江苏省常州市四校2021届高三上学期期末联考数学试题 Word版解析

江苏省常州市四校联考2021届高三上学期期末测试
数学试题
2021．01
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝false，则AfalseB＝
A．false B．{1，2} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，1，2}
2．当复数false时，实数a的值可以为
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
3．2020年12月30日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero 细胞）注册申请．该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病（COVID—19）．2021年1月3日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第200场例行新闻发布会，表示不在18—59岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据．近日专家对该年龄内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下2×2列联表：
能接种
不能接种
总计
18—59岁内
40
20
60
18—59岁外
20
30
50
总计
60
50
110
附：false，其中false；
false
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
4．函数false的图象大致为

A B C D
5．设随机变量false(false，1)，函数false没有零点的概率是0.5，则P(0＜false≤1)＝
附：若false(false，false)，则P(false＜X≤false)≈0.6826，P(false＜X≤false)≈0.9544．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
6．在探索系数A，false，false，b对函数false(A＞0，false＞0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数false对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数false对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数false的图象经过四步变换得到函数false的图象，且已知其中有一步是向右平移false个单位，则变换的方法共有
A．6种 B．12种 C．16种 D．24种
7．俄国著名飞机设计师埃格?西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的．1992年，为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是
A．(false，1) B．(false，1) C．(0，false) D．(0，false)
8．已知数列false满足false(false)，设false，且false，则数列false的首项false的值为
A．false B．1 C．false D．2
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1~13分别对应2019年12月~2020年12月）
根据散点图选择false和false两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为false和false，并得到以下一些统计量的值：
false
false
R2
0.923
0.973
注：false是样本数据中x的平均数，false是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是
A．当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系
B．由false预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米
C．曲线false与false都经过点(false，false)
D．模型false回归曲线的拟合效果比模型false的好
10．若false，且false，则下列结论正确的是
A．n＝6
B．false展开式中二项式系数和为729
C．false展开式中所有项系数和为126
D．false
11．已知抛物线C：false的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，且A(false，false)，false.下列结论正确的是
A．p＝4 B．false
C．BF＝3 D．△AOB的面积为false
12．若函数false是连续的平滑曲线，且在[a，b]上恒非负，则其图象与直线x＝a，x＝b，x轴围成的封闭图形面积称为false在[a，b]上的“围面积”．根据牛顿—莱布尼兹公式，计算围面积时，若存在函数false满足false，则false的值为false在[a，b]上的围面积．下列围面积计算正确的有
A．函数false在[0，1]上的围面积为false
B．函数false在[0，2]上的围面积为false
C．函数false在[0，false]上的围面积为false
D．函数false在[e，e2]上的围面积为e2
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．在四边形ABCD中，AB＝8，若false，则false＝ ．
14．在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C：false(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若双曲线的右支上存在一点P，使得△OPF是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 ．
15．在△ABC中，已知AC＝1，∠A的平分线交BC于D，且AD＝1，BD＝false，则△ABC的面积为 ．
16．矩形ABCD中，AB＝false，BC＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D—ABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角D—AC—B的平面角为false，当false在[false，false]内变化时，false的范围为 ．（第一空2 分，第二空3分）
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．在①false；②false；③false这三个条件中任选一个，作出解答．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC的面积的取值范围．
18．（本小题满分12分）
某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x（单位：万元/吨）对月销售量y（单位：吨）有影响．对不同定价false和月销售量false数据作了初步处理：
false
false
false
false
false
false
false
0.24
43
9
0.164
820
68
3956
表中false．经过分析发现可以用false来拟合y与x的关系．
（1）求false关于x的回归方程；
（2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润．
附：对于一组数据(false，false)，(false，false)，…，(false，false)，其回归直线false的斜率和截距的最小二乘估计分别为：false，false．
19．（本小题满分12分）
已知等差数列false和等比数列false满足false，false，false，false．
（1）求false和false的通项公式；
（2）将false和false中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列false，求数列false的前100项和false．
20．（本小题满分12分）
在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足false．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A—BE—D的余弦值．
21．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）当函数false在false处的切线斜率为﹣2时，求false的单调减区间；
