5.3简单的轴对称图形(3)-北师大版七年级下册数学课件 (共29张PPT)

5.3 简单的轴对称图形（3）
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点）
学前准备
1.回忆等腰三角形的性质：
①等腰三角形是_______图形；
②等腰三角形顶角的_______、底边上的_____、底边上的___重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的_______；
③等腰三角形的两底角______。
轴对称
平分线
中线
高
对称轴
相等
学前准备
2.回忆线段垂直平分线的性质：
①线段是_______图形， 这条线段的__________是它的一条对称轴，另一条对称轴是这条线段所在的直线；
②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_______。
轴对称
相等
垂直平分线
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
情境问题一
C
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
A
B
O
有一个简易平分角的仪器(如图)，其中AB=AD,BC=DC,将A点放在角的顶点，AB和AD为角的两边，沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
对这种可以折叠的角可以用折叠方法得角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
情境问题二
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
导入新课
复习引入
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
B
C
A
1
2
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 .
线段PC的长
P
l
A
B
C
D
3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 .
A
A
P
P
l1
l2
l1
l2
图1
图2
图1
讲授新课
角平分线的尺规作图
一
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!
动手画一画
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
角平分线的性质
二
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
P
A
O
B
C
D
E
PD=PE
作图探究
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求角平分线．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．

P
·
将∠AOB的角平分线OC上任取一点P，再过A点作PD⊥PA于D、PE⊥PB于E，PD和PE有什么关系？
情境问题三
E
A
O
B
D
C
(2)猜想:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
探究角平分线的性质
D
P
E
A
O
B
C
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
(3)验证猜想：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的性质
定理：角平分线上的点到这个角的两边
的距离相等。
用符号语言表示为：
∵ ∠AOP=∠BOP，
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)
D
P
E
A
O
B
推理的条件有三个，必须写完整，任何一个都不能少。
辨一辨
如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？
O
A
B
C
E
D
P
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
BD CD
（×）
判断：
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
BD CD
（×）
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
(√)
练一练
1、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE ( 角平分线上的点到这
个角两边的距离相等 )

PD⊥OA，PE⊥OB
B
O
A
C
D
P
E
2、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
相等
3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
你会吗？
思考：
小结 拓展
回味无穷
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
2、角的平分线的性质： 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
几何语言:
∵ OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE(角平分线上的点
到这个角的两边的距离相等).
A
O
B
P
E
D
C
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段