高考二轮复习之两角和与差的正弦、余弦和正切公式（Word解析版）

导数的概念及运算
一、知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.
cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sinαcosα.
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan
2α＝.
3.函数f(α)＝asin
α＋bcos
α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝·cos(α－φ).
总结：
1.tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tanαtan
β).
2.cos2α＝，sin2α＝.
3.1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2，1－sin
2α＝(sin
α－cos
α)2，
sin
α±cos
α＝sin.
二、例题精讲
+
随堂练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立.(　　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan
α＋tan
β
＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)，且对任意角α，β都成立.(　　)
(4)存在实数α，使tan
2α＝2tan
α.(　　)
解析　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z).
答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.若cos
α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A.－
B.
C.－
D.
解析　∵α是第三象限的角，
∴sin
α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
答案　C
3.tan
20°＋tan
40°＋tan
20°·tan
40°＝________.
解析　∵tan
60°＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan
20°＋tan
40°＝tan
60°(1－tan
20°tan
40°)＝－tan
20°tan
40°，
∴原式＝－tan
20°tan
40°＋tan
20°tan
40°＝.
答案　
4.(2018·全国Ⅲ卷)若sin
α＝，则cos
2α＝(　　)
A.
B.
C.－
D.－
解析　因为sin
α＝，cos
2α＝1－2sin2α，
所以cos
2α＝1－2×＝1－＝.
答案　B
5.(2019·青岛一模)已知角α是终边经过点P(sin
47°，cos
47°)，则sin(α－13°)＝(　　)
A.
B.
C.－
D.－
解析　由三角函数定义，sin
α＝cos
47°，cos
α＝sin
47°，
则sin(α－13°)＝sin
αcos
13°－cos
αsin
13°
＝cos
47°cos
13°－sin
47°sin
13°
＝cos(47°＋13°)＝cos
60°＝.
答案　A
6.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
解析　由sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，
两式平方相加，得2＋2sin
αcos
β＋2cos
αsin
β＝1，
整理得sin(α＋β)＝－.
答案　－
考点一　三角函数式的化简
【例1】
(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)化简：(0<α<π)＝________.
解析　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos
(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
(2)原式＝
＝＝.
因为0<α<π，所以0<<，所以cos>0，所以原式＝cos
α.
答案　(1)sin(α＋γ)　(2)cos
α
【训练1】
(1)cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝(　　)
A.sin(α＋2β)
B.sin
α
C.cos(α＋2β)
D.cos
α
(2)化简：＝________.
解析　(1)cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β＝cos[(α＋β)－β]＝cos
α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝cos
2α.
答案　(1)D　(2)cos
2α
考点二　三角函数式的求值
角度1　给角(值)求值
【例2－1】
(1)计算：＝________.
解析　＝＝＝＝.
答案　
(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan
α＝，cos(α＋β)＝－.
①求cos
2α的值；
②求tan(α－β)的值.
解　①因为tan
α＝，tan
α＝，
所以sin
α＝cos
α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos
2α＝2cos2α－1＝－.
②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan
α＝，所以tan
2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
角度2　给值求角
【例2－2】
(1)(2019·河南六市联考)已知cos
α＝，cos(α－β)＝，若0<β<α<，则β＝________.
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－，则2α－β的值为________.
解析　(1)由cos
α＝，0<α<，
得sin
α＝＝＝.
由0<β<α<，得0<α－β<，又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝.
由β＝α－(α－β)得cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝.
∵β∈，∴β＝.
(2)∵tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝>0，
又α∈(0，π)，∴0<α<，
又∵tan
2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan
β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
答案　(1)　(2)－
【训练2】
(1)(2019·天津河西区模拟)tan
70°·cos
10°(tan
20°－1)等于(　　)
A.1
B.2
C.－1
D.－2
(2)已知α，β为锐角，cos
α＝，且sin(α＋β)＝，则角β＝________.
(3)若＝·sin
2θ，则sin
2θ＝(　　)
A.
B.
C.－
D.－
解析　(1)tan
70°·cos
10°(tan
20°－1)＝·cos
10°
＝·＝＝＝－1.
(2)∵α为锐角，且cos
α＝，∴sin
α＝＝.
∵α，β∈，∴0<α＋β<π.又∵sin(α＋β)α，∴α＋β>，
∴cos(α＋β)＝－.cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝－×＋×＝＝.
∴β＝.
(3)由题意知＝sin
2θ，
∴2(cos
θ＋sin
θ)＝sin
2θ，则4(1＋sin
2θ)＝3sin22θ，
因此sin
2θ＝－或sin
2θ＝2(舍).
答案　(1)C　(2)　(3)C
考点三　三角恒等变换的简单应用
【例3】
(2019·杭州模拟)设函数f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin
ωxcos
ωx＋λ的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的最值.
解　(1)f(x)＝sin2ωx＋2sin
ωx·cos
ωx－cos2ωx＋λ
＝sin
2ωx－cos
2ωx＋λ
＝2sin＋λ，
因为图象关于直线x＝π对称，
所以2πω－＝＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝＋(k∈Z)，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
所以函数f(x)的最小正周期为＝.
