北师大版数学八年级下册第四章 因式分解 复习课件(共19张PPT)

北师版 八年级下册
第四章 因式分解
因式分解的定义
把一个多项式化成_____________的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
几个整式的积
因式分解与整式乘法的关系
多项式
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法为互逆变形
因式分解的方法
1.提公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
提公因式法的依据：
____________________________.
am + bm + cm = m(a + b + c)
怎么确定公因式？
各项系数的最大公约数与各项相同字母（或因式）的最低次幂的积.
2.公式法
(1) 平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.
（2）完全平方公式：a2±2ab + b2 = (a±b)2.其中，a2±2ab + b2 叫做完全平方式.
思想方法归纳
1.整体思想
如果将两个多项式相乘展开后项数太多，而两个多项式中又有相同部分，我们可以考虑将这一部分当成一个整体.
因式分解: (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16.
解: (x - 2)(x - 4)(x - 6)(x - 8) + 16
= [(x - 2) (x - 8)][(x - 4)(x - 6)] + 16
= [(x2 -10x) + 16][(x2 - 10x) + 24] + 16
= (x2 - 10x)2 + 40(x2 - 10x) + 16×24 + 16
= (x2 - 10x)2 + 40(x2 - 10x) + 202
= (x2 - 10x + 20)2.
2.转化思想
某些多项式从表面上看是无法利用因式分解的一般步骤进行的，需要通过适当的转化，如经过添“-”号、去括号、合并同类项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行.
把多项式 6x(x - y)2 + 3(y - x)3 因式分解.
解：6x(x - y)2 + 3(y - x)3
= 6x(x - y)2 - 3(x - y)3
= 3(x - y)2[2x - (x - y)]
= 3(x - y)2(x + y).
3.换元思想
换元思想就是将较复杂的式子中的某些整体用新的字母代替，从而使计算简单化.
多项式 (x2 + y2) (x2 - 2xy + y2) + x2y2 因式分解.
解：设x2 + y2 = m，xy = n.
则(x2 + y2) (x2 - 2xy + y2) + x2y2
= m(m - 2n) + n2
= m2 - 2mn + n2
= (m-n)2 = (x2 + y2 - xy)2.
随堂练习
将下列多项式因式分解，结果中不含有因
式a + 1的是( ).
A. a2 - 1 B. a2 + a
C. a2 + a - 2 D. (a + 2)2 - 2(a + 2) + 1
C
2. 分解因式：x2(x - 2) - 16(x - 2)
= _________________.
(x - 2)(x - 4)(x + 4)
3. 已知a + b = 3，a – b = 5，则代数式a2 - b2的值是____.
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4. 先因式分解，然后计算求值.
（1）9x2 + 12xy + 4y2，其中x = , y = ;
解：9x2 + 12xy + 4y2 = (3x)2+12xy + (2y)2
= (3x + 2y)2,
原式= 9.
当x = ，y = 时，
（2） ，其中a = , b = 2;
解：原式 =
=
= ab.
当a= ，b = 2时，原式 = .
5. 利用因式分解计算.
（1）32014-32013；（2）(-2)101+(-2)100+299.
解（1）32014 - 32013 = 32013×(3 - 1) = 2×32013；
（2）(-2)101 + (-2)100+299 = -299(22-2-1)= -299.
6.如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径 d = 45 cm，外径 D =75 cm，长 l =300 cm.利用因式分解计算浇制一节这样的管道约需多少立方米的混凝土(π取3.14，结果精确到0.01 m3).
d
D
l
d
D
l
解：[π·( )2 - π·( )2]·l
= (D2 - d2) = (D + d)(D - d).
当d=45 cm，D=75 cm，l=300 cm时，
体积 = 847 800(cm3) ≈ 0.85(m3).