北师大版七年级数学下册 1.6.2完全平方公式的应用 （21ppt)

第 一章 整式的乘除
第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第2课时
学 习 目 标
1.进一步掌握完全平方公式；（重点）
2.灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)
提问：
（1） 什么是平方差公式？

（2） 什么是完全平方公式？

（3）语言叙述这两个公式？
复习导入
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
【基础梳理】
1.完全平方公式
(1)语言叙述:两数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,加上(或减去)这两个数的积的2倍.
(2)字母表示:
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.
口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，符号跟前一个样.
2.完全平方公式的结构特点
公式的左边是一个二项式的平方;公式的右边是一个三项式.
3.推广:公式中的字母a,b可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式.
复习导入
填空:
（1）( 2x + y)2 = 4x2 + ( _____ ) + y2；
（2）(x ? _____)2 = x2 – (_____) + 25y2；
（3）(___? b )2 = 9a2 ?(___ ) + (____)2.
4xy
5y
10xy
3a
b
6ab
思考：怎样计算1022,1972更简便呢？
(1) 1022；
解：原式= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 1972.
解：原式= (200 –3)2
= (100)2+2×100×2+22
= (200)2-2×200×3+32
= 40000-1200400+9
= 38809.
类型一：利用完全平方公式进行简便运算
例1
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
(1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152.
练一练1：
＝(2016－2015)2
＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1
＝－395.
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
＝1002－2×100×2＋22－(1002-1)
计算:(1) (x+3)2-x2 ;
例2
你能用几种方法进行计算?试一试。
解: (1) 方法一
完全平方公式 ?合并同类项
(x+3)2-x2
=x2＋6x+9-x2
=6x+9
方法二
平方差公式?单项式乘多项式.
(x+3)2-x2
=(x+3+x)(x+3-x)
=(2x+3)·3=6x+9
类型二：综合运用完全平方公式与平方差公式进行计算
(2)(a+b+3)(a+b-3);
(2)(a+b+3)(a+b-3)=[(a+b)+3][(a+b)-3]
=（a+b)2-32
=a2+2ab+b2-9
若不用一般的多项式乘以多项式 ,
怎样用公式来计算 ?
解:
温馨提示：将(a+b)看作一个整体，解题中渗透了整体的思想
(3)(x+5)2 –(x-2)(x-3)
解:
(3)(x+5)2-(x-2)(x-3)= x2+10x +25-(x2-5x+6)
= 15x+19
温馨提示：
1.注意运算的顺序。
2.(x?2)(x?3)展开后的结果要注意添括号。
(a+b+c) (a+b?c); (2) (a+b-c) (a-b?c);
(3) (a-b+c) (a-b?c); (4) (a-b-c) (-a+b?c);
?
?
?
?
练一练2：（注意比较异同）：
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。
来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……
(1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
a2
(2) 第二天有 b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
b2
(3) 第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(a+b)2
(4) 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？
第三天多;
多多少？
为什么？
∵(a+b)2=a2 + 2ab + b2
∴(a+b)2—（a2 + b2 ) = 2ab
2ab
已知x－y＝6，xy＝－8，求：
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16＝20.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
例3
类型三：完全平方公式的变形技巧
补充延伸：由(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
?
?
?
?
?
?
(1). 已知(a-b)2＝13，ab= 3，则a+b= .
（2). 已知(a+b)2＝5，(a-b)2＝6，则a2+b2= .
(a+b)2=(a-b)2+4ab=13+12=25，
a+b=±5.
±5
(a+b)2+(a-b)2=2a2 +2b2 =5+6=11，
?
?
?
练一练3：
4. 若a+b=5，ab=-6，求a2-ab+b2.
解：∵ (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 , a+b=5，ab=-6
∴a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37
解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①
∵x-y=4， ∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②
①-②，得
4xy=48
∴xy=12
∴a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43
练一练：
5. 已知x+y=8，x-y=4，求 xy和x2+y2的值.
①+②，得
2(x2+y2)=64+16=80
∴x2+y2=40
类型四：配方法
例5
1.已知x2 ? 4x+y2+6y+13=0，求x+y的值.
解：
原等式可化为：x2 ? 4x+4+y2+6y+9=(x-2)2+(y+3)2 =0
∵(x-2)2≥0,(y+3)2≥0,且(x-2)2+(y+3)2 =0
∴x-2=0，y+3=0
∴x=2，y=-3
∴x+y=-1
练一练6：
已知x2 +2x+y2 ? 6y+10=0，求x与y的值.
原等式可化为：x2+2x+1+y2-6y+9=(x+1)2+(y-3)2 =0
∵(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,且(x+1)2+(y-3)2 =0
∴x+1=0，y-3=0
∴x=-1，y=3
解：
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数；
常用
结论
2.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）.
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
作业：1、名校课堂P19-20
2、课本P27随堂练习和习题1.12
再见