2021年人教版九年级数学下册培优好卷：第27章《相似》 （Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年人教版九年级数学下册培优好卷：第27章《相似》 （Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 588.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-17 23:31:53 | ||
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文档简介
2021年人教版九年级数学下册培优好卷：第27章《相似》
一．选择题
1．如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△BDE：S△DEC＝1：4，则S△DOE与S△AOC的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：25
3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD?BC＝DE?AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（ ）
A．2 B． C． D．+1
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；
②△DFP～△BPH；
③△PFD～△PDB；
④DP2＝PH?PC．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP?AD＝CQ?CB．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
9．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是 ．
10．如图，△ABC中，AB＞AC，D、E分别是边AC、AB上的点，且DE与BC不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使△ADE∽△ABC，你填的条件是 ．
11．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为?DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S?DEFG的面积为 cm2．
12．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是 ．
13．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
14．如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D2E3∥BC；…，D2021E2021∥BC，则＝ ．
15．在△ABC中，AB＝AC，点D在直线BC上，DC＝3DB，点E为AB边的中点，连接AD，射线CE交AD于点M，则的值为 ．
16．已知点A（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且AC＝3CD，连接BC．现有以下四个结论：①k＝2；②在点A运动过程中，△ABC的面积始终不变；③连接DE，则BC∥DE；④不存在点A，使得△ABC∽△OED．其中正确的结论的序号是 ．
三．解答题
17．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC和DE．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若CD＝1，BE＝2，求⊙O的半径．
19．如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBE；
（2）若△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，求点B到直线AC的距离．
20．已知，在?ABCD中，∠ABC＝45°，，点G是直线BC上一点，
（1）如图，若AD＝6，连接BD，AG，且AG⊥BD于点E，
①求对角线BD的长；
②线段BG的长为 ；
（2）连接AG，作BF⊥AG，交直线AD于点F，当时，请直接写出线段BG的长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
22．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是 （直接写出答案）；
（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴＝≠，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF∥AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵S△BDE：S△DEC＝1：4，△DBE的BE边上的高与△DEC的EC边上的高相等，
∴BE：EC＝1：4，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△BAC，
∴，
∴S△DOE与S△AOC的比＝，
故选：D．
3．解：如图，延长BC、AF，交于点H，
∵AE＝3ED，
∴设DE＝x，则AE＝3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝4x，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CHF，∠D＝∠FCH，
∴在△ADF≌△HCF中，
，
∴△ADF≌△HCF（AAS），
∴CH＝AD＝4x，
∴BH＝BC+CH＝8x，
∵AD∥BC，
∴△AEG∽△HBG，
∴＝＝＝．
故选：B．
4．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD?BC＝DE?AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，
故选：B．
5．解：如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAE＝∠NGH，
