湘教版九年级数学下册第2章：圆 单元基础拔高训练卷（word解析版）

九年级数学下册第2章圆单元基础拔高训练卷（湘教版）
一、单选题
1．以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；
②优弧一定大于劣弧
③相等的弦所对的弧也相等；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中正确的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
2．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，，，那么的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，是的内接三角形，是的直径，点在上．若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，的半径为10，弦AB的长为16，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
5．下列命题中假命题的个数是（
）
①三点确定一个圆；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
A．4
B．3
C．2
D．1
6．如图，在中，E是直径延长线上一点，切于点E，若，则的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，射线PO交圆O于点D、点E．下列结论不一定成立的是(　　)
A．点E是△BPA的内心
B．AB与PD相互垂直平分
C．点A、B都在以PO为直径的圆上
D．PC为△BPA的边AB上的中线
8．如图，中，，点是的内心，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在等腰直角中，以AB为直径的半圆O交斜边BC于点D，若AB=AC=8，则阴影部分面积为（
）
A．32－8π
B．32－4π
C．24－2π
D．24－4π
10．如图，在圆内接四边形中，，，，，，，，则此四边形的面积（用含a，b，c，d的代数式表示）为（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为
（
）
A．8
B．12
C．16
D．20
12．如图，点A，B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①AC=BC；②若OA=4，OB=2，则△ABC的面积等于5；③若OA﹣OB=4，则点C的坐标是（2，﹣2）.其中正确的结论有（
??）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
二、填空题
13．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠ACB=35°，则∠OAB的度数是______度．
14．如图，在中，半径垂直于，则的半径是_____．
15．如图，直线AB与⊙O相切于点C，点D
是⊙O上的一点，且∠EDC=30°，则∠ECA的度数为_________．
16．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为10，则的长为____．
17．如图，PA
、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_____．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝135°，则∠AOC的度数为_____．
19．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点
I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：
①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；
②ID=BD；
③OI的最小值为；
④ACBC=CD．
其中正确的是
_____________
．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题
20．如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
21．如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上一点O为圆心，OB为半径作⊙O，交AC于点E，交AB于点D，且∠BEC=∠BDE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）连接OC交BE于点F，若，求的值．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数．
24．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点坐标为，点坐标为，以为直径的圆与轴的负半轴交于点．
（1）求图象经过，，三点的抛物线的解析式；
（2）设点为所求抛物线的顶点，试判断直线与的关系，并说明理由．
25．如图，已知是的直径，点、在上，且，过点作，垂足为．
求的长；
若的延长线交于点，求弦、和弧围成的图形（阴影部分）的面积．
26．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，且AE=AB．
（1）DA=DB，求证：AB=CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，点A经过的路径为，若AC=4，求图中阴影部分面积S；
（3）在（2）的条件下，连接FB，求证：FB为⊙O的切线．
试卷第1页，总3页
参考答案
1．D
解：经过同一条直线的三个点，不可以作一个圆，故命题①错误；
不同圆的优弧就不一定大于劣弧，故命题②错误；
同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等，但是如果不是同圆和等圆时，相等的弦所对的弧不一定相等，故命题③错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故命题④正确；
2．C
由同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠C=45°，
在中，∠A=75°，∠B=45°，
∴∠AEB=60°，
3．C
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BCD=36°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=54°．
4．B
解：由题意得：根据点到直线垂线段最短，故线段OM长的最小值为当OM⊥AB时，连接OA，如图所示：
∵AB=16，
∴AM=MB=8，
∵OA=10，
∴在Rt△AOM中，，
∴OM的最小值为6；
5．B
解：①错误，三个不在同一直线上的点确定一个圆；
②正确；
③错误，同圆或等圆内，相等的圆周角所对的弧相等；
④错误；反例：两个直径互相平分但不一定垂直；
⑤正确；
∴假命题的个数是3．
6．B
解：如图，连接OC，
∵切于点E，
∴∠OCE=90°，
设OC=OB=x，，
∵在Rt中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
7．B
解：如图，作EG⊥PA于G，EH⊥PB于H，作PO的中点F，并连结FB、FA、EB、EA、OB、OA，
由切线长定理可知PA=PB，∠BPO=∠APO，
∴△BPA为等腰三角形，且PC为△BPA的边AB上的中线，D不符合题意；
由切线的性质可知△OBP、△OAP为直角三角形，
∵F为PO的中点，∴FB=FA=，
∴点A、B都在以PO为直径的圆上，C不符合题意；
在△PBE和△PAE中，，
∴△PBE≌△PAE，∴EB=EA，∴∠EBA=∠EAB，
∵PA是⊙O的切线，∴∠PAE=∠EBA，∴∠PAE=∠EAB，∴EG=EC，
∵PO平分∠BPA，∴EH=EG，
∴EH=EG=EC，∴点E是△BPA的内心，A不符合题意；
∵PC=CD不一定成立，AB与PD不一定相互垂直平分，B符合题意；
8．D
解：∵，
∴，
∵点是的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴．
9．D
解：如图，连接AD、OD，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵AB是直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
．
10．B
解：连接，交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，，
同理得：，，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
11．C
∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC
=180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF
为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，
∴EF=4；
连接BD，
∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD
为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中，,
∴AE2+BE2=16.
