高考二轮复习之角与弧度制、三角函数的概念（Word解析版）

角度制与弧度制、三角函数的概念
一、知识梳理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝
rad；1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
结论：
1.若α∈，则tan
α>α>sin
α.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π
rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
3.象限角的集合
4.轴线角的集合
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.(　　)
(2)锐角是第一象限角，反之亦然.(　　)
(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　)
(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(　　)
解析　(1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
(3)顺时针旋转得到的角是负角.
(4)终边相同的角不一定相等.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.已知角α的终边过点P(8m，3)，且cos
α＝－，则m的值为(　　)
A.－
B.
C.－
D.
解析　由题意得m<0且＝－，解得m＝－.
答案　A
3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
解析　所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).
解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.
答案　{－675°，－315°}
4.(2019·衡水模拟)若sin
θ·cos
θ<0，>0，则角θ是(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析　由>0，得>0，故cos
θ>0.又sin
θ·cos
θ<0，所以sin
θ<0，所以θ为第四象限角.
答案　D
5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.
解析　设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，所以α＝.
答案　
6.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos
α<0，则tan
α＝________.
解析　如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan
α＝＝＝－1.
答案　－1
考点一　角的概念及其集合表示
【例1】
(1)若角α是第二象限角，则是(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或第三象限角
D.第二或第四象限角
(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.
解析　(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角.
(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.
答案　(1)C　(2)
【训练1】
(1)设集合M＝，
N＝，那么(　　)
A.M＝N
B.M?N
C.N?M
D.M∩N＝?
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.
解析　(1)由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M?N.
(2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，
所以，所求角的集合为.
答案　(1)B　(2)
考点二　弧度制及其应用
【例2】
(经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10
cm，求扇形的面积.
解　由已知得α＝，R＝10，
∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2).
【迁移探究1】
若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解　l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝·l·R－·R2·sin
＝··10－·102·
＝(cm2).
【迁移探究2】
若例题条件改为：“若扇形周长为20
cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解　由已知得，l＋2R＝20，即l＝20－2R(0所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5
cm时，S取得最大值25
cm2，此时l＝10
cm，α＝2
rad.
【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)
A.6平方米
B.9平方米
C.12平方米
D.15平方米
解析　法一　如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，于是矢＝4－2＝2.
由AD＝AO·sin
＝4×＝2，得弦AB＝2AD＝4.
所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米).
法二　由已知，可得扇形的面积S1＝r2θ＝×42×＝，△AOB的面积S2＝×OA×OB×sin
∠AOB＝×4×4×sin
＝4.
故弧田的面积S＝S1－S2＝－4≈9(平方米).
答案　B
考点三　三角函数的概念
【例3】
(1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
(2)若sin
αtan
α<0，且<0，则角α是(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析　(1)易知sin
＝，cos
＝，则P.
由三角函数的定义可得sin
α＝＝，
则sin(π＋α)＝－sin
α＝－.
(2)由sin
αtan
α<0可知sin
α，tan
α异号，则α为第二或第三象限角；由<0可知cos
α，tan
α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.
答案　(1)B　(2)C
【训练3】
(1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，若点A，B的坐标分别为和，则cos(α＋β)的值为(　　)
A.－
B.－
C.0
D.
(2)满足cos
α≤－的角α的集合为________.
解析　(1)由三角函数的定义可得cos
α＝，sin
α＝，cos
β＝－，sin
β＝.
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝－.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，
故满足条件的角α的集合为
.
答案　(1)A　(2)
三、课后练习
1.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析　－是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
答案　C
2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A.2kπ＋45°(k∈Z)
B.k·360°＋π(k∈Z)
C.k·360°－315°(k∈Z)
D.kπ＋(k∈Z)
解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确.
答案　C
3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为(　　)
A.27
B.
C.9
D.
解析　∵tan
＝＝m－＝，∴m－1＝33＝27，
∴m＝，故选B.
4.已知点M在角θ终边的反向延长线上，且|OM|＝2，则点M的坐标为(　　)
A.(2cos
θ，2sin
θ)
B.(－2cos
θ，2sin
θ)
C.(－2cos
θ，－2sin
θ)
D.(2cos
θ，－2sin
θ)
解析　由题意知，M的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos
θ，－2sin
θ).
答案　C
5.设θ是第三象限角，且＝－cos
，则是(　　)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析　由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，
∵＝－cos
，∴cos
<0，综上知为第二象限角.
答案　B
6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos
2θ＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
解析　由题意知，tan
θ＝2，即sin
θ＝2cos
θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，
故cos
2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案　B
7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A(2，1)，则sin＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
解析　由三角函数定义，cos
α＝＝，
则sin＝－cos
α＝－.
答案　A
8.已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cos
α＝sin
＝，故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
答案　D
9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin
θ＝，则m等于________.
解析　由题意知m>0且sin
θ＝＝，解得m＝3.
答案　3
10.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.
解析　设扇形半径为r，弧长为l，
则解得
答案　
11.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α＝________.
解析　因为α是第二象限角，
所以cos
α＝x<0，即x<0.
又cos
α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan
α＝＝－.
答案　－
12.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则实数a的取值范围是________.
解析　∵cos
α≤0，sin
α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴∴－2答案　(－2，3]