(2)因为f＝0，
所以2sin＋λ＝0，则λ＝－.
所以f(x)＝2sin－.
由0≤x≤π，知－≤x－≤π，
∴当x－＝－，即x＝0时，f(x)取最小值－1－.
当x－＝，即x＝π时，f(x)取最大值2－.
【训练3】
(2017·北京卷)已知函数f(x)＝cos－2sin
xcos
x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.
(1)解　f(x)＝cos－2sin
xcos
x
＝cos
2x＋sin
2x－sin
2x
＝sin
2x＋cos
2x＝sin，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)证明　由(1)知f(x)＝sin
.
∵x∈，∴2x＋∈，
∴当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－.
∴f(x)≥－成立.
逻辑推理与数学运算——缩小角的范围常用策略
在运用平方关系和由三角函数值求角时都要注意角的范围.如果条件中角的范围恰好能够使用，那么就能顺势求解题目.但绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围.
类型1　由三角函数值的符号缩小角的范围
【例1】
已知α，β∈(0，π)，tan
α＝2，cos
β＝－，求2α－β的值.
解　法一　因为tan
α＝2>0，α∈(0，π)，所以α∈.
同理可得β∈，且tan
β＝－.
所以α－β∈(－π，0)，tan(α－β)＝＝3>0，所以α－β∈，
所以2α－β∈(－π，0).
又tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝－1，所以2α－β＝－.
法二　因为tan
α＝2>1，α∈(0，π)，所以α∈.
因为cos
β＝－，β∈(0，π)，所以β∈，
所以2α－β∈.
因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝＝－1，
所以2α－β＝－.
类型2　由三角函数值及特殊角的三角函数值缩小范围
【例2】
设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝，tan
＝，则cos
β＝________.
解析　因为tan
＝，
所以sin
α＝2sin
cos
＝＝＝，cos
α＝cos2－sin2＝＝＝∈.
又α∈(0，π)，所以a∈，又β∈(0，π)，所以α＋β∈.又sin(α＋β)＝∈，所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－，所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－.
答案　－
三、课后练习
1.若点(θ，0)是函数f(x)＝sin
x＋2cos
x图象的一个对称中心，则cos
2θ＋sin
θcosθ＝(　　)
A.
B.－
C.1
D.－1
解析　∵点(θ，0)是函数f(x)＝sin
x＋2cos
x图象的一个对称中心，
∴sin
θ＋2cos
θ＝0，即tan
θ＝－2.
∴cos
2θ＋sin
θcos
θ＝
＝＝＝－1.
答案　D
2.已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝(　　)
A.
B.－
C.－
D.
解析　法一　∵sin＝×(sin
θ＋cos
θ)＝，
∴sin
θ＋cos
θ＝，①
∴2sin
θcos
θ＝－.
∵θ是第四象限角，∴sin
θ<0，cos
θ>0，
∴sin
θ－cos
θ＝－＝－，②
由①②得sin
θ＝－，cos
θ＝，∴tan
θ＝－，
∴tan＝＝－.
法二　∵＋＝，
∴sin＝cos＝，
又2kπ－<θ<2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－<θ＋<2kπ＋(k∈Z)，
∴cos＝，∴sin＝，
∴tan＝＝，
∴tan＝－tan＝－.
答案　B
3.(2019·广东七校联考)已知sin＋cos
α＝－，则cos＝________.
解析　∵sin＋cos
α＝－，
∴sin
α＋cos
α＝－，sin＝－，
则sin＝－.
故cos＝sin＝sin＝－.
答案　－
4.(2019·烟台二中月考)已知函数f(x)＝·cos(x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).
(1)求a，θ的值；
(2)若α∈，f＋coscos
2α＝0，求cos
α－sin
α的值.
解　(1)因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，
所以cos(x＋θ)＝－cos，
化简、整理得，cos
xcos
θ＝0，则有cos
θ＝0，
由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin
x·.
由f＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－sin
2x，
f＋coscos
2α＝0?sin＝coscos
2α，
因为cos
2α＝sin＝sin＝2sincos，
所以sin＝cos2sin.
又α∈，所以sin＝0或cos2＝.由sin＝0?α＝，
所以cos
α－sin
α＝cos
－sin
＝－；由cos2＝，<α＋<，
得cos＝－?(cos
α－sin
α)＝－?cos
α－sin
α＝－.
综上，cos
α－sin
α＝－或cos
α－sin
α＝－.
5.设α，β∈[0，π]，且满足sin
αcos
β－cos
αsin
β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为(　　)
A.[－，1]
B.[－1，]
C.[－1，1]
D.[1，]
解析　∵sin
αcos
β－cos
αsin
β＝1，∴sin(α－β)＝1，
∵α，β∈[0，π]，
∴α－β＝，由?≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos
α＋sin
α＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1，1]，故选C.