∴△ABE∽△GNH，
∴＝，
∵Rt△ABE中，AE＝＝＝，
∴＝，
∴GH＝，
如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE＝，∠HGM＝∠AFG＝90°，
∴AG+HE＝ME+HE，
当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，
此时，Rt△GHM中，HM＝＝＝，
∴EH+AG的最小值为，
故选：B．
6．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，
∵HP是直径，
∴∠HDP＝90°，
∴BP⊥HC，
∴∠HDP＝∠BDH＝90°，
又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，
∴∠PHD＝∠HBD，
∴△PHD∽△HBD，
∴＝，
∴HD2＝PD?BD，
同理可证CD2＝PD?BD，
∴HD＝CD，
∴BD垂直平分CH，
∴BH＝BC＝3，
在Rt△ACB中，
AB＝＝5，
∴AH＝5﹣3＝2，
∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即，
∴AP＝，
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH?PC，故④正确，
故选：C．
8．解：①错误，假设∠BAD＝∠ABC，则＝，
∵＝，
∴＝＝，显然不可能，故①错误．
②正确．连接OD．
∵GD是切线，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD，
∵∠APF+∠OAD＝90°，∠GPD＝∠APF，
∴∠GPD＝∠GDP，
∴GD＝GP，故②正确．
③正确．∵AB⊥CE，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴PC＝PA，
∵AB是直径，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠ACP+∠QCP＝90°，∠CAP+∠CQP＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ＝PA，
∵∠ACQ＝90°，
∴点P是△ACQ的外心．故③正确．
④正确．连接BD．
∵∠AFP＝∠ADB＝90°，∠PAF＝∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴＝，
∴AP?AD＝AF?AB，
∵∠CAF＝∠BAC，∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2＝AF?AB，
∵∠ACQ＝∠ACB，∠CAQ＝∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2＝CQ?CB，
∴AP?AD＝CQ?CB．故④正确，
故选：B．
二．填空题
9．解：连接AD、BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∵A，D两个端点之间的距离为10cm，
∴BC＝15cm，
故答案为：15cm．
10．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝，时，△ADE∽△ACB．
故答案是：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝．
11．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm），
∵＝BC?AM，
∴AM＝，即AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DE＝BC＝5cm．
∴DE＝FG＝5cm，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AN＝MN＝2.4cm，
∴?DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故答案是：12．
12．解：∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10，
如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件．
∵AP＝PB，
∴AQ＝OQ，
∴Q（0，3）．
②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′．
∵PA＝PB，PQ′⊥AB，
∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m，
在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2，
解得m＝，
∴OQ′＝8﹣＝，
∴Q′（，0）．
③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）．
13．解：如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x2＝，
即CE2＝，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝．
故答案为：．
14．解：∵D1E1∥BC，
∴△AD1E1∽△ABC，
∴＝＝，
∴D1E1＝BC；
∵D1D2＝D1B，
∴AD2＝AB，
同理可得：D2E2＝BC＝（1﹣）BC＝[1﹣（）2]?BC，
D3E3＝BC＝[1﹣（）3]?BC，
∴DnEn＝[1﹣（）n]?BC，
∴＝1﹣（）2021，
故答案为：1﹣（）2021．
15．解：当D点在B点右侧时，如图：
过D作DN∥EC，交AB于点N，
则∠DNB＝∠CEB，∠BDN＝∠BCE，
∴△DBN∽△CBE，
∴，
∵DC＝3DB，
∴，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，
∵DN∥EC，
∴∠AEM＝∠AND，∠AME＝∠ADN，
∴△AEM∽△AND，
∴，
∴，
∴；
当D点在B点左侧时，如图：
