人教版数学九年级上册 第23章 第2--3节 期末基础测试题 （Word版 含解析）

23.2中心对称
一．选择题
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知a＜1且a≠0，则点（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．8
5．下列关于等腰三角形的叙述错误的是（　　）
A．等腰三角形两底角相等
B．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合
C．等腰三角形的三边相等
D．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形
6．若点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，则a+b＝（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
7．如图，△ABC绕点O旋转180°得到△DEF，下列说法错误的是（　　）
A．点B和点E关于点O对称
B．CE＝BF
C．△ABC≌△DEF
D．△ABC与△DEF关于点B中心对称
8．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA＝4，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1，再将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（　　）
A． C．
10．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题
11．在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab＝　 　．
12．平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于原点对称，已知点A的坐标为（4，3），则其对应点A'的坐标为　 　．
13．将A（2，0）绕原点顺时针旋转30°，A旋转后的对应点是A1，再将A1绕原点顺时针旋转30°，A1旋转后的对应点是A2，再将A2绕原点顺时针旋转30°，A2旋转后的对应点是A3，再将A3绕原点顺时针旋转30°，A3旋转后的对应点是A4，…按此规律继续下去，A2020的坐标是　 　．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C逆时针旋转90°至线段CB，连接BO，则BO的最小值是　 　．
15．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），以O旋转中心，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…OPn（n为正整数），则点P2020的坐标是　 　．
三．解答题
16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下三种变换：
①f（m，n）＝（m，﹣n）； ②g（m，n）＝（﹣m，n）； ③h（m，n）＝（﹣m，﹣n）．
（1）请你根据以上规定的变换，求f[g（﹣3，2）]的值；
（2）请你以点（a，b）为例，探索以上三种变换之间的关系．
17．如图①，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为　 　．
18．如图，正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，若正方形ABCD的边长为1，设图形重合部分的面积为y，线段OB的长为x，求y与x之间的函数关系式．
19．在学习完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2时，小明学会了用图形面积来验证它的正确性，如图1，图中大正方形的面积可以表示为（x+y）2，也可以表示为x2+xy+xy+y2，即（x+y）2＝x2+xy+xy+y2，由此可以推出完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2．这种根据图形极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图2中的面积表达式验证完全平方公式（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；
（2）请你用图3（四个直角三角形全等）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证勾股定理a2+b2＝c2；
（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证勾股定理a2+b2＝c2．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
故选：D．
2．【解答】解：点（﹣a2，﹣a+1）关于原点的对称点为：（a2，a﹣1），
∵a＜1且a≠0，
∴a2＞0，a﹣1＜0，
∴（a2，a﹣1）在第四象限．
故选：D．
3．【解答】解：如图，
将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕O正方形的中心旋转180°后，这个图形能自身重合，是中心对称图形．
故选：B．
4．【解答】解：∵点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，
∴x﹣2+x+4＝0，
y﹣5＝﹣3，
解得：x＝﹣1，y＝2，
则yx＝2﹣1＝．
故选：B．
5．【解答】解：A、等腰三角形两底角相等，正确，不合题意；
B、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，正确，不合题意；
C、等腰三角形的三边相等，错误，符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，正确，不合题意；
故选：C．
6．【解答】解：∵点M（a，﹣2），N（3，b）关于原点对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴a+b＝﹣1，
故选：D．
7．【解答】解：A、点B和点E关于点O对称，说法正确；
B、CE＝BF，说法正确；
C、△ABC≌△DEF，说法正确；
D、△ABC与△DEF关于点B中心对称，说法错误；
故选：D．
8．【解答】解：如图所示：过点A′作A′C⊥OB．
∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°，
∴∠AOA′＝75°，OA′＝OA．
∴∠COA′＝45°．
∴OC＝4×＝2，CA′＝4×＝2．
