高考二轮复习之同角三角函数基本关系式与诱导公式（Word解析版）

同角三角函数基本关系式与诱导公式
一、知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tanα.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sinα
－sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cos
α
－cosα
cosα
－cosα
sinα
－sinα
正切
tan
α
tanα
－tanα
－tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
总结：
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；sin
α＝tan
α·cos
α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin
α成立的条件是α为锐角.(　　)
(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(　　)
(3)若α∈R，则tan
α＝恒成立.(　　)
(4)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sin
α＝.(　　)
解析　(1)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin
α.
(3)中当α的终边落在y轴，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin
α＝，
当k为偶数时，sin
α＝－.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.已知tan
α＝－3，则cos2α－sin2α＝(　　)
A.
B.－
C.
D.－
解析　由同角三角函数关系得
cos2α－sin2α＝＝＝＝－.
答案　B
3.已知α为锐角，且sin
α＝，则cos
(π＋α)＝(　　)
A.－
B.
C.－
D.
解析　因为α为锐角，所以cos
α＝＝，
故cos(π＋α)＝－cos
α＝－.
答案　A
4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
解析　∵(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－sin
2α，
∴sin
2α＝1－＝－.
答案　A
5.(2019·济南质检)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α＝(　　)
A.
B.－
C.
D.－
解析　∵sin
α＝－，α为第四象限角，
∴cos
α＝＝，因此tan
α＝＝－.
答案　D
6.(2018·上海嘉定区月考)化简：＝________.
解析　原式＝＝＝1.
答案　1
考点一　同角三角函数基本关系式
角度1　公式的直接运用
【例1－1】
(2018·延安模拟)已知α∈，且sin
α＝－，则cos
α＝(　　)
A.－
B.
C.±
D.
解析　因为α∈，且sin
α＝－>－＝sin，所以α为第三象限角，所以cos
α＝－＝－＝－.
答案　A
角度2　关于sin
α，cos
α的齐次式问题
【例1－2】
已知＝－1，求下列各式的值.
(1)；
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2.
解　由已知得tan
α＝.
(1)＝＝－.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
角度3　“sin
α±cos
α，sin
αcos
α”之间的关系
【例1－3】
已知x∈(－π，0)，sin
x＋cos
x＝.
(1)求sin
x－cos
x的值；
(2)求的值.
解　(1)由sin
x＋cos
x＝，
平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
所以(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.
由x∈(－π，0)，知sin
x<0，又sin
x＋cos
x>0，
所以cos
x>0，则sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
(2)＝
＝＝＝－.
【训练1】
(1)(2019·烟台测试)已知sin
αcos
α＝，且<α<，则cos
α－sin
α的值为(　　)
A.－
B.
C.－
D.
(2)已知＝5，则cos2α＋sin
2α的值是(　　)
A.
B.－
C.－3
D.3
解析　(1)∵<α<，
∴cos
α<0，sin
α<0且cos
α>sin
α，
∴cos
α－sin
α>0.
又(cos
α－sin
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－2×＝，
∴cos
α－sin
α＝.
(2)由＝5得＝5，可得tan
α＝2，
则cos2α＋sin
2α＝cos2α＋sin
αcos
α＝＝＝.
答案　(1)B　(2)A
考点二　诱导公式的应用
【例2】
(1)设f(α)＝(1＋2sin
α≠0)，则f＝________.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________.
解析　(1)∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝＝＝.
(2)∵cos＝cos
＝－cos＝－a，
sin＝sin＝a，
∴cos＋sin＝－a＋a＝0.
答案　(1)　(2)0
【训练2】
(1)(2019·衡水中学调研)若cos＝，则cos(π－2α)＝(　　)
A.
B.
C.－
D.－
(2)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin
α＝，则sin
β＝________.
解析　(1)由cos＝，得sin
α＝.
∴cos(π－2α)＝－cos
2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
(2)α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin
β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin
α＝.
答案　(1)D　(2)
考点三　同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
【例3】
(1)(2019·菏泽联考)已知α∈，sin＝，则tan(π＋2α)＝(　　)
A.
B.±
C.±
D.
(2)(2019·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　(1)∵α∈，sin＝，∴cos
α＝，sin
α＝－，tan
α＝＝－2.
∴tan(π＋2α)＝tan
2α＝＝＝.
(2)由已知得消去sin
β，得tan
α＝3，∴sin
α＝3cos
α，
代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，则sin
α＝(α为锐角).
答案　(1)A　(2)C
(3)已知－πx＝－.
①求sin
x－cos
x的值；
②求的值.
解　①由已知，得sin
x＋cos
x＝，
两边平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2
x＝，
整理得2sin
xcos
x＝－.
∵(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝，
由－πx<0，
又sin
xcos
x＝－<0，
∴cos
x>0，∴sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
②＝
＝
＝＝－.
【训练3】
(1)(2019·湖北七州市联考)已知α∈(0，π)，且cos
α＝－，则sin·tan
α＝(　　)
A.－
B.－
C.
D.
(2)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析　(1)∵α∈(0，π)，且cos
α＝－，∴sin
α＝，
因此sin·tan
α＝cos
α·＝sin
α＝.
(2)由题意，得cos＝，∴tan＝.
∴tan＝tan＝－＝－.
答案　(1)C　(2)－
三、课后练习
1.若sin
θ，cos
θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　)
A.1＋
B.1－
C.1±
D.－1－
解析　由题意知sin
θ＋cos
θ＝－，sin
θ·cos
θ＝.
又＝1＋2sin
θcos
θ，∴＝1＋，解得m＝1±.
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
答案　B
2.已知sincos＝，且0<α<，则sin
α＝________，cos
α＝________.
解析　sincos＝－cos
α·(－sin
α)＝sin
αcos
α＝.
∵0<α<，∴0αα.
又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin
α＝，cos
α＝.
答案　　
3.已知k∈Z，化简：＝________.
解析　当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
综上，原式＝－1.
答案　－1
4.是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解　假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴sin2α＝，∴sin
α＝±.
∵α∈，∴α＝±.
当α＝时，由②式知cos
β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos
β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去.
∴存在α＝，β＝满足条件.
5.已知sin
α＝，α∈，则cos(π－α)＝________，cos
2α＝________.
解析　cos(π－α)＝－cos
α＝－＝－，
cos
2α＝cos2α－sin2α＝－＝.
答案　－