过D作DN∥EC，交AB的延长线于点N，
则∠DNB＝∠CEB，∠BDN＝∠BCE，
∴△DBN∽△CBE，
∴，
∵DC＝3DB，
∴，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，
∵DN∥EC，
∴∠AEM＝∠AND，∠AME＝∠ADN，
∴△AEM∽△AND，
∴，
∴，
∴．
故答案为或．
16．解：∵A（a，b），且A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴b＝，
∵AC∥y轴，且C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴C（a，）．
又∵AC＝3CD，
∴AD＝4CD，即＝4?，
∴k＝2，故①正确．
∵A（a，），C（a，）．
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∵点B在反比例函数y＝的函数图象上，
∴＝，解得：x＝，
∴点B（，），
∴AB＝a﹣＝，AC＝﹣＝，
∴S＝AB?AC＝??＝，
∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于，故②正确，
连接DE，如图所示．
∵由已知可知：∠BAC＝∠DOE＝90°，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴BC∥DE，故③正确，
若△ABC∽△OED．
则有＝，
∴＝，
∴a＝2，
∴在点A的运动过程中，当a＝2时，△ABC∽△OED，故④错误，
故答案为①②③．
三．解答题
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵△ECD∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AF⊥BC．
∵在△ABC中 AB＝AC∴CE＝BE（等腰三角形三线合一），
∵AE＝EF．
∴四边形ABFC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
又∵AF⊥BC，
∴?ABFC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
（2）解：∵圆内接四边形ABED，
∴∠ADE+∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补）．
∵∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE．
∵∠ACB＝∠ECD（公共角）．
∴△ECD∽△ACB（两角分别对应相等的两个三角形相似）．
∴（相似三角形的对应边成比例）．
∵四边形ABFC是菱形，
∴．
∴CE＝2BC＝4．
∴．
∴AC＝8．
∴AB＝AC＝8．
∴⊙O的半径为4．
19．解：（1）证明：∵AD、CE分别是BC、AB边上的高，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；
（2）∵△ABD∽△CBE，
∴＝，
又∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴＝．
∵△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，
∴＝，
∴AC＝4，
∴点B到直线AC的距离为：＝＝6．
20．解：（1）①如图1，过点D作DH⊥BC交BC延长线于H，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，CD∥AB，
∴∠DCH＝∠ABC＝45°，
在Rt△CHD中，CH＝DH＝CD＝3，
∴BH＝BC+CH＝9，
在Rt△BHD中，BD＝＝＝3；
②∵AG⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
由①知，BD＝3，
设BE＝x，则DE＝BD﹣BE＝3﹣x，
在RtAEB中，AE2＝AB2﹣BE2＝（3）2﹣x2＝18﹣x2，
在RtAED中，AE2＝AD2﹣DE2＝62﹣（3﹣x）2＝﹣x2+6x﹣54，
∴18﹣x2＝﹣x2+6x﹣54，
∴x＝，
∴BE＝，DE＝3﹣＝，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△BEG∽△DEA，
∴，
∴，
∴BG＝4，
故答案为：4；
（2）①当点F在点A左侧时，如图2，
过点A作AM⊥BC于M，过点B作BN⊥AD于N，
∴∠ANB＝∠AMB＝90°，
在Rt△ABM中，∠ABC＝45°，AB＝3，
∴BM＝AM＝AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠MBN+∠ANB＝180°，
∴∠MBN＝90°，
∴∠FBN+∠MBH＝90°，∠F+∠FBN＝90°，
∴∠F＝∠HBG，
∵∠HBG+∠H＝∠GAM+∠AMB，
∴∠HBG+90°＝∠GAM+90°，
∴∠HBG＝∠GAM，
∴∠F＝∠GAM，
∵∠BNF＝∠GMA，
∴△BNF∽△GMA，
∴，
∴＝，
∴GM＝，
∴BG＝BM﹣GM＝3﹣＝，
②当点F在点A右侧时，如图3，
同①的方法得，GM＝，
∴BG＝BM+GM＝3+＝，
即线段BG的长为或．
21．解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．
22．（1）解：如图1中，
∵GH∥AD，
∴△GHE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△GHE∽△ADE∽△ABC，
故答案为△ADE，△ABC．
（2）解：∵GH∥BD，
∴∠FGH∠DBF，
∵BF＝FG，∠DFB＝∠GFH，
∴△BFD≌△GFH（ASA），
∴BD＝GH，
∵GH∥AD，
∴＝＝＝，
∴＝．
（3）证明：如图2中，
∵GH∥BD，
∴＝，
∵GH∥PA，
∴＝，
∵DH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴PF∥AG，即PF∥AC．
一．选择题
1．如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△BDE：S△DEC＝1：4，则S△DOE与S△AOC的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：25