故选C.
12．A
①∵AB为直径，
∴∠ACB=900，
∴①正确；
②∵C是的中点，
∴=，
∴AC=BC，
∴②正确；
③在Rt△AOB中，OA=4，OB=2，
∴AB==，
在Rt△ABC中，AC=BC=AB=，
∴△ABC的面积=×AC×BC=××=5，
∴③正确；
④如图，
过点C作CD⊥OA，DE⊥OB，
∴∠BEC=∠ADC=90°
在△BCE和△ACD中，，
∴△BCE≌△ACD，
∴AD=BE，CE=CD，
∵∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵CE=CD，
∴矩形ODCE是正方形，
∴OD=OD=CD=CE，
∵AD=OA?OD，BE=OB+BE=OB+OD，
∵AD=BE
∴OA?OD=OB+OD，
∵OA?OB=4，
∴OD=2，
∴CD=CE=2，
∴C(2，?2)
∴④正确，
13．55
解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠ACB=35°，
∴∠AOB=2∠ACB=70°，
∴；
故答案为55．
14．5
设⊙O的半径为r，则OD=r-2，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，
∴（r-2）2+42=r2，解得r=5，
即⊙O的半径为5．
15．30°
解：如图所示，连接OE、OC，
∵∠EDC=30°，
∴∠EOC=2∠EDC=60°，
又∵OE=OC，
∴为等边三角形，
∴∠ECO=60°，
∵直线AB与圆O相切于点C，
∴∠ACO=90°，
∴∠ECA=∠ACO－∠ECO=90°－60°=30°．
16．2π
解：如图所示：连接OA、OB．
∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10，
∴∠AOB＝＝72°，
∴的长为：．
故答案为：2π．
17．4．
解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=2，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4．
18．
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，故答案为90°.
19．②④
解：
平分，AB是⊙O的直径，
，
，
是的直径，
是半圆的中点，即点是定点；
故①错误；
如图示，连接IB，
∵点I是△ABC的内心，
∴
又∵，
∴
即有
∴，
故②正确；
如图示，当OI最小时，经过圆心O，
过I点，作，交于点
∵点I是△ABC的内心，经过圆心O，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
设，则，，
∴，
解之得：，
即：，
故③错误；
假设，
∵点C是半圆AB上一动点，
则点C在半圆AB上对于任意位置上都满足，
如图示，
当经过圆心O时，，，
∴
与假设矛盾，故假设不成立，
∴
故④正确；
综上所述，正确的是②④，
故答案是：②④
20．
（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线
（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2，易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC=，∴阴影部分面积为.