∴A′的坐标为（2，﹣2）．
故选：C．
9．【解答】解：∵P（﹣5，4），点P（﹣5，4）向右平移9个单位得到点P1
∴P1（4，4），
∴将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（4，﹣4），
故选：A．
10．【解答】解：A、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B、新图形是中心对称图形，故此选项正确；
C、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
D、新图形不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，
∴a＝﹣6，b＝﹣2，
∴ab＝12，
故答案为：12．
12．【解答】解：∵平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'关于原点对称，点A的坐标为（4，3），
∴对应点A'的坐标为（﹣4，﹣3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）．
13．【解答】解：由题意：12次一个循环，
∵2020÷12＝168余数为4，
∴A2020的坐标与A4相同，
∵A4（﹣1，﹣），
∴A2019（﹣1，﹣），
故答案为（﹣1，﹣）．
14．【解答】解：设C（0，m），过点B作BH⊥y轴，垂足为点H，
∴∠BHC＝90°，
∴∠HCB+∠B＝90°，
∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，
∴∠BAC＝90°，CB＝CA，
∴∠HCB+∠ACO＝90°，
∴∠B＝∠ACO，
∵∠AOC＝90°，
∴△AOC≌△CHB（AAS），
∴HC＝OA，HB＝OC，
∵点C（0，m），点A（1，0），
∴点B的坐标为（m，m+1），
∴点B的运动轨迹是直线y＝x+1，
∵直线Y＝x+1交x轴于E（﹣1，0），交y轴于F（0，1），
∴OE＝OF＝1，EF＝，
过点O作OT⊥EF于T．则OT＝EF＝，
根据垂线段最短可知，当点B与点T重合时，OB的值最小，最小值为，
故答案为：．
15．【解答】解：∵OP0＝1，
∴P0的坐标为（1，0）．
∴OP1＝．
∴P1的坐标为（1，1）．
同理：OP2＝2，
P2的坐标为（0，2）．
OP3＝2，
P3的坐标为（﹣2，2）．
OP4＝4，
P4的坐标为（﹣4，0）．
OP5＝4，
点P5的坐标为（﹣4，﹣4），
而2020＝252×8+4，
所以点P2020的坐标在与点P4一样的x轴上，
而OP2020＝21010，
所以点P2020的坐标为（﹣21010，0）．
故答案为（﹣21010，0）．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）由题意得：f[g（﹣3，2）]＝f（3，2）＝（3，﹣2）；
（2）f[g（a，b）]＝f（﹣a，b）＝（﹣a，﹣b）＝h（a，b），
所以，fg＝h，
f[h（a，b）]＝f（﹣a，﹣b）＝（﹣a，b）＝g（a，b），
所以，fh＝g，
g[h（a，b）]＝g（﹣a，﹣b）＝（a，﹣b）＝f（a，b），
所以，gh＝f，
所以，fg＝h；fh＝g；gh＝f．
17．【解答】解：∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4＝12，
所以，图⑨的直角顶点在x轴上，横坐标为12×3＝36，
所以，图⑨的顶点坐标为（36，0），
又∵图⑩的直角顶点与图⑨的直角顶点重合，
∴图⑩的直角顶点的坐标为（36，0）．
故答案为：（36，0）．
18．【解答】解：如图，设AD与C′D′交于点F，CD与A′D交于点E，
∵正方形ABCD与正方形A′B′C′D′关于点O中心对称，
∴四边形DED′F是正方形，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴BD＝＝，
∵OB＝x，
∴OD＝BD﹣OB＝﹣x，
∴DE＝＝（﹣x）＝2﹣x，
∴y＝S正方形DED′F＝DE2＝（2﹣x）2．
∴y与x之间的函数关系式为：y＝（2﹣x）2．
19．【解答】解：（1）图中右上角正方形的面积为（x﹣y）2，
也可以表示为x2﹣xy﹣xy+y2，
即（x﹣y）2＝x2﹣xy﹣xy+y2，
由此可得（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2；
（2）如图所示，大正方形的面积为c2，
也可以表示为（b﹣a）2+4×ab＝a2﹣2ab+b2+2ab＝a2+b2，
所以，a2+b2＝c2；
（3）设计图形如图，梯形的面积为（a+b）（a+b）＝（a2+2ab+b2），
也可以表示为2×ab+c2，
所以，（a2+2ab+b2）＝2×ab+c2，
整理得，a2+b2＝c2．
23.3课时学习 图案设计
一．选择题
1．下图是正方体分割后的一部分，它的另一部分是（　　）
A． B． C． D．
2．下面的图形中必须由“基本图形”通过平移和旋转才能形成的图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．经过下列变换，不能由图①所示的基本图形得到图②的是（　　）
A．旋转和平移 B．中心对称和轴对称
C．平移和轴对称 D．中心对称
4．观察下列银行标志，不能由“基本图案”通过轴对称得到的图案有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，点A，B，C都在方格纸的格点上，请你再确定格点D，使点A，B，C，D组成一个轴对称图形，那么所有符合条件的点D的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．下列选项的图案中，只要用其中一部分平移一次就可以得到的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列图形中，哪一幅可以由第一幅图平移得到（　　）
A． B．
C． D．
8．图1中的图案可以由图2的图案通过翻折后得到的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列选项图案中，基本图形的运动不属于平移的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，8×8方格纸上的两条对称轴EF，MN相交于中心点O，对三角形ABC分别作下列变换：
①先以点A为中心顺时针方向旋转90°，再向右平移4格、向上平移4格．
②先以点O为中心作其中心对称图形，再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°．
③先以直线MN为轴作其轴对称图形，再向上平移4格，再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°．其中变换后的图形为三角形PQR的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题