3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD?BC＝DE?AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（ ）
A．2 B． C． D．+1
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
7．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；
②△DFP～△BPH；
③△PFD～△PDB；
④DP2＝PH?PC．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④AP?AD＝CQ?CB．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
9．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，，则容器的内径是 ．
10．如图，△ABC中，AB＞AC，D、E分别是边AC、AB上的点，且DE与BC不平行．不再添加其它字母和线段，请你填上一个合适的条件，使△ADE∽△ABC，你填的条件是 ．
11．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为?DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S?DEFG的面积为 cm2．
12．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是 ．
13．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝ ．
14．如图，△ABC中，AD1＝AB，D1D2＝D1B，D2D3＝D2B，…，照这样继续下去，D2020D2021＝D2020B，且D1E1∥BC，D2E2∥BC，D2E3∥BC；…，D2021E2021∥BC，则＝ ．
15．在△ABC中，AB＝AC，点D在直线BC上，DC＝3DB，点E为AB边的中点，连接AD，射线CE交AD于点M，则的值为 ．
16．已知点A（a，b）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，AB∥x轴，AC∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且AC＝3CD，连接BC．现有以下四个结论：①k＝2；②在点A运动过程中，△ABC的面积始终不变；③连接DE，则BC∥DE；④不存在点A，使得△ABC∽△OED．其中正确的结论的序号是 ．
三．解答题
17．如图，在正方形ABCD中，在BC边上取中点E，连接DE，过点E做EF⊥ED交AB于点G、交AD延长线于点F．
（1）求证：△ECD∽△DEF；
（2）若CD＝4，求AF的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC和DE．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若CD＝1，BE＝2，求⊙O的半径．
19．如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBE；
（2）若△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，求点B到直线AC的距离．
20．已知，在?ABCD中，∠ABC＝45°，，点G是直线BC上一点，
（1）如图，若AD＝6，连接BD，AG，且AG⊥BD于点E，
①求对角线BD的长；
②线段BG的长为 ；
（2）连接AG，作BF⊥AG，交直线AD于点F，当时，请直接写出线段BG的长．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
22．如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是 （直接写出答案）；
（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴＝≠，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF∥AB，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵S△BDE：S△DEC＝1：4，△DBE的BE边上的高与△DEC的EC边上的高相等，
∴BE：EC＝1：4，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△BAC，
∴，
∴S△DOE与S△AOC的比＝，
故选：D．
3．解：如图，延长BC、AF，交于点H，
∵AE＝3ED，
∴设DE＝x，则AE＝3x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝4x，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠CHF，∠D＝∠FCH，
∴在△ADF≌△HCF中，
，
∴△ADF≌△HCF（AAS），
∴CH＝AD＝4x，
∴BH＝BC+CH＝8x，
∵AD∥BC，
∴△AEG∽△HBG，
∴＝＝＝．
故选：B．
4．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD?BC＝DE?AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，
故选：B．
5．解：如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAE＝∠NGH，
∴△ABE∽△GNH，
∴＝，
∵Rt△ABE中，AE＝＝＝，
∴＝，
∴GH＝，
如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE＝，∠HGM＝∠AFG＝90°，
∴AG+HE＝ME+HE，
