华东师大版九年级下册数学 27.1.3圆周角 同步习题（word版，含答案）

27.1.3圆周角
同步习题
一．选择题
1．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（　　）
A．α＝β
B．α+2β＝90°
C．2α+β＝90°
D．α+β＝45°
2．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A，⊙B的半径分别为2和1，P，E，F分别是CD边、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是（　　）
A．
B．2
C．3
D．3
3．如图，点A，B，C，D四点均在⊙O上，∠AOD＝68°，AO∥DC，则∠B的度数为（　　）
A．40°
B．60°
C．56°
D．68°
4．如图，点A，B，C，D在圆O，AC是圆O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为（　　）
A．26°
B．52°
C．64°
D．74°
5．已知：如图，⊙O的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE，若∠ACB＝50°，则下列结论中正确的是（　　）
A．∠AOB＝50°
B．∠ADB＝50°
C．∠AEB＝30°
D．∠AEB＝50°
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOD+∠BOC＝180°．若AD＝2，BC＝6，则△BOC的面积为（　　）
A．3
B．6
C．9
D．12
7．半径为2的⊙O中，两条弦AB＝2，AC＝2，∠BAC的度数为（　　）
A．45°或60°
B．105°
C．15°
D．15°或105°
8．如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∠COB＝40°，则∠BAD等于（　　）
A．80°
B．50°
C．40°
D．20°
9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝25°，则∠BOC的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
10．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
二．填空题
11．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AE．若∠D＝80°，则∠BAE＝　
　．
12．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠AOD等于　
　．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E在边CD的延长线上，若∠ABC＝110°，则∠ADE的度数为　
　．
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，且AC＝BD＝AB，若∠AEB＝70°，则∠AOB等于　
　°．
15．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，CD交OB于点E．若∠AOB＝120°，∠OBC＝50°，则∠OEC的度数为　
　°．
三．解答题
16．如图，在⊙O中的内接四边形ABCD中，AB＝AD，E为弧AD上一点．
（1）若∠C＝110°，求∠BAD和∠E的度数；
（2）若∠E＝∠C，求证：△ABD为等边三角形．
17．如图△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，连接CD．
（1）求BD的长；
（2）射线DO交直线AC于点E，连接BE，求BE的长．
18．已知AB是⊙O的直径．
（Ⅰ）如图①，＝＝，∠MON＝35°，求∠AON的大小；
（Ⅱ）如图②，E，F是⊙O上的两个点，AD⊥EF于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF的大小．
参考答案
一．选择题
1．解：如图，设AC与DO交点为E，如图，
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠BDO＝α，
∴∠DOA＝2∠OBD＝2α，
又∵D为中点，AB为⊙O直径，
∴OD⊥AC，
∴∠EAO+∠EOA＝90°，
即2α+β＝90°．
故选：C．
2．解：作A点关于直线DC的对称点A′，连接BD，DA′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BDA＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵∠BDC＝∠ADB＝60°，
∴∠ADN＝60°，
∴∠A′DN＝60°，
∴∠ADB+∠ADA′＝180°，
∴A′，D，B在一条直线上，
由题意可得出：此时P与D重合，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，
∵菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴AB＝AD，则△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝3，
∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，
∴PE＝1，DF＝2，
∴PE+PF的最小值是3．
故选：C．
3．解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC＝∠AOD＝68°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝68°，
∴∠COD＝34°，
∴∠AOC＝112°，
∴∠B＝∠AOC＝56°．
故选：C．
4．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ABD＝∠ACD＝64°．
故选：C．
