北师大版数学八年级下册课件：1.2.2 直角三角形全等的判定(共25张PPT)

第2课时 直角三角形全等的判定
北师版八年级数学下册
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判定三角形全等的方法有：
SAS、ASA、AAS、SSS
新课探究
做一做
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段 a，c（a＜c），直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C =∠α，BC = a，AB = c.
a
b
（1）作∠MCN = ∠α = 90°.
M
C
N
（2）在射线 CM 上截取 CB = a.
M
C
N
B
（3）以点 B 为圆心，线段 c 的长为半径作弧，交射线 CN 于点 A.
M
C
N
B
A
（4）连接 AB，得到 Rt△ABC.
M
C
N
B
A
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.
已知：如图，在△ABC 与△A'B'C' 中，∠C = ∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C'.
求证：△ABC ≌ △A'B'C'.
证明：在△ABC 中，∵∠C = 90°，
∴BC2 = AB2 – AC2（勾股定理）.
同理，B'C'2 = A'B'2 – A'C'2.
∵AB = A'B'，AC = A'C'，
∴BC = B'C'.
∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS）.
A
C
B
A'
C'
B'
判断：
满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?
1. 一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.
全等
（AAS）
2. 一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.
全等
（ASA）
3. 两直角边对应相等的两个直角三角形.
全等
（SAS）
4. 有两边对应相等的两个直角三角形.
情况 1：全等
（SAS）
情况 2：全等
（HL）
例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠BAC =∠EDF = 90°，
BC = EF，AC = DF，
∴Rt△BAC ≌Rt△EDF（HL）.
∴∠B =∠DEF（全等三角形的对应角相等）.
∵∠DEF +∠F = 90°（直角三角形的两锐角互余）.
∴∠B +∠F = 90°.
练习
如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） （ ）；
（4） （ ）．
AD = BC
AC = BD
∠DAB = ∠CBA
∠DBA = ∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
随堂演练
1. 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，∠B′ =∠A，AB = B′A′，则下列结论正确的是（ ）
A. AC = A′C′ B. BC = B′C′
C. AC = B′C′ D.∠A′=∠A
C
2. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝ BC，AD 平分∠CAB，交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，且 AB ＝ 6 cm，则△DEB 的周长为_______cm.
A
C
B
D
E
6
3. 如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，CD，C'D' 分别是高，并且 AC = A'C'，CD = C'D'.
∠ACB = ∠A'C'B'. 求证：△ABC≌△A'B'C' .
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
证明：∵CD、C'D' 分别是△ABC 和△A'B'C' 的高
∴∠ADC =∠A'D'C' = 90°．
在 Rt△ADC 和 Rt△A'D'C' 中，
AC = A'C'，CD = C'D'，
∴Rt△ADC ≌Rt△A'D'C' (HL)．
∴∠A =∠A'(全等三角形的对应角相等)．
在△ABC 和△A'B'C' 中，
∠A =∠A' ，AC = A'C' ，∠ACB = ∠A'C'B' ，
∴△ABC ≌△A'B'C' (ASA)．
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
4. 如图，B、E、F、C 在同一直线上，AF⊥BC于 F，DE⊥BC 于 E，AB = DC，BE = CF，你认为AB 平行于 CD 吗？说说你的理由.
A
B
D
E
F
C
A
B
D
E
F
C
解：平行.
理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，
∴∠AFB 和∠DEC 都是直角，又 BE = CF，
∴BE + EF = CF + EF，即 BF = CE.
在Rt△ABF 和Rt△DCE 中，
AB = CD，BF = CE，
∴Rt△ABF ≌Rt△DCE（HL），
∴∠B =∠C，AB∥CD.
5. 如图，在△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC，EF 是过点 A 的直线，BE⊥EF 于 E，CF⊥EF 于 F，试探求线段 BE、CF、EF 之间的关系，并加以证明.
A
E
F
B
C
解：BE + CF = EF，证明如下：
∵BE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠BEA =∠AFC =90°.
又∠BAC = 90°，
∴∠EAB +∠CAF =180°– ∠BAC = 90°，
∴∠EAB =∠FCA，
在△ABE 和△CAF 中，
∠ BEA =∠AFC，
∠EAB = ∠FCA，
AB = CA，
∴△ABE ≌△CAF(AAS).
∴BE = AF，AE = CF，
∴BE + CF = AF + AE = EF.
A
E
F
B
C
课堂小结
N
M
C′
A′
B′
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.