北师大版数学八年级下册课件：1.1.4 等边三角形的判定(共23张PPT)

第4课时 等边三角形的判定
北师版八年级数学下册
新课导入
1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？
2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？
新课探究
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
A
B
C
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形
证明：∵∠B =∠A = 60° ，
∴AC = BC（等角对等边）.
∵∠B =∠C = 60°，
∴AC = AB ，
∴AC = AB = BC .
（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明： 若 AB ＝AC，∠A ＝60°，
则∠B = ∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB＝AC＝BC
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
A
B
C
证明： 若AB＝AC，∠B＝∠C = 60°，
则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB＝AC＝BC
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
A
B
C
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
练习
已知：如图，△ABC 是等边三角形，与 BC 平行的直线分别交 AB 和 AC 于点 D，E.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE =∠B = 60°，
∠AED = ∠C = 60°，
∴∠ADE =∠AED =∠A= 60°，
∴△ADE是等边三角形.
做一做
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗?
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°. 求证：BC = AB.
1
2
A
B
C
证明：延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵∠ACB = 90°∴∠ACD = 90°
∵AC = AC，∴△ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴AB = AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD 是等边三角形（有一个角是
60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC = BD = AB.
A
B
C
D
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2
例 4 求证：如果等腰三角形的底角为 15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 15°.CD 是腰 AB 上的高. 求证：CD = AB.
1
2
B
A
D
C
证明：在△ABC 中，
∵AB = AC，∠B = 15°，
∴∠ACB =∠B = 15°（等边对等角）.
∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15°+ 15°= 30°.
∵CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC = 90°.
∴CD = AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB.
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2
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随堂演练
1. 如图，折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，已知 BC = 12，∠B = 30°，∠C = 90°，则 DE 的长是________.
4
A
E
B
D
C
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠B = 60°，CD 是△ABC 的高，且 BD = 1，求 AD 的长.
B
C
D
A
B
C
D
A
解：在△BCD 中，∠BDC = 90°，
∴∠BCD = 30°，
∴ BC = 2BD = 2，
在△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴∠A = 30°，
∴AB = 2BC = 4，
∴AD = AB – BD = 4 – 1 = 3.
3. 房梁的一部分如图所示，其中，BC⊥AC，∠A = 30°，AB = 7.4 m，点 D 是 AB 的中点，且 DE⊥AC，垂足为 E，求 BC，DE 的长.
解：在△ABC 中，∠A = 30°，BC⊥AC，
∴BC = AB = 3.7 m.
又∵点 D 是 AB 的中点，
∴AD = BD = 3.7 m，
在△ADE 中，∠A = 30°，DE⊥AC，
∴DE = AD = 1.85 m.
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4. 如图，△ABC 是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3. 判断△DEF 的形状，并简要说明理由.
1
2
3
A
B
C
D
E
F
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3
A
B
C
D
E
F
∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C，
又∵∠1 =∠2 =∠3，
∴∠DAC =∠FCB =∠ABE.
∵ ∠DFE =∠DAC +∠3 ，
∠FED =∠2 +∠FCB，
∠EDF =∠1 +∠ABE，
∴∠DFE =∠FED =∠EDF，
∴△DEF 是等边三角形 .
解： △DEF 是等边三角形.
课堂小结
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.