北师大版九年级下册 3.7切线长定理 (共19张PPT)

第三章 圆
第7节 切线长定理
学习目标
一、能过圆外一点画圆的切线，并判断是否为切线。
二、掌握切线长定理的内涵及运用来解决实际问题。
复习旧知
切线的判定方法：
1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
（2）到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线（d=r）（数量法）
（3 ）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（判定定理）
证明一条直线是圆的切线的常见的两种情况及方法：
1、“有交点、连半径，证垂直”
2、“无交点、作垂直，证半径”
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
探究
问题1：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？

问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的切线可以作几条？
如图3-28，PA,PB是○O的两条切线，A，B是切点
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
(2)在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由？
是轴对称图形，对称轴是直线OP
AP=BP
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.
思考：切线长和切线的区别和联系？
切线是一条直线
切线长是线段的长度
A
O
P
B
证明 ：PA=PB, ∠APO=∠BPO
证明：连结OA、OB
∵PA、PB是 ⊙O的两条切线
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又 ∵ OA=OB，OP=OP
∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP
∴ PA=PB, ∠APO=∠ BPO
已知：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点；
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角。
O
P
A
B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
几何表述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
例1、
已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
A
O
C
D
P
B
E
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得
PA 2 + OA 2 = OP 2
即：4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2
解得 x = 3 cm
∴ 半径 OA 的长为 3 cm.
1 下列说法正确的是(　　)
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
中考链接
【中考】如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝46°，则∠ACB的大小是(　　)
A．60°　
B．65°
C．67°　
D．70°
2
C
【中考】如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧AC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝84°，则∠ADC的度数是(　　)
A．22°
B．23°
C．24°
D．25°
3
C
如图，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是(　　)
A．PA＝PB
B．∠APO＝25°
C．∠OBP＝65°
D．∠AOP＝65°
4
C
如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点C是劣弧AB上一点，过点C的切线分别交PA，PB于点M，N，若⊙O 的半径为4，∠P＝60°，则△PMN的周长为(　　)
A．4
B．6
C． 4
D．8
5
D
如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于点D，BC与CD相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝ CD·OA；⑤∠DOC＝90°.其中正确的结论是(　　)
A．①②⑤
B．②③④
C．③④⑤
D．①④⑤
6
A
7.已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
·
P
A
B
O
C
D
（
（
（
（
。
P
B
A
O
反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。
（2）连结圆心和圆外一点
（3）连结两切点
（1）分别连结圆心和切点
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
A
O
P
B
几何表述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
几何表述
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
几何表述
切线长定理：