当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，
此时，Rt△GHM中，HM＝＝＝，
∴EH+AG的最小值为，
故选：B．
6．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，
∵HP是直径，
∴∠HDP＝90°，
∴BP⊥HC，
∴∠HDP＝∠BDH＝90°，
又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，
∴∠PHD＝∠HBD，
∴△PHD∽△HBD，
∴＝，
∴HD2＝PD?BD，
同理可证CD2＝PD?BD，
∴HD＝CD，
∴BD垂直平分CH，
∴BH＝BC＝3，
在Rt△ACB中，
AB＝＝5，
∴AH＝5﹣3＝2，
∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，
∴△AHP∽△ACB，
∴，
即，
∴AP＝，
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH?PC，故④正确，
故选：C．
8．解：①错误，假设∠BAD＝∠ABC，则＝，
∵＝，
∴＝＝，显然不可能，故①错误．
②正确．连接OD．
∵GD是切线，
∴DG⊥OD，
∴∠GDP+∠ADO＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠OAD，
∵∠APF+∠OAD＝90°，∠GPD＝∠APF，
∴∠GPD＝∠GDP，
∴GD＝GP，故②正确．
③正确．∵AB⊥CE，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴PC＝PA，
∵AB是直径，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠ACP+∠QCP＝90°，∠CAP+∠CQP＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ＝PA，
∵∠ACQ＝90°，
∴点P是△ACQ的外心．故③正确．
④正确．连接BD．
∵∠AFP＝∠ADB＝90°，∠PAF＝∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴＝，
∴AP?AD＝AF?AB，
∵∠CAF＝∠BAC，∠AFC＝∠ACB＝90°，
∴△ACF∽△ABC，
可得AC2＝AF?AB，
∵∠ACQ＝∠ACB，∠CAQ＝∠ABC，
∴△CAQ∽△CBA，可得AC2＝CQ?CB，
∴AP?AD＝CQ?CB．故④正确，
故选：B．
二．填空题
9．解：连接AD、BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∵A，D两个端点之间的距离为10cm，
∴BC＝15cm，
故答案为：15cm．
10．解：∵∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝，时，△ADE∽△ACB．
故答案是：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝．
11．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm），
∵＝BC?AM，
∴AM＝，即AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DE＝BC＝5cm．
∴DE＝FG＝5cm，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AN＝MN＝2.4cm，
∴?DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故答案是：12．
12．解：∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10，
如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件．
∵AP＝PB，
∴AQ＝OQ，
∴Q（0，3）．
②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′．
∵PA＝PB，PQ′⊥AB，
∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m，
在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2，
解得m＝，
∴OQ′＝8﹣＝，
∴Q′（，0）．
③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）．
13．解：如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴＝＝，即＝＝，
∴FG＝EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（x）2+x2＝（）2，
解得x2＝，
即CE2＝，
∴Rt△BCE中，BE＝＝＝．
故答案为：．
14．解：∵D1E1∥BC，
∴△AD1E1∽△ABC，
∴＝＝，
∴D1E1＝BC；
∵D1D2＝D1B，
∴AD2＝AB，
同理可得：D2E2＝BC＝（1﹣）BC＝[1﹣（）2]?BC，
D3E3＝BC＝[1﹣（）3]?BC，
∴DnEn＝[1﹣（）n]?BC，
∴＝1﹣（）2021，
故答案为：1﹣（）2021．
15．解：当D点在B点右侧时，如图：
过D作DN∥EC，交AB于点N，
则∠DNB＝∠CEB，∠BDN＝∠BCE，
∴△DBN∽△CBE，
∴，
∵DC＝3DB，
∴，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，
∵DN∥EC，
∴∠AEM＝∠AND，∠AME＝∠ADN，
∴△AEM∽△AND，
∴，
∴，
∴；
当D点在B点左侧时，如图：
过D作DN∥EC，交AB的延长线于点N，
则∠DNB＝∠CEB，∠BDN＝∠BCE，
∴△DBN∽△CBE，
∴，
∵DC＝3DB，
∴，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，
∵DN∥EC，
∴∠AEM＝∠AND，∠AME＝∠ADN，