（2）当x＞1时，false，求a的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：false的离心率为false，且过点A(2，3)，右顶点为B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A作两条直线分别交椭圆于点M，N，满足直线AM，AN的斜率之和为﹣3，求点B到直线MN距离的最大值．
江苏省常州市四校联考2021届高三上学期期末测试
数学试题
2021．01
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝false，则AfalseB＝
A．false B．{1，2} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，1，2}
答案：D
解析：因为B＝false＝{﹣5，5，﹣2，2，﹣1，1}，
A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
所以AfalseB＝{﹣2，﹣1，1，2}，选D．
2．当复数false时，实数a的值可以为
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
答案：C
解析：false，选C．
3．2020年12月30日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero 细胞）注册申请．该疫苗是首家获批的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病（COVID—19）．2021年1月3日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第200场例行新闻发布会，表示不在18—59岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数据．近日专家对该年龄内和该年龄段外的110人进行了临床试验，得到如下2×2列联表：
能接种
不能接种
总计
18—59岁内
40
20
60
18—59岁外
20
30
50
总计
60
50
110
附：false，其中false；
false
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是 A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关”
C．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关”
D．有99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关”
答案：D
解析：本题通过计算后求得K2≈7.8＞6.635，可判断D符合题意．
4．函数false的图象大致为

A B C D
答案：A
解析：首先注意到原函数是奇函数，排除B、D，其次当x＞0时，可判断出false＞0，故选A．
5．设随机变量false(false，1)，函数false没有零点的概率是0.5，则P(0＜false≤1)＝
附：若false(false，false)，则P(false＜X≤false)≈0.6826，P(false＜X≤false)≈0.9544．
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
答案：B
解析：P(0＜false≤1)＝false，选B．
6．在探索系数A，false，false，b对函数false(A＞0，false＞0)图象的影响时，我们发现，系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数false对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数false对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数false的图象经过四步变换得到函数false的图象，且已知其中有一步是向右平移false个单位，则变换的方法共有
A．6种 B．12种 C．16种 D．24种
答案：B
解析：四种变换中，相位变换在周期变换的前面，所以满足条件的变换方法有false种．
7．俄国著名飞机设计师埃格?西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的．1992年，为了远程性和安全性上与美国波音747竞争，欧洲空中客车公司设计并制造了A340，是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机，取代只有两台发动机的A310．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为1﹣p，且各引擎是否有故障是独立的，已知A340飞机至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310飞机需要2个引擎全部正常运行，飞机才能成功飞行．若要使A340飞机比A310飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是
A．(false，1) B．(false，1) C．(0，false) D．(0，false)
答案：C
解析：false，选C．
8．已知数列false满足false(false)，设false，且false，则数列false的首项false的值为
A．false B．1 C．false D．2
答案：C
解析：false，
false，
代入false，false，求得false，选C．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行．下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图．（图中月份代码1~13分别对应2019年12月~2020年12月）
根据散点图选择false和false两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程分别为false和false，并得到以下一些统计量的值：
false
false
R2
0.923
0.973
注：false是样本数据中x的平均数，false是样本数据中y的平均数，则下列说法正确的是
A．当月在售二手房均价y与月份代码x呈负相关关系
B．由false预测2021年3月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米
C．曲线false与false都经过点(false，false)
D．模型false回归曲线的拟合效果比模型false的好
答案：BD
解析：y随x的增加而增加，显然A错误；
2021年3月，此时x＝16，代入false，求得1.0509，故B正确；
曲线false经过点(false，false)，曲线false经过点(false，false)，故C错误；
因为0.973＞0.923，所以模型false回归曲线的拟合效果比模型false的好，故D正确．
故选BD．
10．若false，且false，则下列结论正确的是
A．n＝6
B．false展开式中二项式系数和为729
C．false展开式中所有项系数和为126
D．false
答案：ACD
解析：false，A正确；
false展开式中二项式系数和为64，故B错误；
false展开式中所有项系数和＝false，故C正确；
因为false，所以1＋false＋…＋false，
从而false，故D正确．
故选ACD．
11．已知抛物线C：false的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，且A(false，a)，false.下列结论正确的是
A．p＝4 B．false
C．BF＝3 D．△AOB的面积为false
答案：BCD
解析：false，故A错误；
点A(false，a)在抛物线false上，故求得false，B正确；
false可知点B的横坐标为2，所以BF＝2﹣(﹣1)＝3，故C正确；
false，故D正确．
故选BCD．
12．若函数false是连续的平滑曲线，且在[a，b]上恒非负，则其图象与直线x＝a，x＝b，x轴围成的封闭图形面积称为false在[a，b]上的“围面积”．根据牛顿—莱布尼兹公式，计算围面积时，若存在函数false满足false，则false的值为false在[a，b]上的围面积．下列围面积计算正确的有
A．函数false在[0，1]上的围面积为false
B．函数false在[0，2]上的围面积为false
C．函数false在[0，false]上的围面积为false
D．函数false在[e，e2]上的围面积为e2
答案：ACD
解析：选项A的false，围面积＝false，故A正确；
选项B的false，围面积＝false，故B错误；
选项C的false，围面积＝false，故C正确；
选项D的false，围面积＝false，故D正确．
故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．在四边形ABCD中，AB＝8，若false，则false＝ ．
答案：﹣16
解析：根据题意可知四边形ABCD是梯形，且false，所以false．
