北师大版数学八年级下册课件：1.3.2 三角形三边的垂直平分线(共21张PPT)

第2课时 三角形三边的垂直平分线
北师版八年级数学下册
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作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？
P
三条边的垂直平分线交于一点P
新课探究
例 2 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
P
A
B
C
已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线与边 BC 的垂直平分线相交于点 P.
求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P，且 PA = PC.
证明：∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ PA = PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.
同理，PB = PC.
∴PA = PB = PC.
∴ 点 P 在线段 AC 的垂直平
分线上（到一条线段两个端点的
距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即 边 AC 的垂直平分线经过点 P.
P
A
B
C
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
议一议
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
A1
D
C
B
A
a
h
( )
D
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
可以画出无数个三角形
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
可以画出无数个三角形
（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧.
例 3 已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h.
a
h
作法：
（1）作线段 BC = a.
（2）作线段 BC 的垂直平分线 l，交 BC 于点 D.
（3）在 l 上作线段 DA，使 DA = h.
（4）连接 AB，AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
B
C
D
A
做一做
已知直线 l 和 l 上一点 P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P.　
A
B
m
你明白这个作法吗？
A
B
P
m
l
P
l
如果点 P 是直线 l 外一点，那么怎样用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P 呢？说说你的作法，并与同伴交流.
A
B
m
P
l
议一议
随堂演练
1. 如图，在△ABC 中，已知 AC = 27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 50，求 BC 的长.
A
B
E
D
C
解：因为 DE 为 AB 的垂直平分线，
所以 AE = BE.
△BCE的周长为
d = EC + BE + BC
= EC + AE + BC
= AC + BC
= 27 + BC
= 50.
所以 BC = 23 .
A
B
E
D
C
2. 分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
在三角形内
在斜边中点
在三角形外
3. 如图，在△ABC 中，BC = 2，∠BAC ＞ 90°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 F ，请找出图中相等的线段，并求出△AEF 的周长.
A
B
C
E
F
A
B
C
E
F
解：AE = BE，AF = CF. （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
∴ AE + EF + AF
= BE + EF + CF
= BC
= 2
4. 如图，已知线段 a，求作以 a 为底边、以 a 为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？
1
2
A
B
P
a
a
1
2
这是个等腰直角三角形
5. 已知：△ABC 中，AB = AC，AD 是 BC边一上的中线，AB 的垂直平分线交 AD 于 O.
求证：OA = OB = OC.
A
B
C
D
O
证明：∵AB = AC，
AD 是 BC 的中线，
∴AD 垂直平分 BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.
又∵AB 的垂直平分线与交于点 O，
∴OB = OC = OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）.
A
B
C
D
O
课堂小结
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，作这个等腰三角形：