北师大版九年级数学下册3.6：节直线和圆的位置关系 (1)课件(共23张PPT)

3.6 直线和圆的位置关系
第三章
1.通过学习判定一条直线是否为圆的切线,训练推理判断能力．
2.会过圆上一点画圆的切线,训练作图能力．
3.会作三角形的内切圆．
直线和圆的位置关系
直线与圆公共点的个数
公共点的名称
直线的名称
圆心与直线1的距离d与半径的关系
相离 相切 相交
无 1个 2个
／
切点
交点
／
切线
割线
d＞r
d=r
d＜r
温 故 知 新
B
●O
A
l
┓
d
α
┏
d
α
d
┓
你能写出一个命题来表述这个事实吗?
如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时,
(1)随着∠α的变化，圆心O到直线l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？
（2）当∠α等于多少度时，点O到l的
距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O
有怎样的位置关系？为什么？
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
C
D
B
●O
A
∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,
∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r 直线和圆相切
的另一种说法.
探究新知
已知一个圆和圆上一点，如何画圆的切线呢？
.
.
o
P
连半径，
作垂直
解：如图所示，直线l即为所求作切线.
l
当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的水珠
砂轮打磨工件时飞出火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的.
生活中的数学
判 断：
(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ）
(2)与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
定理中的两个条件缺少一个行不行?
两个条件,缺一不可
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
判定直线与圆相切有哪些方法？
例1 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，AC=CB,求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连接OC
∵OA=OB
∴△AOB为等腰三角形
又∵CA=CB
∴OC⊥AB
∴AB为⊙O的切线
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可.
教师点评：证明切线时，
(1)若知道直线与圆有公共点时，经常“连半径，证垂直.”
(2)若不能确定直线与圆有公共点时，常常“作垂直，证d=r.”
例2 O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作⊙O，求证：AC与⊙O相切.
B
A
C
●
D
教师点评：证明切线时，
（1）若知道直线与圆有公共点时，经常“连半径，证垂直.”
（2）若不能确定直线与圆无公共点时，常常“作垂直，证d=r.”
∟
E
O
证明：过点O作OE⊥AC于点E
∵ O为∠BAC平分线上一点，
OD⊥AB ，OE⊥AC
∴OE=OD
∴AC与⊙O相切.
例1与例2的证法有何不同?
(1)如果已知直线和圆有公共点,则连接这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：连半径,证垂直.
(2)如果已知条件中没有说明直线与圆有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长.简记为：作垂直,证d=r.
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
圆的切线性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：
∵ 是⊙O的切线，A为切点
∴OA⊥
将问题1中的问题反过来，如果直线 是⊙O的切线，A为切点，那么半径OA与直线 是不是一定垂直呢？
.
.
O
A
垂直
见切线，连半径，则垂直
探
究
例3 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C，若∠A=25°，求∠D的度数.
●
D
A
C
O
B
教师点评：有切线，连半径，得垂直.
切线的判定定理：
必具两个条件： ，
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .
常添的辅助线是 ，
.
切线的性质定理： .
常添辅助线：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
过半径的外端点
垂直于这条半径
（1）连半径，证垂直（有公共点）
（2）作垂直，证半径（无公共点）
圆的切线垂直于过切点的半径
见切线，连半径，得垂直
归纳小结
如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
A
B
C
●
┓
┗
┗
探究新知
三角形的内切圆作法：
（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求.
A
B
C
I●
┓
●
D
M
N
∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.
这样的圆可以作出几个呢?为什么?
*重心：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.该点叫做三角形的重心.
*外心：三角形的三边的垂直平分线交于一点.该点叫做三角形的外心.
*垂心：三角形的三条高交于一点.该点叫做三角形的垂心.
*内心：三角形的三内角平分线交于一点.该点叫做三角形的内心.
三角形的“四心”
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
内心均在三角形内部
A
B
C
A
B
C
●
●
●
C
A
B
┐
做一做
1.判断题：
（1）三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
（2）三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
（3）等边三角形的内心和外心重合（ ）
（4）三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
×
×
√
√
巩固练习
2.如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，
则∠BOC的度数是 .
A
B
C
O
（2）若∠A=80°，则∠BOC= .
（3）若∠BOC=110°，则∠A= .
130°
40°
120°
3.如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O
是⊙O的内心，求∠BOC的度数.
A
O
C
B
解：∵点O是⊙O的内心
∴∠OBC=1/2∠ABC=25°

∠OCB=1/2∠ACB=37.5°
∴ ∠BOC=180°﹣25°﹣37.5°
=117.5°