14．在平面直角坐标系xOy中，设双曲线C：false(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若双曲线的右支上存在一点P，使得△OPF是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为 ．
答案：false
解析：根据题意可知点(false，false)在双曲线C上，则false，将false代入并化简得：false．
15．在△ABC中，已知AC＝1，∠A的平分线交BC于D，且AD＝1，BD＝false，则△ABC的面积为 ．
答案：false
解析：设∠BAD＝∠CAD＝false，则∠ADB＝false，
根据S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，得false，
化简得false，
又false，
得false，false，false，
所以false．
16．矩形ABCD中，AB＝false，BC＝1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到四面体D—ABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角D—AC—B的平面角为false，当false在[false，false]内变化时，false的范围为 ．（第一空2 分，第二空3分）
答案：false，[false，false]
解析：设AC中点为O，则O为四面体外接球球心，半径OA＝1，故V球＝false；
取CO中点E，取CD三等分点F，且F靠近点C，连BE、EF、BF，
此时∠BEF＝false，余弦定理求得BF2＝false，
△CBF中，用余弦定理求得cos∠BCF＝false，
△BCD中，余弦定理求得BD2＝4﹣false，根据false[false，false]，
即可确定false≤BD≤false．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．在①false；②false；③false这三个条件中任选一个，作出解答．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC的面积的取值范围．
解：（1）选①
由正弦定理得：false
false
false
false
false
选②
false
false
false
false
false
选③
false
false
false
false
false
（2）由正弦定理得：false
false
false
false
false锐角三角形false
false
false
false
18．（本小题满分12分）
某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x（单位：万元/吨）对月销售量y（单位：吨）有影响．对不同定价false和月销售量false数据作了初步处理：
false
false
false
false
false
false
false
0.24
43
9
0.164
820
68
3956
表中false．经过分析发现可以用false来拟合y与x的关系．
（1）求false关于x的回归方程；
（2）若生产1吨产品的成本为1.6万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润取最大值，求此时的月利润．
附：对于一组数据(false，false)，(false，false)，…，(false，false)，其回归直线false的斜率和截距的最小二乘估计分别为：false，false．
解：（1）令false，则false
则false
false
false
（2）月利润false
false
（当且仅当false即false时取等号）
答：（1）false关于false的回归方程为false；
（2）预计价格定位false万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为false万元
19．（本小题满分12分）
已知等差数列false和等比数列false满足false，false，false，false．
（1）求false和false的通项公式；
（2）将false和false中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列false，求数列false的前100项和false．
解：（1）由false
false
false
（2）当false的前false项中含有false的前false项时，令false
此时至多有false项（不符）
当false的前false项中含有false的前false项时，令false
则false的前false项中含有false的前false项且含有false的前false项
false
20．（本小题满分12分）
在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD＝1，AE＝AC＝2，F为DE的中点，且点E满足false．
（1）证明：GF∥平面ABC；
（2）当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A—BE—D的余弦值．
解：（1）分别取false中点false，连结false.
在梯形false中，false且false，且false分别为false中点
false
false
false四边形false是平行四边形
false
又false，false为false中点，false为false中点，又false为false中点
false
false
又false平面false，false平面false
false平面false
37909502800350（2）在平面false内，过false作false交false于false.
false平面false平面false，平面false平面false，
false平面false，false，
falsefalse平面false
false即为四棱锥false的高，又底面false面积确定，所以要使多面体false体积最大，即false最大，此时false
过点false作false，易知false两两垂直，
以false为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系false
则false
false
设false为平面false的一个法向量，则
false，所以false，取false
设false为平面false的一个法向量，则
false，所以false，取false
所以false，
由图，二面角false为钝二面角，所以二面角false的余弦值为false
21．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）当函数false在false处的切线斜率为﹣2时，求false的单调减区间；
（2）当x＞1时，false，求a的取值范围．
解：（1）false定义域为false．
因为false．
所以false在false处的切线斜率为false．
所以false．
所以false，false．
令false，则false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
↘
↘
极小值false
↗
由表可知：false的单调减区间为false和false．
（2）由题false对任意false恒成立
所以false对任意false恒成立
方法一：所以false对任意false恒成立
所以false对任意false恒成立
令false 则false对任意false恒成立
因为false
所以false在false上单调增
所以false对任意false恒成立
所以false
令false
因为false
所以false在false上单调减
所以false
所以false即false
方法二：设false，
则false，
所以false在false单调递增，又false
若false，则false，所以false恒成立，所以false在false单调递增，
又false，所以false恒成立，符合题意.
若false，则false，不符合题意，舍去.
综上所述，false.
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：false的离心率为false，且过点A(2，3)，右顶点为B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A作两条直线分别交椭圆于点M，N，满足直线AM，AN的斜率之和为﹣3，求点B到直线MN距离的最大值．
解：（1）由题false
所以false的标准方程为false
（2）若直线false斜率不存在，设false，则
false，此时false重合，舍去.
若直线false斜率存在，设false，
联立false得false，
所以false
由题false，即false
化简得false
因此false
化简得false
即false
若false，则false，直线false过点false，舍去，
所以false，即false，因此直线false过点false.
又点false，所以点false到直线false距离最大值即false,
此时false，符合题意.
所以点false到直线false距离最大值为false