北师大版数学八年级下册课件：1.2.1 勾股定理及其逆定理(共31张PPT)

2 直角三角形
第1课时 勾股定理及其逆定理
北师版八年级数学下册
新课导入
我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.
A
B
C
想一想
新课探究
（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
B
C
∵∠B = 90°，
∴∠A +∠C = 90°.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.
b
b
a
a
S = a2 + b2
a
c
b
a
c
b
小正方形的面积= （a – b）2
即 c2 = a2 + b2.
= c2 – 4× ab
勾股定理的证明：
D
E
F
G
H
I
A
B
C
a
b
c
如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BC = a，
AC = b，AB = c.
分别以 Rt△ABC 的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG. 连接 EB，CH.
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N.
D
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
∵EA = CA,
∠EAB =∠CAH，
AB = AH，
∴△EAB ≌△CAH（SAS）.
D
E
F
G
M
N
H
I
A
B
C
a
b
c
又∵S正方形 ACDE= 2S△EAB，
S长方形AHNM = 2S△CAH，
∴b2 = S长方形AHNM.
同理 a2 = S长方形MNIB.
∴ c2 = a2 + b2.
D
练习
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是 12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积.
解：根据图形正方形 E 的边长为:
故 E 的面积为：252 = 625.
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？
已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2.
求证：△ABC 是直角三角形.
A
B
C
证明：如图作 Rt△A'B'C'，
A'
B'
C'
使∠A' = 90°，A'B' = AB，A’C' = AC，
则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理）
∵AB2 + AC2 = BC2，
∴BC2 = B'C'2.
∴BC = B'C'.
∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
∴∠A =∠A' = 90°.
因此，△ABC 是直角三角形.
A
B
C
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.
（1）a = 2，b = 3，c = 4. （ ）
（2）a = 9，b = 7，c = 12. （ ）
（3）a = 25，b = 20，c = 15. （ ）
×
×
√
练习
议一议
观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗？
上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．
再观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
原命题是真命题，逆命题是假命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
随堂演练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
（1）已知 c = 25，b = 15，求 a；
（2）已知 a = ，∠A = 60°，求 b，c.
2. 已知直角三角形的两边长分别为 3，2，求另一条边长.
解：当斜边的长为 3 时，另一条边长
当两条直角边长分别为 3、2时，斜边长
3. 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
（1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补；
（3）如果 ab = 0，那么 a = 0，b = 0.
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0，
b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 为 BC 上的一点，且∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，AE = 2，DE = 3，求 AD 的长.
解：∵AB∥CD，
∴ ∠BAD +∠ADC = 180°，
又∵∠BAE = 25°，∠CDE = 65°，
∴∠EAD +∠ ADE = 90°，
根据勾股定理，
AD2 = AE2 + DE2 = 22 + 32 = 13,
∴ AD =
解：由题意得：(a + b)(a – b)(a2 + b2 – c2) = 0，∴ a – b = 0 或 a2 + b2 – c2 = 0.
5. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且满足
，试判断△ABC 的形状.
当 a = b 时，△ABC 为等腰三角形;
当 a ≠ b 时，△ABC 为直角三角形.
6. 一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB = 3，AD = 4，BC = 12，CD = 13.且∠DAB = 90°.你能求出这个零件的面积吗？
解：如图，连接 BD. 在Rt△ABD 中，
在△BCD 中，
BD2 + BC2 = 52 + 122 = 132 = CD2.
∴△BCD 为直角三角形，∠DBC = 90°.
课堂小结
定理 直角三角形的两个锐角互余.
定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互逆命题
互逆命题