北师大版数学八年级下册课件：1.1.1 全等三角形和等腰三角形的性质(共27张PPT) (1)

1 等腰三角形
第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
北师版八年级数学下册
新课导入
我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等.
边角边（SAS）：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
角角边（ASA）：
想一想
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
新课探究
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180°（三角形内角和等于180°）.
∴∠C = 180°－（∠A +∠B），
∠F = 180°－（∠D +∠E），
∵∠A =∠D，∠B =∠E（已知） .
∴∠C =∠F（等量代换）.
∵BC = EF（已知）.
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）
根据全等三角形的定义，我们可以得到
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
议一议
（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
（2）请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.
A
B
C
顶角
底角
底角
腰
腰
底边
先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
A
B
C
（B）
定理 等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
练习
在△ABC 中，AB = AC.
（1）若∠A = 40°，则∠C 等于多少度？
（2）若∠B = 72°，则∠A 等于多少度？
A
B
C
（1）70°
（2）36°
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
取 BC 的中点 D，连接 AD.
在△ABD 和△ACD 中，
∵ AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）.
∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）.
证法一：
D
A
B
C
D
证法二：
作△ABC 顶角∠A 的角平分线 AD.
在△ABD 和△ACD 中，
∵ AB = AC，∠BAD =∠CAD，AD = AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）.
∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）.
证法三：
A
B
C
在△ABC 和△ACB 中，
∵ AB = AC，∠A = ∠A，AC = AB，
∴ △ABC ≌△ACB（SAS）.
∴ ∠B =∠C （全等三角形的对应角相等）.
想一想
A
B
C
D
在图中，线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.
可分解成下面三个方面来理解：
1. 等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。
∵AB ＝ AC，
∠1 ＝∠2（已知）
∴BD ＝ DC，
AD⊥BC（等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
2. 等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。
∵AB ＝ AC
BD ＝ DC （已知）
∴AD⊥BC
∠1 ＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
3. 等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。
∵AB＝AC
AD⊥BC （已知）
∴BD＝DC
∠1＝∠2 （等腰三角形三线合一）
A
B
C
D
1
2
随堂演练
1.（1）已知等腰三角形的一个角为 40°，则其它两个角分别为 。
（2）已知等腰三角形的一个外角为 70°，则这个三角形的三个内角分别为 。
70° 、70°或40°、100°
110° 、35° 、35°
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 BD = AD，DC = AC，求∠B 的度数.
A
B
C
D
解：∵AB = AC，
∴∠B =∠C（等边对等角）.
同理可得∠B =∠BAD，∠CDA =∠CAD.
设∠B = x，则∠C =∠BAD = x，
∴∠CAD =∠CDA = 2x.
在△ADC 中，∠C +∠CDA +∠CAD =180°，
即 x + 2x +2x = 180°，∴ x = 36°，即∠B =36°.
3. △ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，DF⊥AC 于 F，DE ⊥ AB 于 E .
求证：D E＝ DF。
A
B
C
D
E
F
证明：连接 AD，
∵AB＝ AC，BD＝ DC（已知）
∴AD 是∠BAC 的平分线.
（等腰三角形三线合一）
又∵DE⊥AB DF⊥AC，
∴DE＝ DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
A
B
C
D
E
F
4. 已知：如图，点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF.
求证：∠A =∠D.
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
C
F
证明： ∵BE＝ CF，
∴BE + CE＝ CF + EC，
∴BC = EF.
又∵AB = DE AC = DF，
∴△ABC ≌△DEF（SSS）.
∴∠A =∠D.
5. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 都在边 BC 上，且 AD = AE，那么 BD 与 CE 相等吗？请证明你的结论.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵AB = AC，
∴∠B =∠C（等边对等角）.
同理可得∠ADE =∠AED.
∴∠ADB =∠AEC.
∴△ABD ≌ △ACE（AAS）.
∴BD = CE.
课堂小结
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高线三条线重合；
等腰三角形的性质