格x(元)之间的函数表达式；
(3)每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？
第5题图
m＝－x＋100(0≤x≤100)
【解法提示】设一次函数的一般表达式为m＝kx＋b，将(0，100)、(100，0)代入得：
即m＝－x＋100(0≤x≤100)．
(2)每件商品的利润为(x－50)元，∴每天的销售利润为：
y＝(x－50)(－x＋100)，
∴函数表达式为y＝－x2＋150x－5000＝－(x－75)2＋625；(7分)
(3)∵对称轴为直线x＝75，且抛物线开口向下，
∴在50＜x≤75元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加．(12分)
6. (2011贵阳25题12分)用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图①②③中的一种)．
设竖档AB＝x米，请根据以上图案回答下列问题：(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行)
(1)在图①中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？
第6题图
(2)在图②中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
(3)在图③中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？
解：(1)由题意知：BC的长为 ＝(4－x)米．(1分)
依题意得x(4－x)＝3，即x2－4x＋3＝0.
解得x1＝1，x2＝3.(3分)
即当AB的长度为1米或3米时，矩形框架ABCD的面积为3平方米；(4分)
(2)由题意知，BC长为 ＝(4－ x)米，
∴S＝x(4－ x)＝－ x2＋4x＝－ (x－ )2＋3；(6分)
∵－ ＜0，
∴当x＝ 时，S有最大值3.(7分)
即当x为 米时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是3平方米；(8分)
(3)由题意知，BC长为 米，
∴S＝x×( )＝－ x2＋ x＝－ (x－ )2＋ .(11分)
因此，当x为 米时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积是 平方米．(12分)