第二十七章 相似专题训练（含解析）

人教版九年级下册第二十七章相似专题训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（　　）
A．2：5 B．3：5 C．9：25 D．4：25
2．如图，在false中，点false、false分别在边false、false上，false平分false，false，与false一定相似的三角形为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（　　）
A．16 B．18 C．20 D．24
5．如图，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（　　）
A．EG=4GC B．EG=3GC C．EG=falseGC D．EG=2GC
6．在平面直角坐标系中,点false是线段false上一点,以原点false为位似中心把false放大到原来的两倍,则点false的对应点的坐标为( )
A．false B．false或false
C．false D．false或false
7．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A．false B．false C．false D．false
8．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=（　　）
A．false B．false C．false D．false
9．如图，点false在线段false上，在false的同侧作等腰false和等腰false，false与false、false分别交于点false、false.对于下列结论：
①false；②false；③false.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①② D．②③
10．制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（　　）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
二、填空题
11．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．
12．如图，在矩形false中，false是边false的中点，连接false交对角线false于点false，若false，false，则false的长为________．
13．已知false，且false，则false的值为__________．
14．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBO的位置，点D在BC上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为________.
15．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.
三、解答题
16．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.
（1）求证：EB＝EI；
（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.
17．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
18．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，点P在BC延长线上，且满足∠PAC=∠B．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）弦CE⊥AD交AB于点F，若AF?AB=12 ，求AC的长．
19．如图，在正方形false中，false是false上一点，连接false.过点false作false，垂足为false.false经过点false、false、false，与false相交于点false.
（1）求证false；
（2）若正方形false的边长为false，false，求false的半径.
参考答案
1．C
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△DEF∽△BAF．
∵DE：EC=3：2，
∴false，
∴false．
故选：C．
2．B
解：false平分false，
false
false，
false
又false
false，且false
false
故选false．
3．C
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴false，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴false，
∴CD=false，
故选C．
4．B
【详解】∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=1：9，
设S△AEF=x，
∵S四边形BCFE=16，
∴false，
解得：x=2，
∴S△ABC=18，
故选B．
5．B
解：∵DE∥FG∥BC，DB=4FB，
∴false=3．
故选：B．
6．B
解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
7．D
解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴false，false，
∴false．
故选：D．
8．C
解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1、CE=CG=GF=3，∠ADM=∠G=90°，
∴DG=CG﹣CD=2，AD∥GF，
则△ADM∽△FGM，
∴false，即false，
解得：GM=false，
∴FM=false，
故选：C．
9．A
解：由已知：AC=falseAB，AD=falseAE
∴false
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴false
∴MP?MD=MA?ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP?CM
∵AC=falseAB
∴2CB2=CP?CM
所以③正确
故选A．
10．C
解：3m×2m=6m2，
∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，
将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，
∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080元，
故选C．
11．false
解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴falseBC?AH=6，
∴AH=false=3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴false，即false，解得x=false，
即正方形DEFG的边长为false，
故答案为：false．
12．false
解：∵四边形false是矩形，∴false，false∥false，false，
在false中，false，∴false，
∵false是false中点，∴false，
∵false∥false，∴false，∴false．
故答案为：false.
13．12
解：∵false，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为：12．
14．10
解：∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=1：2，∴S△AEF ：S△ABC =1：4，
∵△AEF的面积为5，∴S△ABC =20，
∵将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，∴S△EBD =5，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S△EBD﹣S△AEF =20﹣5﹣5=10，
故答案为：10.
15．3或1.2
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，
∵△PBE∽△DBC，
∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，
如图1，当DP=DA=8时，BP=2，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=2：10，
∴PE：6=2：10，
∴PE=1.2；
如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，
∵△PBE∽△DBC，
∴PE：CD=PB：DB=1：2，
∴PE：6=1：2，
∴PE=3；
综上，PE的长为1.2或3，
故答案为：1.2或3.
16．（1）见解析；（2）AI=2.
详解：（1）连BI.如图，
∵I是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，
∵∠CBE=∠CAE，
∴∠BAE=∠CBE，
∴∠BIE=∠ABI+∠BAE，∠IBE=∠CBI+∠CBE，
∴∠IBE=∠BIE，
∴EB＝EI.
（2）设AI=x，由（1）可知：∠BAE=∠CBE，且∠E=∠E.
∴△BDE∽△ABE,BE2=ED·EA，即： DE=false.
又∵∠E=∠C(同弦的圆周角相等)，∠BAE=∠CAE.
∴△ADC∽△ABE,AB·AC=AD·AE，
4×3=（x+2）（false）,
解得x=2，即AI=2.
17．（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2false．
解：（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴false=false=false，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=false，EG=false，DH=false=false，
∴EH=2DH=2false，
∴HM=false=2，
∴DM=CN=NK=false=1，
在Rt△DCK中，DK=false=false=2false，
∴△PCD的周长的最小值为10+2false．
18．（1）见解析；（2）AC=2false.
解：（1）false是false的直径
false；
false
false，false，
false，
false，
false，
false点false在false上，
false是false的切线
（2）false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false false，
false
false，
false，
false．
19．（1）证明见解析；（2）false
详解：（1）证明：在正方形false中，false.
∴false.
∵false.
∴false.
∴false.
∴false.
∵四边形false是false的内接四边形，
∴false.
又false，
∴false.
∴false.
（2）解：如图，连接false.
∵false，false，
∴false.
∴false，即false.
∵false，
∴false.
∴false.
在正方形false中，false，
∴false，false.
∴false.
∵false，
∴false是false的直径.
∴false的半径为false.