高中数学人教A版必修四第二章2.4平面向量的数量积题型专题练（二）（Word含解析）

《平面向量数量积—数量积的应用》题型专题练
主要涉及平面向量数量积的应用
题型一：求模长
1．已知，为单位向量，且，的夹角为，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
2．若,，且与的夹角为，则_________；
3．已知，，，则__________.
4．若向量与相互垂直，同，，则_________．
5．若，满足，，，则________.
6．设为单位向量，且，则___________.
7．已知、满足：，，，则_________.
8．已知向量，若，则________.
9．已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；（2）求与的夹角.
10．如图在平行四边形中，，，，E为的中点，H为线段上靠近点E的四等分点，记，.
（1）用，表示，；（2）求线段的长.
题型二：求夹角
1．已知，，，则向量与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知，则与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若两个非零向量、满足，则向量与的夹角是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知单位向量满足.设，则向量的夹角的余弦值为_____________.
6．若向量，，，则，的夹角的度数为_________．
7．已知非零向量、满足，若，则、夹角的余弦值为_________．
8．已，，，则向量与的夹角为________．
9．已知，为单位向量，且，若，则___________.
10．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为___
11．已知，，且与夹角为，
求：（1）；（2）；（3）与的夹角.
12．设，，.
求：（1）；（2）；（3）与的夹角的余弦值.
题型三：求投影
1．若向量，满足，，则在方向上的投影为（
）．
A．1
B．
C．
D．
2．已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．1
4．已知
，为单位向量，且，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为______．
7．已知边长为的等边中，则向量在向量方向上的投影为______．
8．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影__
9．已知的夹角为，则在上的投影是__________
10．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.
《平面向量数量积—数量积的应用》题型专题练解析
主要涉及平面向量数量积的应用
题型一：求模长
1．已知，为单位向量，且，的夹角为，则（
）
A．1
B．
C．
D．2
【解析】.
故选：C.
2．若,，且与的夹角为，则_________；
【解析】因为,，且与的夹角为，
所以
3．已知，，，则__________.
【解析】，，，
可得，所以，，因此，.
4．若向量与相互垂直，同，，则_________．
【解析】向量与相互垂直，，
由得：，解得：，
，.
5．若，满足，，，则________.
【解析】
，，解得：.
6．设为单位向量，且，则___________.
【解析】∵为单位向量，
∴，∴．
∴．
7．已知、满足：，，，则_________.
【解析】，因为，，
所以，所以，可得
8．已知向量，若，则________.
【解析】，，又，即，
即，解得：.
9．已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；（2）求与的夹角.
【解析】（1），，
；
（2），
，且，
与的夹角为．
10．如图在平行四边形中，，，，E为的中点，H为线段上靠近点E的四等分点，记，.
（1）用，表示，；（2）求线段的长.
【解析】（1）由已知得，
，
所以，；
（2）由（1）得，
所以，
所以线段的长为.
题型二：求夹角
1．已知，，，则向量与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设向量与的夹角为，则
，∵，∴，故选：D.
2．已知，则与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】
，解得：，，.
故选：C
3．若两个非零向量、满足，则向量与的夹角是（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】在等式两边同时平方可得，，在等式两边同时平方可得，，
，
所以，，
，所以，.故选：D.
4．已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设向量与的夹角为，则：
∵，
∴，所以.故选：A
5．已知单位向量满足.设，则向量的夹角的余弦值为_____________.
【解析】，
，，
，
，
，
．
6．若向量，，，则，的夹角的度数为_________．
【解析】设向量，的夹角为（），
，∴，∴，∴，
又，，∴，∴，∴
7．已知非零向量、满足，若，则、夹角的余弦值为_________．
【解析】因为，所以，
所以，即，
所以
8．已，，，则向量与的夹角为________．
【解析】因为，所以，
由可得，所以，
所以，因为，所以
9．已知，为单位向量，且，若，则___________.
【解析】因为，所以，又因为，，
所以，又，所以，
所以
.
10．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为____.
【解析】由，得，展开化简得，
又，所以即
设向量与的夹角为，
则又，所以.
11．已知，，且与夹角为，
求：（1）；（2）；（3）与的夹角.
【解析】（1）
所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以，又，
所以，
所以与的夹角为.
12．设，，.
求：（1）；（2）；（3）与的夹角的余弦值.
【解析】（1）∵，∴，∴，，∴.
（2）.
（3）因为
所以.
题型三：求投影
1．若向量，满足，，则在方向上的投影为（
）．
A．1
B．
C．
D．
【解析】设，的夹角为，则
，则，即在方向上的投影为.故选：B.
2．已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】向量在向量方向上的投影为.故选：C.
3．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．1
【解析】因为，，，
所以在方向上的投影为．故选：B．
4．已知
，为单位向量，且，则在方向上的投影为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】由已知得，即，
解得，所以在方向上的投影为，故选：C.
5．已知平面非零向量满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设两向量夹角为，则有，
，
所以.故选:D.
6．已知向量，且，则向量在向量的方向上的投影为______．
【解析】因为，所以，又因为，
所以向量在向量的方向上的投影为
7．已知边长为的等边中，则向量在向量方向上的投影为______．
【解析】因为是等边三角形，所以向量与向量的夹角为，
因为边长为，所以向量在向量方向上的投影为
8．已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影______．
【解析】是单位向量，∴，∵，∴，
化简得，即，∴在方向上的投影是．
9．已知的夹角为，则在上的投影是__________
【解析】根据条件，在上的投影为：
，
.
10．设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.
【解析】，，，
，，
向量在向量上的投影的数量为.
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