北师大版数学八年级下册课件：1.3.1 线段垂直平分线的的性质与判定(共22张PPT)

3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的的性质与判定
北师版八年级数学下册
新课导入
作线段 AB 的中垂线 MN，垂足为 C；在 MN上任取一点 P，连结 PA、PB；
量一量 PA、PB 的长，你能发现什么？
A
B
M
N
C
P
新课探究
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
已知：如图，直线 MN⊥AB，垂足为 C，且 AC = BC，P 是 MN 上的任意一点.
求证：PA = PB.
A
B
C
M
N
P
A
B
C
M
N
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB = 90°.
∵ AC = BC，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）.
∴ PA = PB（全等三角形的对应边相等）.
判断：如图直线 MN 垂直平分线段 AB ，则 AE = AF.（ ）
练习
A
B
M
N
F
E
×
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
已知：线段 AB，点 P 是平面内一点且 PA = PB．求证：P 点在 AB 的垂直平分线上．
A
B
C
P
证明一：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC，
PA = PB， PC = PC，
∴Rt△PAC ≌Rt△PBC（HL）．
∴AC = BC，
即 P 点在 AB 的垂直平分线上．
A
B
C
P
证法二：取 AB 的中点 C，过 P，C 作直线.
∵AP = BP，PC = PC. AC = CB，
∴△APC ≌△BPC（SSS）.
∴∠PCA =∠PCB（全等三角形的对应角相等）.
又∵∠PCA +∠PCB = 180°，
∴∠PCA =∠PCB =∠90°，即 PC⊥AB.
∴ P 点在 AB 的垂直平分线上.
A
B
C
P
证法三：过 P 点作∠APB 的角平分线交 AB 于点 C.
∵AP = BP，∠APC =∠BPC，PC = PC，
∴△APC ≌△BPC（SAS）.
∴AC = BC，∠PCA =∠PCB
又∵∠PCA +∠PCB = 180°
∴∠PCA =∠PCB = 90°
∴ P 点在线段 AB 的垂直平分线上.
A
B
C
P
例 1 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段 BC.
A
B
C
O
A
B
C
O
证明：∵ AB = AC.
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
已知：如图，D 是 BC 延长线上的一点，BD = BC + AC.
求证：点 C 在 AD 的垂直平分线上.
练习
A
B
C
D
证明：因为点 D 在 BC 延长线上，
所以 BD = BC + CD，
又因为 BD = BC + AC，
∴ AC = DC，
所以点 C 在 AD 的垂直平分线上.
A
B
C
D
随堂演练
　　 1. 如图，在△ABC 中，BC = 8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，则△ADE 的周长等于______.
8
A
B
C
D
E
　 2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三边高线的交点
D.没有这样的点
B
3. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的度数为（ ）
A. 50° B. 40°
C. 40°或140° D. 40°或50°
C
4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、BC 的垂直平分线交于 P. 求证：点 P 在 AC的垂直平分线上.
B
A
C
M
N
M′
N′
P
B
A
C
M
N
M′
N′
P
证明：
∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线 MN 上，
∴PA = PB.
同理 PB = PC.
∴PA = PC.
∴点 P 在 AC 的垂直平分线上;
∴ AB、BC、AC 的垂直平分线相交于点 P.
　　 5. 如图，AD⊥ BC，BD = DC，点 C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
　解：∵　AD⊥ BC，BD = DC，
∴　AD 是 BC 的垂直平分线，
∴　AB = AC.
　∴　AB = AC = CE.
∵　AB = CE，BD = DC，
∴　AB + BD = CD + CE.
即　AB + BD = DE .
∵　点 C 在 AE 的垂直平
分线上，
∴　AC = CE.
A
B
C
D
E
课堂小结
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
互逆命题