第2课时 平行四边形的对角线特征
北师版·八年级数学下册
复习回顾
1.平行四边形都有哪些性质?
2.选一选:
(1)平行四边形ABCD中,∠A比∠B大20°,
则∠C的度数为( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
(2)平行四边形ABCD的周长为40cm,△ABC的
周长为25cm, 则对角线AC长为( )
A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm
C
A
新课导入
如图,把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉,将一个平行四边形绕O旋转180°,你发现了什么?
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
看一看
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
推进新课
发现:平行四边形ABCD绕它的中心O旋转180°后能够与自身重合。
平行四边形的对角线互相平分.
●
你能证明它吗?
已知:如图, ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等),
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
思考:你还有其他方法吗?
平行四边形的性质:
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言:
∵四边形ABCD是平行四边形
OA=OC,
OB=OD
∴
A
B
C
D
O
例2 已知:如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.
求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分),
AD∥BC(平行四边形的定义).
∴∠ODE=∠OBF,
∵ ∠DOE=∠BOF.
∴△DOE≌△BOF.
∴OE=OF.
如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度.
做一做
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=6,OB=OD=3
(平行四边形的对角线互相平分),
∴AC=OA+OC=12,
∵ ∠ADB=90°.
∴△ADO为直角三角形.
∴AD= .
随堂练习
1.平行四边形两条对角线的长分别为10,16,则它的边长x的取值范围是_________.
2. ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=40,AB=13,则△OCD的周长为____.
3<x<13
33
3.已知,如图,在平行四边形ABCD中,平行于对角线AC的直线MN分别交DA,DC的延长线于M,N,交BA,BC于点P,Q,你能说明MQ=NP吗?
解:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC,AB//CD 即AM//CQ
又∵AC//MN 即AC//MQ
∴四边形MQCA是平行四边形
∴MQ=AC
同理 NP=AC
∴MQ=NP
4.在平行四边形ABCD中,∠A=150°,AB=8cm,
BC=10cm,求平行四边形ABCD的面积。
解:过A作AE⊥BC交BC于E,
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠BAD +∠B =180°
∵∠BAD = 150°
∴∠B = 30°
在Rt△ABE中,∠B =30°
∴AE = 1/2AB = 4 cm
∴平行四边形ABCD的面积=4×10=40cm2.
E
5.如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AC=6,BD=8,AB=5,
(1)求 ABCD的周长;
(2)求 ABCD的面积.
解:(1)由平行四边形的性质得:
OC=OA= AC=3,OB=OD= BD=4.
在△AOB中,OA2+OB2=32+42=52=AB2.
∴△AOB是直角三角形,∠AOB=90°.
∴AC⊥BD.
(2)由(1)知:AC⊥BD
∴
课堂小结
1.本节课你有哪些收获?
你能将平行四边形的性质进行归纳吗?
2.利用平行四边形可以解决哪些问题?
3.你能给自己和同伴本节课一个评价吗?
1.完成课本P139 习题6.2,
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业