21．
证明：（1）连接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B
∴∠ODB=∠C
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①当点E在CA的延长线上时，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF．
∵OD=
OB=
x，∠B=30°，
∴∠FOD=60°，
∵∠ODE=90°，
∴DF=
x，
∴S△ODF=
x·x=
，(0＜x≤)
当x=时，S△ODF最大，最大值为；
②当点E在线段AC上时，围成的图形为梯形AODE．
∵AB=AC=10，∠B=30°，
∴BC=10，
作OH⊥BC，
∵OD=
OB=
x，∠B=30°，
∴BD=
2BH=
x，
∴CD=
10－x，
∵∠C=30°，∠DEC=90°，
∴DE=
(10－x)，CE=
(10－x)=15－x，
∴AE=x－5，
∴S梯形AODE=
(x－5+
x)·
(10－x)=
(－+12
x－20)
(＜x＜10)
当x=6时，S梯形AODE最大，最大值为10；
综上所述，当x=6时，重合部分的面积最大，最大值为10．
22．
：解：（1）连接OE．
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB．
∵∠ACB=90°，∴∠CBE+∠BEC=90°．
∵BD为⊙O的直径，∴∠BED=90°，∴∠DBE+∠BDE=90°，∴∠CBE=∠DBE，∴∠CBE=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠ACB=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O的切线．
（2）∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC，∴OE：BC=AE：AC．
∵CE：AE=2：3，∴AE：AC=3：5，∴OE：BC=3：5．
∵OE∥BC，∴△OEF∽△CBF，∴．
23
（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C，∠P=∠C，可得∠1=∠P，即可解决问题；
（2）在Rt△CEB中，求出∠C即可解决问题.
试题解析：（1）如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠CBE=55°，
∴∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠P=∠C=35°.
24．
解：（1）连接AC、BC；
∵AB是⊙P的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠CBO=∠ACO，
∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴=，
∴OC2=OA·OB=16，
∴OC=4，
故C(0，﹣4)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+8)(x﹣2)，
代入C点坐标得：a(0+8)(0﹣2)=﹣4，a=，
故抛物线的解析式为：y=(x+8)(x﹣2)=+x﹣4；
(2)由(1)知：y=+x﹣4=﹣；
则M(﹣3，﹣)，
又∵C(0，?﹣4)，P(﹣3，?0)，
∴MP=，PC=5，MC=，
∴MP2=MC2+PC2，即△MPC是直角三角形，且∠PCM=90°，
故直线MC与⊙P相切．
25．
解：(1)
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OE⊥AC，
∴OE?//?BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∵∠D=60°，
∴∠B=60°，
又∵AB=6，
∴BC=AB·cos60°=3，
∴OE=
BC=；
(2)连接OC，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OF⊥AC，
∴AE=CE，=，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF为等边三角形，
∴AF=AO=CO，
∵在Rt△COE与Rt△AFE中，
，
∴△COE≌△AFE，
∴阴影部分的面积=扇形FOC的面积，
∵S扇形FOC==π．
∴阴影部分的面积为π．
26．
（1）证明：如图1中，
∵DA=DB，
∴∠DAB=∠DBA，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠AEB=∠DAB，
∴∠EAD+∠ADE=∠EAD+∠EAB，
∴∠EAB=∠ADE，
∵∠ADE=∠ACB，
∴∠EAB=∠ACB，
∴AB=BC．
（2）如图2中，设AB的延长线交FG于M，连接CM，在BC上取一点N，使得CN=NM．
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=4，
∴AB=BC=2，
∵BC=CG，CM=CM，
∴Rt△CBM≌Rt△CGM，
∴∠MCB=∠MCG=15°，
∵NC=NM，
∴∠NCM=∠NMC=15°，
∴∠MNB=30°，设BM=a，则MN=CN=2a，BN=a，
∴2a+a=2，
∴a=4﹣2，
∴S阴=2××BM×BC=（4﹣2）×=16﹣8．
（3）如图2﹣1中，连接OB、BF、作FH⊥AC于H．
∵∠ACF=30°，∠FHC=90°，
∴FH=CF=AC=OA=OB，
∵BA=BC，OA=OC，
∴BO⊥AC，
∴FH∥OB，
∴四边形OBFH是平行四边形，
∵∠BOH=90°，
∴四边形OBFH是矩形，
∴∠OBF=90°，即OB⊥BF；
∴BF是⊙O的切线．