∴△AEM∽△AND，
∴，
∴，
∴．
故答案为或．
16．解：∵A（a，b），且A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴b＝，
∵AC∥y轴，且C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴C（a，）．
又∵AC＝3CD，
∴AD＝4CD，即＝4?，
∴k＝2，故①正确．
∵A（a，），C（a，）．
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∵点B在反比例函数y＝的函数图象上，
∴＝，解得：x＝，
∴点B（，），
∴AB＝a﹣＝，AC＝﹣＝，
∴S＝AB?AC＝??＝，
∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于，故②正确，
连接DE，如图所示．
∵由已知可知：∠BAC＝∠DOE＝90°，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∴BC∥DE，故③正确，
若△ABC∽△OED．
则有＝，
∴＝，
∴a＝2，
∴在点A的运动过程中，当a＝2时，△ABC∽△OED，故④错误，
故答案为①②③．
三．解答题
17．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥ED，
∴∠FED＝∠C＝90°，BC∥AD，
∴∠CED＝∠FDE，
∴△ECD∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝90°，AD＝BC＝CD＝4，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BC＝2，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵△ECD∽△DEF，
∴＝，
∴＝，
解得：DF＝10，
∵AD＝4，
∴AF＝DF﹣AD＝10﹣4＝6．
18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AF⊥BC．
∵在△ABC中 AB＝AC∴CE＝BE（等腰三角形三线合一），
∵AE＝EF．
∴四边形ABFC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
又∵AF⊥BC，
∴?ABFC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
（2）解：∵圆内接四边形ABED，
∴∠ADE+∠ABC＝180°（圆内接四边形的对角互补）．
∵∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠ABC＝∠CDE．
∵∠ACB＝∠ECD（公共角）．
∴△ECD∽△ACB（两角分别对应相等的两个三角形相似）．
∴（相似三角形的对应边成比例）．
∵四边形ABFC是菱形，
∴．
∴CE＝2BC＝4．
∴．
∴AC＝8．
∴AB＝AC＝8．
∴⊙O的半径为4．
19．解：（1）证明：∵AD、CE分别是BC、AB边上的高，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；
（2）∵△ABD∽△CBE，
∴＝，
又∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴＝．
∵△ABC和△BDE的面积分别是24和6，DE＝2，
∴＝，
∴AC＝4，
∴点B到直线AC的距离为：＝＝6．
20．解：（1）①如图1，过点D作DH⊥BC交BC延长线于H，
∴∠H＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，CD∥AB，
∴∠DCH＝∠ABC＝45°，
在Rt△CHD中，CH＝DH＝CD＝3，
∴BH＝BC+CH＝9，
在Rt△BHD中，BD＝＝＝3；
②∵AG⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
由①知，BD＝3，
设BE＝x，则DE＝BD﹣BE＝3﹣x，
在RtAEB中，AE2＝AB2﹣BE2＝（3）2﹣x2＝18﹣x2，
在RtAED中，AE2＝AD2﹣DE2＝62﹣（3﹣x）2＝﹣x2+6x﹣54，
∴18﹣x2＝﹣x2+6x﹣54，
∴x＝，
∴BE＝，DE＝3﹣＝，
四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△BEG∽△DEA，
∴，
∴，
∴BG＝4，
故答案为：4；
（2）①当点F在点A左侧时，如图2，
过点A作AM⊥BC于M，过点B作BN⊥AD于N，
∴∠ANB＝∠AMB＝90°，
在Rt△ABM中，∠ABC＝45°，AB＝3，
∴BM＝AM＝AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠MBN+∠ANB＝180°，
∴∠MBN＝90°，
∴∠FBN+∠MBH＝90°，∠F+∠FBN＝90°，
∴∠F＝∠HBG，
∵∠HBG+∠H＝∠GAM+∠AMB，
∴∠HBG+90°＝∠GAM+90°，
∴∠HBG＝∠GAM，
∴∠F＝∠GAM，
∵∠BNF＝∠GMA，
∴△BNF∽△GMA，
∴，
∴＝，
∴GM＝，
∴BG＝BM﹣GM＝3﹣＝，
②当点F在点A右侧时，如图3，
同①的方法得，GM＝，
∴BG＝BM+GM＝3+＝，
即线段BG的长为或．
21．解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．
22．（1）解：如图1中，
∵GH∥AD，
∴△GHE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△GHE∽△ADE∽△ABC，
故答案为△ADE，△ABC．
（2）解：∵GH∥BD，
∴∠FGH∠DBF，
∵BF＝FG，∠DFB＝∠GFH，
∴△BFD≌△GFH（ASA），
∴BD＝GH，
∵GH∥AD，
∴＝＝＝，
∴＝．
（3）证明：如图2中，
∵GH∥BD，
∴＝，
∵GH∥PA，
∴＝，
∵DH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴PF∥AG，即PF∥AC．