11．认真观察下面4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：
请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1：　 　；
特征2：　 　．
12．如图，在4×4的正方形网格中，已有4个小方格涂成了灰色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成灰色，使整个灰色部分的图形构成轴对称图形，这样的白色小方格　 　个．
13．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　 　．（结果用m，n表示）
14．如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有种不同　 　的涂法．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　 　度．
三．解答题
16．请按以下要求用无刻度直尺作图：
（1）如图1，线段AB和线段A′B′关于点M成中心对称，画出点M；
（2）如图2，将△ABC绕点O逆时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（3）如图3，设∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转α得△A′B′C，画出△A′B′C．
17．在下面三个2×2的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复）．
18．画一画．
（1）画出线段AB绕点A顺时针旋转90°后的线段AC（图①）；
（2）画出线段AB绕点B逆时针旋转90°后的线段BD（图②）；
（3）画出三角形BAC绕点B逆时针旋转90°后的三角形BDE（图③）；
（4）画出三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的三角形ADF（图④）．
19．把△ABC向上平移6个单位再向左平移6个单位得△A2B2C2．

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：可得它的另一部分是有两个间隔的等高的长方体和两个空隙，故选B．
2．【解答】解：A、只要平移即可得到，故错误；
B、只能旋转就可得到，故错误；
C、只有两个基本图形旋转得到，故错误；
D、既要平移，又要旋转后才能得到，故正确．
故选：D．
3．【解答】解：因为经过旋转和平移能由图①所示的基本图形得到图②，所以A选项不符合题意；
因为经过中心对称和轴对称能由图①所示的基本图形得到图②，所以B选项不符合题意；
因为经过平移和轴对称能由图①所示的基本图形得到图②，所以C选项不符合题意；
因为经过中心对称不能由图①所示的基本图形得到图②，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．【解答】解：第一个图形无法通过轴对称得到，故此选项符合题意；
第二个图形，可以通过轴对称得到，故此选项不符合题意；
第三个图形，可以通过轴对称得到，故此选项不符合题意；
第四个图形，可以通过轴对称得到，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．【解答】解：如图所示：共3个点，
故选：A．
6．【解答】解：A、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项错误；
B、可以由左边的图形向右平移3个单位得到，故此选项正确；
C、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项错误；
D、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项错误；
故选：B．
7．【解答】解：由基本图案按照一定的方向平移一定的距离，
可以由第一幅图平移得到的是图案C．
故选：C．
8．【解答】解：观察图案可知：
具有轴对称性质的图案只有2个，
第二个需要图2上下翻折可得，
第1个需要左右翻折可得．
故选：C．
9．【解答】解：A、利用图形平移而成，不符合题意；
B、利用图形平移而成，不符合题意；
C、利用图形平移而成，不符合题意；
D、利用图形旋转而成，符合题意；
故选：D．
10．【解答】解：①通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，
②通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，
③通过认真的画图可知，此方法可以将△ABC变换成△PQR，故此方法正确，
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形．
故答案为：都是轴对称图形；都是中心对称图形．
12．【解答】解：如图所示：当将1，2，3处涂灰色可以使整个灰色部分的图形构成轴对称图形，故共3个．
故答案为：3．
13．【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，
∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，
故答案为：m+2019n．
14．【解答】解：如图所示：当将1，2，3涂成黑色可以构成一个轴对称图形，
故有种不同3的涂法．
故答案为：3．
15．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOC，△BOD都是等边三角形且全等，
∴△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y轴，△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是120度．
故答案为：2，y轴，120．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）如图1所示，点M即为所求．
（2）如图2所示，△A1B1C1即为所求；
（3）如图3所示，△A′B′C即为所求．
17．【解答】解：如图，三角形即为所求作．
18．【解答】解：（1）如图①所示，AC即为所求，
（2）如图②所示，BD即为所求，
（3）如图③所示，三角形BDE即为所求，
（4）如图④所示，三角形ADF即为所求．
19．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
A1 （﹣1，4）；B1（﹣5，4）；C1（﹣4，1）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．