北师大版数学八年级下册课件：1.1等腰三角形（第4课时）(共28张PPT)

1.1等腰三角形（第4课时）
1
课堂讲解
等边三角形的判定
含30°角的直角三角形的性质
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
等边三角形有哪些性质？
等边三角形的性质：
(1)等边三角形的三边都相等；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于
60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别
为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度
相等．
复习回顾
1
知识点
等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？ 一个等
腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的
结论，并与同伴交流.
导入新课
定理　三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理　有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形.
感悟新知
1．判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形；
判定定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等
边三角形．
2．应用注意事项：
判定定理1在任意三角形中都适用，判定定理2适用
的前提是等腰三角形.因此要结合题目的条件选择
适当的方法．
如图，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连接OE，OF.求证：△OEF是等边三角形．
例1
导引：
从题中条件看，利用三角
形的外角性质易求∠OEF
＝∠OFE＝60°，从而证
明△OEF是等边三角形．
∵E，F分别是线段OB，OC的垂直平分线上的点，
∴OE＝BE，OF＝CF.
∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
又∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.
∴∠OEF＝∠OFE＝60°.
∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.
∴△OEF是等边三角形．
证明：
总 结
证明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)若已知三边关系，则选用等边三角形定义来判定；
(2)若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角
形是等边三角形”来判定；
(3)若已知是等腰三角形，则选用“有一个角等于
60°的等腰三角形是等边三角形”来判定．
等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60°
B．有一个外角是120°
C．有两个角相等
D．腰与底边相等
C
随堂练习
2
如图，△ABC是等边三角形，D，E，F为各边中点，则图中共有等边三角形(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
D
3 下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ 　　　 B．①②④
C．①③ 　　　 　D．①②③④
D
2
知识点
含30°角的直角三角形的性质
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一
个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？由此
你能发现什么结论？说说你的理由.
归 纳
定理　　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图 1， △ABC是直角三角形，∠C ＝90°， ∠A＝ 30°
求证： BC＝　 AB.
证明：
如图2，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB ＝ 90°，∠BAC＝30°.
∴∠ACD＝90°，∠B＝ 60°.
∴AC ＝AC,
∴△ABC≌△ADC ( SAS ).
∴AB＝AD(全等三角形的对应
边相等）.
∴△ABD是等边三角形（有一
个角等于60°的等腰三角形
是等边三角形）
∴ BC＝ BD＝ AB.
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．
要点精析：
(1)适用条件——含30°角的直角三角形，
(2)揭示的关系——30°角所对的直角边与斜边的关
系．
求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC中，AB = AC， ∠B＝15°，CD是腰AB上的高.
求证：CD＝　 AB.
例2
在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°,
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∴CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝ 90°.
∴CD＝ AC(在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∴CD = AB.
证明：
总 结
利用含30°角的直角三角形的性质，关键要有
两个要素：
一是含30°的角；
二是直角三角形．
根据这两个要素可建立直角三角形中斜边与直角边之间的关系．
1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的长.
因为CD是△ABC的高，
所以∠BDC＝90°.
又因为∠B＝60°，
所以∠BCD＝30°. 所以BC＝2BD＝2.
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
所以∠A＝30°. 所以AB＝2BC＝4.
所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.
解：
随堂练习
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(　　)
A．6
B．
C．
D．12
A
3　如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关系式正确的为(　　)
A．BD＝CD B．BD＝2CD
C．BD＝3CD D．BD＝4CD
B
等边三角形的判定方法：
定理 三个角都相等的三角形是等边三角形.
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
(2) 含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
1
知识小结
课堂小结
已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则以P1，O，P2三点为顶点所确定的三角形是(　　)
A．直角三角形　 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形　　 D．等边三角形
易错点：对有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法不理解导致出错
2
易错小结
D
如图，连接PO.
∵点P1与P关于OB对称，
∴OP1＝OP，∠P1OB＝∠POB.
同理，OP2＝OP，∠P2OA＝∠POA.
∴OP1＝OP2，
∠P1OP2＝2∠POA＋2∠POB
＝2(∠POA＋∠POB)＝60°.
∴△OP1P2为等边三角形．
本题易错的原因：(1)不会利用轴对称的性质证明OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°；(2)不会用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形的判定方法．
课后习题！
课后作业