北师大版七年级数学下册课件：1.5平方差公式(共17张PPT)

1.5 平方差公式
第一章 整式的乘除
多项式与多项式是如何相乘的？
（x ＋ 3)( x＋5）
= x2
＋5x
＋3x
＋15
= x2
＋8x
＋15.
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
新课导入
5米
5米
a米
(a-5)
(a+5)米
相等吗？
原来
现在
a2
(a+5)(a-5)
面积变了吗？
新课导入
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
( 1 ) (x＋1)(x－1)＝ ；
( 2 ) (m＋2)(m－2)＝ ；
( 3 ) (2x＋1)(2x－1)＝ ．
x2－1
m2－4
4x2－1
探究平方差公式
上面的几个运算都是形如a＋b的多项式与形如a－b的多项式相乘，由于
(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2
＝a2－b2
所以，对于具有此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即
(a＋b)(a－b) ＝ a2－b2
也就是说：
两个数的和与这两个数的差
的积等于这两个数的平方差．
这个公式叫做平方差公式．
平方差公式是多项式乘法(a＋b) (p＋q) 中p = a， q= b的特殊情形.
下列各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)(x＋3)(x－3)＝x2－3；(2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4.
行为提示：
相同的数相当于a，互为相反的数相当于b.要正确运用(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
解：这两题都不对
(1)原式＝x2－9； (2)原式＝4－9a2.
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
平方差公式：(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b
适当交换
合理加括号
平方差公式的几何意义
例 运用平方差公式计算：
(1) ( 3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) ( -x+2y )(－x －2y).
（2） ( -x+2y )(－x －2y)
＝x2 - 4y2.
典例解析
解：（1）(3x＋2)(3x－2)
=(3x)2－22
=9x2－4；
分析：在（1）中，可以把3x 看成a，2看成b，即
(3x＋2)(3x－2) =(3x)2－22
(a ＋ b)(a－b) ＝a2 － b2
＝ (-x)2 - (2y)2
平方差公式的结构特征
例 计算:
(y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) ;
(y+2)(y-2)- (y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
解:
典例解析
总结：
平方差公式的结构特征：
(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；
(2)公式右边是因式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．
计算：
( 1 ) (－2a－5)(2a－5)；　　　　　　
( 2 ) (a－3)(a＋3)－(2a＋1)(2a－1)．
练 习
解： ( 1 )原式＝25－4a2 ；
( 2 )原式＝－3a2－8 .
例 计算:102×98 .
102×98
= 1002-22
= 10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
= 9996
解:
典例解析
只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.
平方差公式的运用
计算:
练 习
(2)原式＝(2003－1)(2003＋1)－20032
＝20032－1－20032
＝－1.
(2) 2002×2004－20032.
解：
填一填：

a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
练 习
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
(a-b)(a+b)
1．填空：
( 1 ) (a＋5)(a－5)＝ ；
( 2 ) (2x＋3y)(2x－3y)＝ ；
( 3 ) (－3m－n)(3m－n)＝ ；
( 4 ) (－1＋2x)(－2x－1)＝ ．
a2－25
随堂练习
4x2－9y2
n2－9m2
1－4x2
2．计算：
(1)(a－3)(a2＋9)(a＋3)；
(2)59.82－60.22.
随堂练习
解：原式＝(a－3)(a＋3)(a2＋9)
＝(a2－9)(a2＋9)
＝a4－81；
解：原式＝(59.8＋60.2)(59.8－60.2)
＝120×(－0.4)
＝－48.
3．先化简，再求值：
(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
随堂练习
解：原式＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方的差
1.符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
课堂小结