5．解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AEB＝∠ACB＝50°，∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∠ADB＝∠ACB+∠CAD＞∠ACB＝50°，
故选项A、B、C不正确，只有选项D正确，
故选：D．
6．解：延长BO交⊙O于E，连接CE，
则∠COE+∠BOC＝180°，∠BCE＝90°，
即CE⊥BC，
∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOD＝∠COE，
∴＝，
∴AD＝CE＝2，
∵BC＝6，
∴△BEC的面积为BC?CE＝×6×2＝6，
∵OB＝OE，
∴△BOC的面积＝△BEC的面积＝×6＝3，
故选：A．
7．解：分为两种情况：①如图，弦AB和弦AC在直径AE的同旁时，
过O作OG⊥AB于G，OF⊥AC于F，
∵OG和OF都过圆心O，OG⊥AB，OF⊥AC，AB＝2，AC＝2，
∴AG＝AB＝，AF＝AC＝1＝AO，∠AGO＝∠AFO＝90°，
∴∠FOA＝30°，OG＝＝＝＝AG，
∴∠FAO＝60°，∠GAO＝45°，
∴∠BAC＝∠FAO﹣∠GAO＝60°﹣45°＝15°；
②当弦AC和弦AB在直径AE的两旁时，
此时∠BAC＝∠GAO+∠FAO＝60°+45°＝105°；
所以∠BAC的度数是15°或105°，
故选：D．
8．解：∵直径AB过弦CD的中点E，
∴AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BAD＝∠COB＝×40°＝20°．
故选：D．
9．解：∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵∠ADC＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝50°，
故选：C．
10．解：∵∠A与∠E都对，
∴∠A＝∠E，所以①正确；
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，所以②正确；
∵AB⊥DG，
∴＝，
∵点D是弧EB的中点，
即＝，
∴＝，
∴∠DBE＝∠BDG，
∴FB＝FD，所以③正确．
故选：D．
二．填空题
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D＝80°，
∵∠D+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣80°＝100°，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠B＝100°﹣80°＝20°．
故答案为20°．
12．解：连接BD，如图，
∵CD⊥AB，
∴∠C＝90°﹣∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∴∠AOD＝2∠B＝130°．
故答案为130°．
13．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC＝110°，
故答案为：110°．
14．解：延长AO交BC于点G，延长BO交AD于点H，
∵AC＝AB，
∴＝，
∴AG⊥BC，BG＝CG，
∴∠CAO＝∠BAO，
∵BD＝AB，
∴＝，
∴BH⊥AD，AH＝DH，
∴∠ABO＝∠DBO，
∵∠AEB＝70°，
∴∠ABO+∠OAB＝（∠EAB+∠EBA）＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125．
15．解：连接OD，
∵D是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠AOB＝60°，
由圆周角定理得，∠BCD＝∠BOD＝30°，
∴∠OEC＝∠BCD+∠OBC＝80°，
故答案为：80．
三．解答题
16．解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠BAD＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝55°，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠ABD+∠E＝180°，
∴∠E＝125°．
（2）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠ABD+∠E＝180°，
又∵∠E＝∠C，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵AB＝AD，
∴AD＝BD＝AD，
∴△ABD为等边三角形．
17．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，
∵，AC2+BC2＝AB2，
∴（4）2+BC2＝（2BC）2，
∴BC＝4，
∵BC为直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝∠A＝30°，
∴BD＝BC＝2；
（2）∵OD＝OB，
∴∠CBD＝∠EDB＝60°，
∴∠DOB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOB＝60°，
∵∠OCE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CEO＝30°，
∵OC＝OB＝BC＝＝2，
∴OE＝2CO＝4，
∴CE＝＝＝2，
∴BE＝＝＝2．
18．解：（I）∵＝＝，∠MON＝35°，
∴∠MON＝∠MOC＝∠BOC＝35°，
∴∠AON＝180°﹣∠MON﹣∠MOC﹣∠BOC＝180°﹣35°﹣35°﹣35°＝75°；
（II）连接BF，
∵AD⊥直线l，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝20°，
∴∠AEF＝∠ADE+∠DAE＝110°，
∵A、E、F、B四点共圆，
∴∠ABF+∠AEF＝180°，
∴∠ABF＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝20°．